Двойной потенциал - Double-well potential

Так называемой двухъямный потенциал является одним из многих квартика потенциалы значительного интереса в квантовая механика, в квантовая теория поля и в других местах для исследования различных физических явлений или математических свойств, так как во многих случаях это позволяет проводить явные вычисления без чрезмерного упрощения.

Таким образом, «симметричный двухъямный потенциал» в течение многих лет служил моделью для иллюстрации концепции инстантоны как псевдоклассическая конфигурация в евклидовом теория поля.^[1] В более простом квантовомеханическом контексте этот потенциал послужил моделью для оценки Фейнмана. интегралы по путям.^[2][3] или решение Уравнение Шредингера различными методами с целью получения в явном виде собственных значений энергии.

«Инвертированный симметричный двухъямный потенциал», с другой стороны, служил нетривиальным потенциалом в уравнении Шредингера для расчета скоростей распада^[4] и исследование поведение большого заказа из асимптотические разложения.^[5][6][7]

Третья форма потенциала четвертой степени - это форма «возмущенного простого гармонического осциллятора» или «чистого ангармонического осциллятора», имеющего чисто дискретный энергетический спектр.

Четвертый тип возможного потенциала четвертой степени - это потенциал «асимметричной формы» одного из первых двух, названных выше.

Двухъямные потенциалы и потенциалы другой четвертой степени можно рассматривать различными методами, основными из которых являются (а) метод возмущений (метод Б. Дингла и H.J.W. Мюллер-Кирстен^[8]), что требует наложения граничных условий, (б) Метод ВКБ и (c) метод интеграла по путям. Все случаи подробно рассматриваются в книге H.J.W. Мюллер-Кирстен.^[9] Поведение большого порядка асимптотических разложений функций Матье и их собственных значений (также называемых характеристическими числами) было выведено в следующей статье Р. Б. Дингла и Г. Дж. У. Мюллер.^[10]

Симметричный двойной колодец

Основной интерес в литературе (по причинам, связанным с теорией поля) сосредоточен на симметричной двойной яме (потенциале), а также на основном квантовом состоянии. С туннелирование через центральный горб потенциала задействован расчет собственных энергий Уравнение Шредингера для этого потенциала нетривиален. Случай основного состояния опосредован псевдоклассическими конфигурациями, известными как Немедленное включение и антиинстантон. В явном виде это гиперболические функции. Как псевдоклассические конфигурации они естественно появляются в полуклассические соображения - суммирование (широко разделенных) пар инстантон-антиинстантон, известное как приближение разреженного газа. Полученная в итоге собственная энергия основного состояния представляет собой выражение, содержащее экспоненту евклидова действия инстантона. Это выражение, содержащее множитель ${\displaystyle 1/\hbar }$ и поэтому описывается как (классический) непертурбативный эффект.

Устойчивость инстантонной конфигурации в теории интегралов по путям скалярной теории поля с симметричным двухъямным самодействием исследуется с помощью уравнения малых колебаний вокруг инстантона. Обнаруживается, что это уравнение является уравнением Пёшля-Теллера (т.е. дифференциальным уравнением второго порядка, подобным уравнению Шредингера с Потенциал Пёшля-Теллера ) с неотрицательными собственными значениями. Неотрицательность собственных значений свидетельствует об устойчивости инстантона.^[11]

Как указано выше, инстантон - это конфигурация псевдочастиц, определенная на бесконечной линии евклидова времени, которая сообщается между двумя ямами потенциала и отвечает за основное состояние системы. Конфигурации, отвечающие соответственно за высшие, т.е. возбужденные, состояния: периодические инстантоны определены на круге евклидова времени, которые в явном виде выражаются в терминах якобиевых эллиптических функций (обобщение тригонометрических функций). Вычисление интеграла по путям в этих случаях включает соответственно эллиптические интегралы. Уравнение малых флуктуаций относительно этих периодических инстантонов является уравнением Ламе, решениями которого являются Функции Ламе. В случаях нестабильности (как для перевернутого двухъямного потенциала) это уравнение имеет отрицательные собственные значения, указывающие на эту нестабильность, т.е. распад.^[11]

Применение метода возмущений Дингла и Мюллера (первоначально примененного к уравнению Матье, т.е. уравнению Шредингера с косинусным потенциалом) требует использования симметрии параметров уравнения Шредингера для потенциала четвертой степени. Один расширяется вокруг одного из двух минимумов потенциала. Кроме того, этот метод требует сопоставления различных ветвей решений в областях перекрытия. Применение граничных условий в конечном итоге дает (как и в случае периодического потенциала) непертурбативный эффект.

