Фактор Дебая – Валлера - Debye–Waller factor

В Фактор Дебая – Валлера (DWF), названный в честь Питер Дебай и Ивар Уоллер, используется в физика конденсированного состояния описать затухание рассеяние рентгеновских лучей или связный рассеяние нейтронов вызвано тепловым движением.^[1][2] Его также называли Фактор B или температурный фактор. Часто «фактор Дебая – Валлера» используется как общий термин, который включает Фактор Лэмба – Мёссбауэра некогерентного рассеяния нейтронов и Мессбауэровская спектроскопия.

DWF зависит от вектор рассеяния q. Для данного q, DWF (q) дает долю упругое рассеяние; 1 - DWF (q) соответственно дает долю неупругого рассеяния. (Строго говоря, такая вероятностная интерпретация в целом неверна.^[3]) В дифракция исследования, полезно только упругое рассеяние; в кристаллах это дает начало отчетливым Отражение Брэгга пики. События неупругого рассеяния нежелательны, поскольку они вызывают диффузный фон - если не проанализировать энергии рассеянных частиц, и в этом случае они несут ценную информацию (например, в неупругое рассеяние нейтронов или спектроскопия потерь энергии электронов ).

Основное выражение для DWF дается формулой

${\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}$

куда ты - смещение центра рассеяния, а ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ обозначает тепловое или временное усреднение.

Предполагая гармоничность центров рассеяния в исследуемом материале Распределение Больцмана подразумевает, что ${\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} }$ является нормально распределенный с нулевым средним. Затем, используя, например, выражение соответствующего характеристическая функция, DWF принимает вид

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-\langle [\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} ]^{2}\rangle \right)}$

Обратите внимание, что, хотя приведенное выше рассуждение является классическим, то же самое верно и в квантовой механике.

Предполагая также изотропия гармонического потенциала можно записать

${\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}$

куда q, ты - величины (или абсолютные значения) векторов q, ты соответственно, и ${\displaystyle \langle u^{2}\rangle }$ это среднеквадратичное смещение. В кристаллографических публикациях значения ${\displaystyle U}$ часто даются там, где ${\displaystyle U=\langle u^{2}\rangle }$. Обратите внимание, что если падающая волна имеет длину ${\displaystyle \lambda }$, и он упруго рассеивается на угол ${\displaystyle 2\theta }$, тогда

${\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}$

В контексте белковые структуры, используется термин B-фактор. B-фактор определяется как

${\displaystyle B={\frac {8\pi ^{2}}{3}}\langle u^{2}\rangle }$ ^[4]

Он измеряется в единицах Ų.B-факторы можно рассматривать как показывающие относительное колебательное движение различных частей конструкции. Атомы с низкими B-факторами относятся к хорошо упорядоченной части структуры. Атомы с большими B-факторами обычно принадлежат к очень гибкой части структуры. Каждая запись ATOM (Формат файла PDB ) кристаллической структуры, осажденной Банк данных белков содержит B-фактор для этого атома.

Вывод

Вступление

Эксперименты по рассеянию - распространенный метод изучения кристаллы. В таких экспериментах обычно используется зонд (например, Рентгеновские лучи или нейтроны ) и кристаллическое твердое вещество. Хорошо охарактеризованный зонд, приближающийся к кристаллу, может взаимодействовать и рассеиваться определенным образом. Математические выражения, связывающие картину рассеяния, свойства зонда, свойства экспериментального устройства и свойства кристалла, затем позволяют вывести желаемые характеристики кристаллического образца.

