Формат Decimal32 с плавающей запятой - Decimal32 floating-point format

В вычисление, десятичный32 это десятичная с плавающей запятой формат нумерации компьютеров занимающий 4 байта (32 бита) в памяти компьютера. Он предназначен для приложений, в которых необходимо точно имитировать десятичное округление, таких как финансовые и налоговые вычисления. Словно двоичный16 формат, он предназначен для хранения с экономией памяти.

Decimal32 поддерживает 7 десятичные цифры из значимое и показатель степени диапазон от -95 до +96, т.е. ±0.000000×10^⁻⁹⁵ к ±9.999999×10^⁹⁶. (Эквивалентно, ±0000001×10^⁻¹⁰¹ к ±9999999×10^⁹⁰.) Поскольку значение не нормализовано (нет неявной ведущей "1"), большинство значений меньше 7 значащие цифры иметь несколько возможных представлений; 1 × 10²=0.1 × 10³=0.01 × 10⁴и т. д. Zero имеет 192 возможных представления (384, когда оба подписанные нули включены).

Decimal32 с плавающей запятой - это относительно новый десятичный формат с плавающей запятой, официально представленный в Версия 2008 г.^[1] из IEEE 754 а также с ISO / IEC / IEEE 60559: 2011.^[2]

Представление значений decimal32

Знак	Комбинация	Продолжение экспоненты	Коэффициент продолжения
1 бит	5 бит	6 бит	20 бит
s	ммммм	xxxxxx	cccccccccccccccccccc

IEEE 754 допускает два альтернативных метода представления значений decimal32. Стандарт не определяет, как обозначать, какое представление используется, например, в ситуации, когда значения decimal32 передаются между системами.

В одном методе представления, основанном на двоичное целое десятичное (BID) мантисса представлена ​​как положительное целое число в двоичной кодировке.

Другой, альтернативный, способ представления основан наплотно упакованный десятичный (DPD) для большей части значащей цифры (кроме старшей цифры).

Обе альтернативы обеспечивают точно такой же диапазон представимых чисел: 7 значащих цифр и 3 × 2⁶=192 возможные значения экспоненты.

В обоих случаях старшие 4 бита мантиссы (которые на самом деле имеют только 10 возможных значений) объединяются с 2 старшими битами экспоненты (3 возможных значения), чтобы использовать 30 из 32 возможных значений 5-битной поле называется комбинированным полем. Остальные комбинации кодируют бесконечности и NaNs.

Кодирование поля комбинации

Комбинированное поле						MSB		Код Ценить	Описание
м4	м3	m2	m1	m0		Exp.	Значительный
0	0	а	б	c		00	0abc	(0–7)	Цифра до 7
0	1	а	б	c		01	0abc
1	0	а	б	c		10	0abc
1	1	0	0	c		00	100c	(8–9)	Цифра больше 7
1	1	0	1	c		01	100c
1	1	1	0	c		10	100c
1	1	1	1	0					± бесконечность
1	1	1	1	1					NaN

Знаковый бит NaN игнорируется. Первый бит оставшейся экспоненты определяет, является ли NaN тихим или сигнальным.

Поле двоичного целочисленного значения

В этом формате используется двоичное значение от 0 до 10.⁷ − 1 = 9999999 = 98967F₁₆ = 100110001001011001111111₂. Кодирование может представлять двоичные значения до 10 × 2.²⁰ − 1 = 10485759 = 9FFFFF₁₆ = 100111111111111111111111₂, но значения больше 10⁷ -1 являются недопустимыми (и стандарт требует, чтобы реализации обрабатывали их как 0, если они встречаются на входе).

Как описано выше, кодирование варьируется в зависимости от того, находятся ли наиболее значимые 4 бита значения в диапазоне от 0 до 7 (0000₂ к 0111₂) или выше (1000₂ или 1001₂).

Если 2 бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то поле экспоненты состоит из 8 бит, следующих за битом знака, а значащее значение - это оставшиеся 23 бита с неявным ведущим 0 битом. :

s 00eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttts 01eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttts 10eeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt

Это включает в себя субнормальные числа где первая цифра мантиссы равна 0.

Если 2 бита после знакового бита равны «11», то 8-битное поле экспоненты сдвигается на 2 бита вправо (после как знакового бита, так и «11» битов после этого), и представленное значение находится в оставшейся 21 бит. В этом случае имеется неявная (то есть не сохраненная) ведущая 3-битная последовательность "100" в истинном значении.

s 1100eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttts 1101eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttts 1110eeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt

2-битная последовательность «11» после знакового бита указывает, что существует скрытый "100" 3-битный префикс мантиссы. Сравните наличие неявной 1 в значении нормальных значений для двоичных форматов. Биты «00», «01» или «10» являются частью поля экспоненты.

