Функция Дебая - Debye function

В математика, семья Дебаевские функции определяется

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.}$

Функции названы в честь Питер Дебай, кто сталкивался с этой функцией (с п = 3) в 1912 г., когда он аналитически вычислил теплоемкость того, что сейчас называется Дебая модель.

Математические свойства

Отношение к другим функциям

Функции Дебая тесно связаны с полилогарифм.

Расширение серии

У них есть расширение серии^[1]

${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$

куда ${\displaystyle B_{n}}$ это n-й Число Бернулли.

Предельные значения

${\displaystyle \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$

Если ${\displaystyle \Gamma }$ это гамма-функция и ${\displaystyle \zeta }$ это Дзета-функция Римана, то для ${\displaystyle x\gg 0}$,

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$^[2]

Производная

Производная подчиняется соотношению

${\displaystyle xD_{n}^{\prime }(x)=n(B(x)-D_{n}(x)),}$

куда ${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)}$ - функция Бернулли.

Приложения в физике твердого тела

Модель Дебая

В Дебая модель имеет плотность колебательных состояний

${\displaystyle g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D}}^{3}}}}$ за ${\displaystyle 0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}}$

с Частота Дебая ω_D.

Внутренняя энергия и теплоемкость

Вставка грамм во внутреннюю энергию

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$

с Распределение Бозе – Эйнштейна

${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}}$.

можно получить

${\displaystyle U=3k_{\rm {B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\rm {D}}/k_{\rm {B}}T)}$.

Теплоемкость является его производной.

Среднеквадратичное смещение

Интенсивность дифракция рентгеновских лучей или же нейтронография по волновому числу q дается Фактор Дебая-Валлера или Фактор Лэмба-Мёссбауэра Для изотропных систем он принимает вид

${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle }$).

В этом выражении среднеквадратичное смещение относится только к декартовой составляющейты_Икс вектора ты который описывает смещение атомов из их положений равновесия, предполагая гармоничность и переходя в нормальные режимы,^[3]можно получить

${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\rm {B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm {B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\rm {B}}T)-1}}+1\right].}$

Подставляя плотность состояний из модели Дебая, получаем

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{\hbar \omega _{\rm {D}}}}\right)D_{1}\left({\frac {\hbar \omega _{\rm {D}}}{k_{\rm {B}}T}}\right)+{\frac {1}{2}}\right]}$.

Из приведенного выше разложения степенного ряда ${\displaystyle D_{1}}$ следует, что среднеквадратичное смещение при высоких температурах линейно зависит от температуры

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\rm {B}}Tq^{2}}{M\omega _{\rm {D}}^{2}}}}$.

Отсутствие ${\displaystyle \hbar }$ указывает, что это классический результат. Потому что ${\displaystyle D_{1}(x)}$ идет к нулю для ${\displaystyle x\to \infty }$ следует, что для ${\displaystyle T=0}$

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}}$ (движение нулевой точки ).

Рекомендации

1. Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 27". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 998. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
2. Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «3.411.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. стр. 355ff. ISBN  0-12-384933-0. LCCN  2014010276. ISBN  978-0-12-384933-5.
3. Эшкрофт и Мермин, 1976, приложение. L,

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 27". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 998. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Запись "функция Дебая" в MathWorld, определяет функции Дебая без префактора п/Икс^п

Реализации

• Код Fortran 77 к Аллан МакЛауд из Транзакции по математическому программному обеспечению
• Версия Fortran 90
• Версия C из Научная библиотека GNU