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для симметричного двухъямного потенциала в следующем виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;c^{2}>0,h^{4}>0,}$

собственные значения для ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$ оказываются (см. книгу Мюллер-Кирстен, формула (18.175b), стр. 425)

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \;\;\;\mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Ясно, что эти собственные значения асимптотически (${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$) вырождаются, как и ожидалось, из гармонической части потенциала. Заметьте, что члены пертурбативной части результата поочередно четные или нечетные по ${\displaystyle q_{0}}$ и ${\displaystyle h^{2}}$ (как в соответствующих результатах для Функции Матье, Функции Ламе, вытянутые сфероидальные волновые функции, сплюснутые сфероидальные волновые функции и другие).

В контексте теории поля вышеупомянутый симметричный двухъямный потенциал часто записывается (${\displaystyle \phi }$ являясь скалярным полем)

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2},}$

а инстантон - это решение ${\displaystyle \phi _{c}(\tau )}$ уравнения типа Ньютона

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),\;\;\;{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{d\tau }}\right)^{2}-V(\phi )=-E_{cl}=0}$

(${\displaystyle \tau }$ евклидово время), т.е.

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right].}$

Уравнение малых колебаний ${\displaystyle \eta }$ о ${\displaystyle \phi _{c},\phi =\phi _{c}+\eta ,}$уравнение Пёшля-Теллера (см. Потенциал Пёшля-Теллера )

${\displaystyle \left[-{\frac {d^{2}}{d\tau ^{2}}}+V''(\phi _{c})\right]\eta _{n}(\tau )=\omega _{n}^{2}\eta _{n}(\tau ),}$

с

${\displaystyle V''(\phi _{c})=4m^{2}-{\frac {6m^{2}}{\cosh ^{2}m(\tau -\tau _{0})}}.}$

Поскольку все собственные значения ${\displaystyle \omega _{n}^{2}}$ положительны или равны нулю, инстантонная конфигурация устойчива и распада нет.

В более общем случае ${\displaystyle E_{cl}\neq 0}$ классическим решением является периодический инстантон

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {kb(k)}{g}}sn[b(k)(\tau -\tau _{0})],\;\;\;b(k)=m\left({\frac {2}{1+k^{2}}}\right)^{1/2},}$

куда ${\displaystyle k}$ эллиптический модуль периодической Эллиптическая функция Якоби ${\displaystyle sn}$. Уравнение малых флуктуаций в этом общем случае есть Уравнение Ламе. В пределе ${\displaystyle k=1,E_{cl}=0}$ решение ${\displaystyle \phi _{c}}$ становится вакуумным инстантонным решением,

${\displaystyle \phi _{c}={\frac {m}{g}}\tanh[m(\tau -\tau _{0})].}$

Обратный двухъямный потенциал

Теория возмущений наряду с согласованием решений в областях перекрытия и наложением граничных условий (отличных от двухъямных) снова может быть использована для получения собственных значений уравнения Шредингера для этого потенциала. В этом случае, однако, происходит расширение вокруг центральной впадины потенциала. Поэтому результаты отличаются от приведенных выше.

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для перевернутого двухъямного потенциала в следующей форме

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

собственные значения для ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$ оказываются (см. книгу Мюллер-Кирстен, формула (18.86), стр. 503)

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})+i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с результатом C.M. Бендер и Т.Т.Ву (см. Их формулу (3.36) и положим ${\displaystyle \hbar =1}$, а в их обозначениях ${\displaystyle q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon }$).^[12] Этот результат играет важную роль в обсуждении и исследовании поведения теории возмущений при больших порядках.

Чистый ангармонический осциллятор

В терминах параметров, как в уравнении Шредингера для чистого ангармонического осциллятора в следующем виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;h^{4}>0,\;c^{2}>0,}$

собственные значения для ${\displaystyle q=q_{0}=1,3,5,...}$ оказываются

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}qh^{2}+{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q^{2}+1)-{\frac {c^{4}}{h^{10}}}q(4q^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}}).}$

Можно легко рассчитать больше сроков. Обратите внимание, что коэффициенты разложения поочередно четные или нечетные по ${\displaystyle q}$ и ${\displaystyle h^{2}}$, как и во всех остальных случаях. Это важный аспект решений дифференциального уравнения для потенциалов четвертой степени.

