Дифференцирование интегралов - Differentiation of integrals

В математика, проблема дифференцирование интегралов заключается в том, чтобы определить, при каких обстоятельствах среднее значение интеграл подходящего функция на маленьком район точки приближает значение функции в этой точке. Более формально, учитывая пространство Икс с мера μ и метрика d, спрашивается, какие функции ж : Икс → р делает

${displaystyle lim _{r o 0}{frac {1}{mu {ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} mu (y)=f(x)}$

для всех (или хотя бы μ-почти все ) Икс ∈ Икс? (Здесь, как и в остальной части статьи, B_р(Икс) обозначает открытый мяч в Икс с d-радиус р и центр Икс.) Это естественный вопрос, особенно с учетом эвристического построения Интеграл Римана, в котором почти неявно ж(Икс) является «хорошим представителем» ценностей ж возле Икс.

Теоремы о дифференцировании интегралов

Мера Лебега

Одним из результатов дифференцирования интегралов является Теорема Лебега дифференцирования, как доказано Анри Лебег в 1910 году. п-размерный Мера Лебега λ^п на п-размерный Евклидово пространство р^п. Тогда для любого локально интегрируемая функция ж : р^п → р, надо

${displaystyle lim _{r o 0}{frac {1}{lambda ^{n}{ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} lambda ^{n}(y)=f(x)}$

за λ^п-почти все точки Икс ∈ р^п. Однако важно отметить, что нулевой набор "плохих" точек меры зависит от функции ж.

Борелевские меры на R^п

Результат для меры Лебега оказывается частным случаем следующего результата, который основан на Теорема Безиковича о покрытии: если μ есть ли локально конечный Мера Бореля на р^п и ж : р^п → р локально интегрируем относительно μ, тогда

${displaystyle lim _{r o 0}{frac {1}{mu {ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} mu (y)=f(x)}$

за μ-почти все точки Икс ∈ р^п.

Гауссовские меры

Проблема дифференцирования интегралов намного сложнее в бесконечномерной постановке. Рассмотрим отделяемый Гильбертово пространство (ЧАС, 〈,〉) С Гауссова мера γ. Как сказано в статье о Теорема Витали о покрытии, теорема Витали о покрытии неверна для гауссовских мер на бесконечномерных гильбертовых пространствах. Два результата Дэвида Прейсса (1981 и 1983) показывают, с какими трудностями можно ожидать столкнуться в этой ситуации:

• Есть гауссовская мера γ на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС и множество Бореля M ⊆ ЧАС так что для γ-почти все Икс ∈ ЧАС,

${displaystyle lim _{r o 0}{frac {gamma {ig (}Mcap B_{r}(x){ig )}}{gamma {ig (}B_{r}(x){ig )}}}=1.}$

• Есть гауссовская мера γ на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС и функция ж ∈ L¹(ЧАС, γ; р) такие, что

${displaystyle lim _{r o 0}inf left{left.{frac {1}{gamma {ig (}B_{s}(x){ig )}}}int _{B_{s}(x)}f(y),mathrm {d} gamma (y)ight|xin H,0<s<right}=+infty .}$

Однако есть некоторая надежда, если у человека есть хороший контроль над ковариация из γ. Пусть оператор ковариации γ быть S : ЧАС → ЧАС данный

${displaystyle langle Sx,yangle =int _{H}langle x,zangle langle y,zangle ,mathrm {d} gamma (z),}$

или, для некоторых счетный ортонормированный базис (е_я)_я∈N из ЧАС,

${displaystyle Sx=sum _{iin mathbf {N} }sigma _{i}^{2}langle x,e_{i}angle e_{i}.}$

В 1981 году Прейсс и Ярослав Тишер показали, что если существует постоянная 0 <q <1 такой, что

${displaystyle sigma _{i+1}^{2}leq qsigma _{i}^{2},}$

тогда для всех ж ∈ L¹(ЧАС, γ; р),

${displaystyle {frac {1}{mu {ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} mu (y){xrightarrow[{r o 0}]{gamma }}f(x),}$

где сходимость сходимость по мере относительно γ. В 1988 году Тишер показал, что если

${displaystyle sigma _{i+1}^{2}leq {frac {sigma _{i}^{2}}{i^{alpha }}}}$

для некоторых α > 5 ⁄ 2, тогда

${displaystyle {frac {1}{mu {ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} mu (y){xrightarrow[{r o 0}]{}}f(x),}$

за γ-почти все Икс и все ж ∈ L^п(ЧАС, γ; р), п > 1.

По состоянию на 2007 год все еще остается открытым вопрос, существует ли бесконечномерная гауссовская мера γ на сепарабельном гильбертовом пространстве ЧАС так что для всех ж ∈ L¹(ЧАС, γ; р),

${displaystyle lim _{r o 0}{frac {1}{gamma {ig (}B_{r}(x){ig )}}}int _{B_{r}(x)}f(y),mathrm {d} gamma (y)=f(x)}$

за γ-почти все Икс ∈ ЧАС. Однако предполагается, что такой меры не существует, поскольку σ_я пришлось бы очень быстро распасться.

Смотрите также

• Дифференцирование под знаком интеграла

Рекомендации

• Прейсс, Дэвид; Тишер, Ярослав (1982). «Дифференцирование мер на гильбертовых пространствах». Теория меры, Обервольфах 1981 (Обервольфах, 1981). Конспект лекций по математике. 945. Берлин: Springer. С. 194–207. Дои:10.1007 / BFb0096675. МИСТЕР  0675283.
• Тишер, Ярослав (1988). «Теорема дифференцирования для гауссовских мер в гильбертовом пространстве» (PDF). Труды Американского математического общества. 308 (2): 655–666. Дои:10.2307/2001096. JSTOR  2001096. МИСТЕР  0951621.