Следующий вывод основан на главе 14 книги Саймона. Основы оксфордского твердого тела^[5] и в отчете «Номенклатура параметров атомного смещения» от Trueblood и другие.^[6] (доступно под #Внешняя ссылка ). Для более подробного обсуждения рекомендуется обратиться к этим источникам. Справочную информацию о квантовой механике можно найти в работах Сакураи и Наполитано. Современная квантовая механика.^[7]

Эксперименты по рассеянию часто состоят из частицы с начальным импульс кристалла ${\displaystyle {\vec {k}}}$ инцидент на твердом теле. Частица проходит через потенциал, распределенный в пространстве, ${\displaystyle V({\vec {r}})}$, и выходит с импульсом кристалла ${\displaystyle {\vec {k}}'}$. Эта ситуация описывается Золотое правило Ферми, что дает вероятность перехода в единицу времени, ${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})}$, в собственное состояние энергии ${\displaystyle E_{{\vec {k}}'}}$ из собственного состояния энергии ${\displaystyle E_{\vec {k}}}$ из-за слабого возмущения, вызванного нашим потенциалом ${\displaystyle V({\vec {r}})}$.

${\displaystyle \Gamma ({\vec {k}}',{\vec {k}})={\frac {2\pi }{\hbar }}\left\vert \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle \right\vert ^{2}\delta (E_{{\vec {k}}'}-E_{\vec {k}})}$. (1)

Вставляя полный набор состояний положения, а затем используя выражение плоской волны, связывающее положение и импульс, мы обнаруживаем, что матричный элемент является просто преобразованием Фурье потенциала.

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle ={\frac {1}{L^{3}}}\int d^{3}{\vec {r}}V({\vec {r}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {r}}}}$ . (2)

Выше длина образца обозначена как ${\displaystyle L}$. Теперь предположим, что наше твердое тело представляет собой периодический кристалл, каждая элементарная ячейка которого помечена вектором положения решетки ${\displaystyle {\vec {R}}}$ . Положение в элементарной ячейке задается вектором ${\displaystyle {\vec {x}}}$ так что общее положение в кристалле может быть выражено как ${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {R}}+{\vec {x}}}$. Из-за трансляционной инвариантности наших элементарных ячеек потенциальное распределение каждой ячейки идентично и ${\displaystyle V({\vec {x}})=V({\vec {x}}+{\vec {R}})}$.

${\displaystyle \langle {\vec {k}}'|V|{\vec {k}}\rangle =\left[{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{\vec {R}}e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {R}}}\right]\left[\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i({\vec {k}}'-{\vec {k}})\cdot {\vec {x}}}\right]}$ . (3)

Уравнение Лауэ

Согласно Формула суммирования Пуассона:

${\displaystyle \sum _{\vec {R}}e^{-i{\vec {\kappa }}\cdot {\vec {R}}}={\frac {(2\pi )^{D}}{v}}\sum _{\vec {q}}\delta ({\vec {\kappa }}-{\vec {q}})}$ . (4)

${\displaystyle {\vec {q}}}$ это обратная решетка вектор периодического потенциала и ${\displaystyle v}$ объем его ячейка. Сравнивая (3) и (4), находим, что Уравнение Лауэ для возникновения рассеяния должно выполняться:

${\displaystyle {\vec {k}}'-{\vec {k}}={\vec {q}}}$. (5)

(5) является заявлением о сохранении импульса кристалла. Частицы, рассеянные в кристалле, испытывают изменение волнового вектора, равного вектору обратной решетки кристалла. Когда они это сделают, вклад в матричный элемент будет просто конечной константой. Таким образом, мы обнаруживаем важную связь между рассеянными частицами и рассеивающим кристаллом. Условие Лауэ, которое гласит, что импульс кристалла должен сохраняться, эквивалентно то Условие Брэгга ${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta }$, что требует конструктивной интерференции для рассеянных частиц. Теперь, когда мы видим, как первый фактор в (3) определяет, рассеиваются ли падающие частицы, мы рассмотрим, как второй фактор влияет на рассеяние.

Структурный фактор

Второй член в правой части (3) - это структурный фактор.