Старшие биты поля значащей нет закодировать самый старший десятичный разряд; они просто являются частью большего чисто двоичного числа. Например, значение 8000000 кодируется как двоичный 011110100001001000000000, с ведущими 4 битами, кодирующими 7; первая мантисса, требующая 24-го бита, равна 2²³ = 8388608

В приведенных выше случаях представлено значение

(−1)^знак × 10^{показатель −101} × значимое

Если четыре бита после знакового бита равны «1111», тогда значение равно бесконечности или NaN, как описано выше:

s 11110 xx ... x ± бесконечность 11111 0x ... x тихий NaN 11111 1x ... x сигнальный NaN

Плотно упакованное десятичное значащее поле

В этой версии мантисса хранится в виде серии десятичных цифр. Первая цифра находится между 0 и 9 (3 или 4 двоичных бита), а остальная часть мантиссы использует плотно упакованная десятичная дробь (DPD) кодирование.

Первые 2 бита экспоненты и первая цифра (3 или 4 бита) мантиссы объединяются в пять битов, следующих за битом знака.

Эти шесть битов после этого представляют собой поле продолжения экспоненты, обеспечивающее менее значимые биты экспоненты.

Последние 20 бит - это поле продолжения мантиссы, состоящее из двух 10-битных деклеты.^[3] Каждый деклет кодирует три десятичных цифры^[3] с использованием кодировки DPD.

Если первые два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то это ведущие биты экспоненты, а три бита после них интерпретируются как ведущая десятичная цифра (от 0 до 7 ):

s 00 TTT (00) eeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] s 01 TTT (01) eeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] s 10 TTT (10) eeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt]

Если первые два бита после знакового бита равны «11», то вторые два бита являются ведущими битами экспоненты, а последний бит имеет префикс «100» для формирования ведущей десятичной цифры (8 или 9):

s 1100 T (00) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] s 1101 T (01) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] s 1110 T (10) eeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt]

Оставшиеся две комбинации (11110 и 11111) 5-битного поля используются для представления ± бесконечности и NaN соответственно.

Транскодирование DPD / 3BCD для деклетов приведено в следующей таблице. B9 ... b0 - биты DPD, а d2 ... d0 - три цифры BCD.

Плотно упакованные правила десятичного кодирования^[4]

Кодированное значение DPD												Десятичные цифры
Кодовое пространство (1024 состояния)	b9	b8	b7	b6	b5	b4	b3	Би 2	b1	b0		d2	d1	d0	Закодированные значения	Описание	Вхождения (1000 состояний)
50,0% (512 штатов)	а	б	c	d	е	ж	0	грамм	час	я		0abc	0def	0Гхи	(0–7) (0–7) (0–7)	Три маленькие цифры	51,2% (512 штатов)
37,5% (384 государства)	а	б	c	d	е	ж	1	0	0	я		0abc	0def	100я	(0–7) (0–7) (8–9)	Две маленькие цифры, один большой	38,4% (384 государства)
	а	б	c	грамм	час	ж	1	0	1	я		0abc	100ж	0Гхи	(0–7) (8–9) (0–7)
	грамм	час	c	d	е	ж	1	1	0	я		100c	0def	0Гхи	(8–9) (0–7) (0–7)
9,375% (96 штатов)	грамм	час	c	0	0	ж	1	1	1	я		100c	100ж	0Гхи	(8–9) (8–9) (0–7)	Одна маленькая цифра, два больших	9,6% (96 штатов)
	d	е	c	0	1	ж	1	1	1	я		100c	0def	100я	(8–9) (0–7) (8–9)
	а	б	c	1	0	ж	1	1	1	я		0abc	100ж	100я	(0–7) (8–9) (8–9)
3,125% (32 штата, 8 использовано)	Икс	Икс	c	1	1	ж	1	1	1	я		100c	100ж	100я	(8–9) (8–9) (8–9)	Три большие цифры, биты b9 и b8 - это все равно	0,8% (8 штатов)

8 десятичных значений, все цифры которых равны 8 или 9, имеют четыре кодировки каждое. Биты, отмеченные x в таблице выше, являются игнорируется на входе, но в вычисленных результатах всегда будет 0 (8 × 3 = 24 нестандартных кодирования заполняют промежуток между 10³ = 1000 и 2¹⁰ = 1024.)

В вышеуказанных случаях с истинное значение как последовательность десятичных цифр, представленное значение

${displaystyle (-1)^{ ext{signbit}} imes 10^{{ ext{exponentbits}}_{2}-101_{10}} imes { ext{truesignificand}}_{10}}$

Смотрите также

• ISO / IEC 10967, Независимая от языка арифметика
• Примитивный тип данных

Рекомендации

1. IEEE Computer Society (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой. IEEE. Дои:10.1109 / IEEESTD.2008.4610935. ISBN  978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008. Получено 2016-02-08.
2. «ISO / IEC / IEEE 60559: 2011». 2011. Получено 2016-02-08.
3. Мюллер, Жан-Мишель; Брисебар, Николас; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Revol, Натали; Stehlé, Damien; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей точкой (1-е изд.). Биркхойзер. Дои:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN  978-0-8176-4704-9. LCCN  2009939668.
4. Коулишоу, Майкл Фредерик (2007-02-13) [2000-10-03]. "Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования". IBM. В архиве из оригинала от 24.09.2015. Получено 2016-02-07.