Формат Decimal128 с плавающей запятой - Decimal128 floating-point format

В вычисление, десятичный128 это десятичная с плавающей запятой формат нумерации компьютеров который занимает в памяти компьютера 16 байт (128 бит). Он предназначен для приложений, в которых необходимо точно имитировать десятичное округление, например для финансовых и налоговых расчетов.

Decimal128 поддерживает 34 десятичные цифры из значимое и показатель степени диапазон от −6143 до +6144, т. е. ±0.000000000000000000000000000000000×10^⁻⁶¹⁴³ к ±9.999999999999999999999999999999999×10^⁶¹⁴⁴. (Эквивалентно, ±0000000000000000000000000000000000×10^⁻⁶¹⁷⁶ к ±9999999999999999999999999999999999×10^⁶¹¹¹.) Следовательно, у decimal128 самый большой диапазон значений по сравнению с другими базовыми форматами с плавающей запятой IEEE. Поскольку мантисса не нормализована, большинство значений меньше 34 значащие цифры иметь несколько возможных представлений; 1 × 10²=0.1 × 10³=0.01 × 10⁴и т.д. Zero имеет 12288 возможные представления (24576 если оба подписанные нули включены).

Decimal128 с плавающей запятой - это относительно новый десятичный формат с плавающей запятой, официально представленный в Версия 2008 г.^[1] из IEEE 754 а также с ISO / IEC / IEEE 60559: 2011.^[2]

Представление десятичных128 значений

Знак	Комбинация	Значимое и продолжение
1 бит	17 бит	110 бит
s	мммммммммммммммм	cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

IEEE 754 позволяет использовать два альтернативных метода представления для значений decimal128. Стандарт не определяет, как обозначать, какое представление используется, например, в ситуации, когда десятичные128 значения передаются между системами.

В одном методе представления, основанном на двоичное целое десятичное (BID) мантисса представлена ​​как положительное целое число в двоичной кодировке.

Другой, альтернативный, способ представления основан на плотно упакованная десятичная дробь (DPD) для большей части значащей (кроме старшей цифры).

Обе альтернативы обеспечивают точно такой же диапазон представимых чисел: 34 значащих цифры и 3 × 2.¹² = 12288 возможные значения экспоненты.

В обоих случаях 4 старших разряда мантиссы (которые на самом деле имеют только 10 возможных значений) объединяются с 2 старшими битами показателя степени (3 возможных значения) для использования 30 из 32 возможных значений 5 бит в комбинированное поле. Остальные комбинации кодируют бесконечности и NaNs.

Комбинированное поле	Экспонента	Значимость Msbits	Другой
00мммммммммммммм	00xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
01ммммммммммммммм	01xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
10мммммммммммммм	10xxxxxxxxxxxx	0ccc	—
1100мммммммммммм	00xxxxxxxxxxxx	100c	—
1101мммммммммммм	01xxxxxxxxxxxx	100c	—
1110мммммммммммм	10xxxxxxxxxxxx	100c	—
11110мммммммммм	—	—	± бесконечность
11111мммммммммммм	—	—	NaN. Знаковый бит игнорируется. Шестой бит поля комбинации определяет, сигнализирует ли NaN.

В случае Infinity и NaN все остальные биты кодирования игнорируются. Таким образом, можно инициализировать массив бесконечностями или NaN, заполнив его однобайтовым значением.

Поле двоичного целочисленного значения

В этом формате используется двоичное значение от 0 до 10.³⁴ − 1 = 9999999999999999999999999999999999 = 1ED09BEAD87C0378D8E63FFFFFFFF₁₆ = 011110110100001001101111101010110110000111110000000011011110001101100011100110001111111111111111111111111111111111₂Кодирование может представлять двоичные значения до 10 × 2.¹¹⁰ − 1 = 12980742146337069071326240823050239 но значения больше 10³⁴ -1 являются недопустимыми (и стандарт требует, чтобы реализации обрабатывали их как 0, если они встречаются на входе).

Как описано выше, кодирование варьируется в зависимости от того, находятся ли наиболее значимые 4 бита значения в диапазоне от 0 до 7 (0000₂ к 0111₂) или выше (1000₂ или 1001₂).

Если 2 бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то поле экспоненты состоит из 14 бит, следующих за знаковым битом, а значащее значение - это оставшиеся 113 бит с неявным начальным 0 битом. :

 s 00eeeeeeeeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 01eeeeeeeeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 10eeeeeeeeeeee (0) ttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

Это включает в себя субнормальные числа где первая цифра мантиссы равна 0.

Если 2 бита после знакового бита равны «11», то 14-битное поле экспоненты сдвигается на 2 бита вправо (после как знакового бита, так и «11» битов после него), и представленное значение находится в оставшейся 111 бит. В этом случае имеется неявная (то есть не сохраненная) ведущая 3-битная последовательность "100" в истинном значении.

 s 1100eeeeeeeeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 1101eeeeeeeeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt s 1110eeeeeeeeeeee (100) t tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt tttttttttt

2-битная последовательность «11» после знакового бита указывает, что существует скрытый "100" 3-битный префикс мантиссы. Сравните наличие неявной 1 в значении нормальных значений для двоичных форматов. Биты «00», «01» или «10» являются частью поля экспоненты.

Для формата decimal128 все эти значения находятся вне допустимого диапазона (они начинаются с 2¹¹³ > 1.038 × 10³⁴), и поэтому декодируются как ноль, но шаблон такой же, как десятичный32 и десятичный64.