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int _{unit-cell}d^{3}{\vec {x}}V({\vec {x}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$ . (6)

Для данного вектора обратной решетки (соответствующего семейству плоскостей решетки, помеченному как Индексы Миллера ${\displaystyle (hkl)}$) интенсивность рассеянных частиц пропорциональна квадрату структурного фактора.

${\displaystyle I_{(hkl)}\propto |F_{(hkl)}|^{2}}$ . (7)

В (6) похоронены подробные аспекты кристаллической структуры, которые стоит выделить и обсудить.

Фактор Дебая – Валлера

Учет структурного фактора (и наше предположение о трансляционной инвариантности) осложняется тем фактом, что атомы в кристалле могут смещаться из соответствующих узлов решетки. Считая потенциал рассеяния пропорциональным плотности рассеивающего вещества, перепишем структурный фактор.

${\displaystyle F({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\langle \rho ({\vec {x}})\rangle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$ . (8)

Под интегралом далее понимается элементарная ячейка. ${\displaystyle \rho ({\vec {x}})}$ - плотность рассеивающего вещества. Угловые скобки указывают временное среднее значение каждой элементарной ячейки, за которым следует пространственное среднее значение по каждой элементарной ячейке. Мы также предполагаем, что каждый атом смещается независимо от других атомов.

${\displaystyle \langle \rho ({\vec {x}})\rangle \simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}\int d^{3}{\vec {x}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$ . (9)

Число атомов в элементарной ячейке равно ${\displaystyle N}$ а коэффициент заполнения атома ${\displaystyle k}$ является ${\displaystyle n_{k}}$. ${\displaystyle {\vec {x}}}$ представляет собой точку в элементарной ячейке, для которой мы хотели бы узнать плотность рассеивающего вещества. ${\displaystyle \rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})}$ это плотность рассеиваемого атомом вещества ${\displaystyle k}$ в позиции, отделенной от ядерной позиции ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$ вектором ${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}}$. ${\displaystyle p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})}$ - функция плотности вероятности для смещения. ${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$ это опорный узел решетки, из которого атом ${\displaystyle k}$ может быть перемещен на новую должность ${\displaystyle {\vec {x}}_{k}}$. Если ${\displaystyle \rho _{k}}$ достаточно симметричен (например, сферически симметричен), ${\displaystyle {\vec {x}}_{k0}}$ просто средняя ядерная позиция. При рассмотрении рассеяния рентгеновских лучей плотность рассеиваемого вещества состоит из плотности электронов вокруг ядра. Для нейтронного рассеяния имеем ${\displaystyle \delta }$-функции, взвешенные длина рассеяния ${\displaystyle b_{k}}$ для соответствующего ядра (см. Псевдопотенциал Ферми ). Обратите внимание, что в приведенном выше обсуждении мы предполагали, что атомы не деформируются. Имея это в виду, (9) можно подставить в выражение (8) для структурного фактора.

${\displaystyle F({\vec {q}})\simeq \sum _{k=1}^{N}n_{k}F_{k}({\vec {q}})}$; ${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {x}}\left[\int d^{3}{\vec {r}}_{k}\rho _{k}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{k})p_{k}({\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}}}$ . (10)

Теперь мы видим, что общий структурный фактор может быть представлен как взвешенная сумма структурных факторов. ${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})}$ соответствующий каждому атому. Установите смещение между местом в пространстве, для которого мы хотели бы знать плотность рассеяния, и исходным положением ядра равным новой переменной ${\displaystyle {\vec {t}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k0}}$. Сделайте то же самое для перемещения между перемещенным и опорным положением ядер ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {x}}_{k}-{\vec {x}}_{k0}}$. Подставляем в (10).