Общие комментарии

Приведенные выше результаты для двухъямных и перевернутых двухъямных ям также могут быть получены методом интегралов по путям (там с помощью периодических инстантонов, ср. инстантоны ) и метод ВКБ, но с использованием эллиптических интегралов и Приближение Стирлинга из гамма-функция, все это затрудняет расчет. Свойство симметрии пертурбативной части в изменениях q → -q, ${\displaystyle h^{2}}$ → -${\displaystyle h^{2}}$ результатов можно получить только при выводе из уравнения Шредингера, которое, следовательно, является лучшим и правильным способом получения результата. Этот вывод подтверждается исследованиями других дифференциальных уравнений второго порядка, таких как уравнение Матье и уравнение Ламе, которые проявляют аналогичные свойства в своих уравнениях на собственные значения. Более того, в каждом из этих случаев (двойная яма, перевернутая двойная яма, косинусный потенциал) уравнение малых флуктуаций относительно классической конфигурации является уравнением Ламе.

Рекомендации

1. Коулман С. Почему в субъядерной физике, под ред. A. Zichichi (Plenum Press, 1979), 805-916; С. Коулман, Использование инстантонов, Международная школа субъядерной физики, 1977 г., Этторе Майорана.
2. Гильденер, Эльдад; Патрашою, Адриан (15 июля 1977 г.). «Вклады псевдочастиц в энергетический спектр одномерной системы». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 16 (2): 423–430. Дои:10.1103 / Physrevd.16.423. ISSN  0556-2821.
3. Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, Х. Дж. У. (15 ноября 1992 г.). «Периодические инстантоны и квантово-механическое туннелирование при высоких энергиях». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 46 (10): 4685–4690. Дои:10.1103 / Physrevd.46.4685. ISSN  0556-2821.
4. Liang, J.-Q .; Мюллер-Кирстен, Х. Дж. У. (15 ноября 1994 г.). «Невакуумные отскоки и квантовое туннелирование при конечной энергии» (PDF). Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 50 (10): 6519–6530. Дои:10.1103 / Physrevd.50.6519. ISSN  0556-2821.
5. Бендер, Карл М .; У Тай Цун (5 августа 1968 г.). «Аналитическая структура уровней энергии в модели теории поля». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 21 (6): 406–409. Дои:10.1103 / Physrevlett.21.406. ISSN  0031-9007.
6. Бендер, Карл М .; У Тай Цун (16 августа 1971 г.). "Поведение теории возмущений большого порядка". Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 27 (7): 461–465. Дои:10.1103 / Physrevlett.27.461. ISSN  0031-9007.
7. Бендер, Карл М .; У Тай Цун (25 августа 1969 г.). «Ангармонический осциллятор». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 184 (5): 1231–1260. Дои:10.1103 / Physrev.184.1231. ISSN  0031-899X.
8. "Асимптотические разложения функций Матье и их характеристических чисел". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. Walter de Gruyter GmbH. 1962 (211): 11. 1962. Дои:10.1515 / crll.1962.211.11. ISSN  0075-4102. в этой ссылке метод возмущений разработан для косинусного потенциала, т. е. Уравнение Матье; видеть Функция Матье.
9. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. (World Scientific, 2012, ISBN  978-981-4397-73-5)
10. Р. Б. Дингл и Х. Дж. У. Мюллер, Вид коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидальных волновых функций, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 216 (1964) 123-133. См. Также: H.J.W. Мюллер-Кирстен, "Теория возмущений, расщепление уровней и поведение большого порядка", Fortschritte der Physik 34 (1986) 775-790.
11. Лян, Цзю-Цин; Müller-Kirsten, H.J.W .; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны по кругу». Письма по физике B. Elsevier BV. 282 (1–2): 105–110. Дои:10.1016 / 0370-2693 (92) 90486-н. ISSN  0370-2693.
12. Бендер, Карл М .; У Тай Цун (15 марта 1973 г.). "Ангармонический осциллятор. II. Исследование теории возмущений в большом порядке". Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 7 (6): 1620–1636. Дои:10.1103 / Physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.