В приведенных выше случаях представлено значение

(−1)^знак × 10^{показатель −6176} × значимое

Если четыре бита после знакового бита равны «1111», тогда значение равно бесконечности или NaN, как описано выше:

s 11110 xx ... x ± бесконечность 11111 0x ... x тихий NaN 11111 1x ... x сигнальный NaN

Плотно упакованное десятичное значащее поле

В этой версии мантисса хранится в виде серии десятичных цифр. Первая цифра находится между 0 и 9 (3 или 4 двоичных бита), а остальная часть мантиссы использует плотно упакованная десятичная дробь (DPD) кодирование.

Первые 2 бита экспоненты и первая цифра (3 или 4 бита) мантиссы объединяются в пять битов, следующих за битом знака.

Эти двенадцать битов после этого являются полем продолжения экспоненты, обеспечивая менее значимые биты экспоненты.

Последние 110 бит - это поле продолжения мантиссы, состоящее из одиннадцати 10-битных деклеты.^[3] Каждый деклет кодирует три десятичных цифры^[3] с использованием кодировки DPD.

Если первые два бита после знакового бита равны «00», «01» или «10», то это ведущие биты экспоненты, а три бита после них интерпретируются как ведущая десятичная цифра (от 0 до 7 ):

 s 00 TTT (00) eeeeeeeeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [ttttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [ttttttttttt] s 01 TTT (01) eeeeeeeeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [ttttttttttt] s 10 TTT (10) eeeeeeeeeeee (0TTT) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [ttt

Если первые два бита после знакового бита равны «11», то вторые два бита являются ведущими битами экспоненты, а последний бит имеет префикс «100» для формирования ведущей десятичной цифры (8 или 9):

 с 1100 T (00) eeeeeeeeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] s 1101 T (01) eeeeeeeeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] s 1110 T (10) eeeeeeeeeeee (100T) [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt] [tttttttttt]

Оставшиеся две комбинации (11110 и 11111) 5-битного поля используются для представления ± бесконечности и NaN соответственно.

Транскодирование DPD / 3BCD для деклетов приведено в следующей таблице. B9 ... b0 - биты DPD, а d2 ... d0 - три цифры BCD.

Плотно упакованные правила десятичного кодирования^[4]

Кодированное значение DPD												Десятичные цифры
Кодовое пространство (1024 состояния)	b9	b8	b7	b6	b5	b4	b3	Би 2	b1	b0		d2	d1	d0	Закодированные значения	Описание	Вхождения (1000 состояний)
50,0% (512 штатов)	а	б	c	d	е	ж	0	грамм	час	я		0abc	0def	0Гхи	(0–7) (0–7) (0–7)	Три маленькие цифры	51,2% (512 штатов)
37,5% (384 государства)	а	б	c	d	е	ж	1	0	0	я		0abc	0def	100я	(0–7) (0–7) (8–9)	Две маленькие цифры, один большой	38,4% (384 государства)
	а	б	c	грамм	час	ж	1	0	1	я		0abc	100ж	0Гхи	(0–7) (8–9) (0–7)
	грамм	час	c	d	е	ж	1	1	0	я		100c	0def	0Гхи	(8–9) (0–7) (0–7)
9,375% (96 штатов)	грамм	час	c	0	0	ж	1	1	1	я		100c	100ж	0Гхи	(8–9) (8–9) (0–7)	Одна маленькая цифра, два больших	9,6% (96 штатов)
	d	е	c	0	1	ж	1	1	1	я		100c	0def	100я	(8–9) (0–7) (8–9)
	а	б	c	1	0	ж	1	1	1	я		0abc	100ж	100я	(0–7) (8–9) (8–9)
3,125% (32 штата, 8 использовано)	Икс	Икс	c	1	1	ж	1	1	1	я		100c	100ж	100я	(8–9) (8–9) (8–9)	Три большие цифры, биты b9 и b8 - это все равно	0,8% (8 штатов)

8 десятичных значений, все цифры которых равны 8 или 9, имеют четыре кодировки каждое. Биты, отмеченные x в таблице выше, являются игнорируется на входе, но в вычисленных результатах всегда будет 0 (8 × 3 = 24 нестандартных кодирования заполняют промежуток между 10³ = 1000 и 2¹⁰ = 1024.)

В вышеуказанных случаях с истинное значение как последовательность десятичных цифр, представленное значение

${displaystyle (-1)^{ ext{signbit}} imes 10^{{ ext{exponentbits}}_{2}-6176_{10}} imes { ext{truesignificand}}_{10}}$

Смотрите также

• ISO / IEC 10967, Независимая от языка арифметика
• Примитивный тип данных

Рекомендации

1. IEEE Computer Society (29 августа 2008 г.). Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой. IEEE. Дои:10.1109 / IEEESTD.2008.4610935. ISBN  978-0-7381-5753-5. IEEE Std 754-2008.
2. «ISO / IEC / IEEE 60559: 2011». 2011. Получено 2016-02-08.
3. Мюллер, Жан-Мишель; Брисебар, Николас; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Revol, Натали; Stehlé, Damien; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей точкой (1-е изд.). Биркхойзер. Дои:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN  978-0-8176-4704-9. LCCN  2009939668.
4. Коулишоу, Майкл Фредерик (2007-02-13) [2000-10-03]. "Краткое описание плотно упакованного десятичного кодирования". IBM. В архиве из оригинала от 24.09.2015. Получено 2016-02-07.