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left\{\int d^{3}{\vec {t}}\left[\int d^{3}{\vec {u}}\rho _{k}({\vec {t}}-{\vec {u}})p_{k}({\vec {u}})\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {t}}}\right\}e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$ . (11)

В квадратных скобках (11) сворачиваем плотность рассеивающего вещества атома ${\displaystyle k}$ с функцией плотности вероятности для некоторого ядерного смещения. Затем в фигурных скобках произведем преобразование Фурье полученной свертки. Последний шаг - умножить на фазу в зависимости от исходного (например, среднего) положения атома. ${\displaystyle k}$. Но, по мнению теорема свертки, Преобразование Фурье свертки аналогично умножению двух преобразованных функций Фурье. Установите смещение между местом в пространстве, для которого мы хотели бы знать плотность рассеяния, и положением ядра, равным новой переменной ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {x}}-{\vec {x}}_{k}={\vec {t}}-{\vec {u}}}$.

${\displaystyle F_{k}({\vec {q}})=\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$ . (12)

Подставляем (12) в (10).

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}\left[\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}\right]\left[\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\right]e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$ . (13)

Это:

${\displaystyle F({\vec {q}})=\sum _{k=1}^{N}n_{k}f_{k}({\vec {q}})T_{k}({\vec {q}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {x}}_{k0}}}$; ${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {v}}\rho _{k}({\vec {v}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {v}}}}$ , ${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})=\int d^{3}{\vec {u}}p_{k}({\vec {u}})e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}}$ . (14)

${\displaystyle f_{k}({\vec {q}})}$ это атомарный форм-фактор атома ${\displaystyle k}$; он определяет, как распределение рассеиваемого вещества относительно положения ядра влияет на рассеяние. ${\displaystyle T_{k}({\vec {q}})}$ - атомарный фактор Дебая – Валлера; он определяет, как склонность к смещению ядер из исходного положения решетки влияет на рассеяние. Выражение, данное для ${\displaystyle {\text{DWF}}}$ в начале статьи отличается из-за 1) решения взять термическое или временное среднее, 2) произвольного выбора отрицательного знака в экспоненте, и 3) решения возвести множитель в квадрат (что более прямо связывает его с наблюдаемым интенсивность).

Параметр анизотропного смещения, U

Распространенным упрощением (14) является гармоническое приближение, в котором функция плотности вероятности моделируется как Гауссовский. В этом приближении статический беспорядок смещения игнорируется, и предполагается, что атомные смещения полностью определяются движением (альтернативные модели, в которых приближение Гаусса недействительно, рассматривались в другом месте).^[8]).

${\displaystyle p({\vec {u}})\equiv {\sqrt {\frac {\mathrm {det} ({\mathsf {U^{-1}}})}{(2\pi )^{3}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {u}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}^{-1}{\vec {u}}}}$; ${\displaystyle {\vec {u}}\equiv \sum _{j=1}^{3}\Delta \xi ^{j}a^{j}{\vec {a}}_{j}}$; ${\displaystyle {\mathsf {U}}^{jl}\equiv \langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle }$. (15)

Мы отказались от атомарного индекса. ${\displaystyle {\vec {a}}_{j}}$ принадлежит прямой решетке, а ${\displaystyle {\vec {a}}^{j}}$ будет принадлежать обратной решетке. Выбрав удобную безразмерную основу ${\displaystyle a^{j}{\vec {a}}_{j}}$, мы гарантируем, что ${\displaystyle \Delta \xi ^{j}}$ будет иметь единицы длины и описывать смещение. Тензор ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ в (15) - параметр анизотропного смещения. С размером (длина)${\displaystyle ^{2}}$, это связано со среднеквадратичными смещениями. Для среднеквадратичного смещения по единичному вектору ${\displaystyle {\hat {n}}}$просто возьми ${\displaystyle {\hat {n}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\hat {n}}}$. Связанные схемы используют параметры ${\displaystyle \beta }$ или B, а не ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ (см. Trueblood и другие.^[6] для более полного обсуждения). Наконец, мы можем найти связь между фактором Дебая – Валлера и параметром анизотропного смещения.

${\displaystyle T({\vec {q}})=\langle e^{-i{\vec {q}}\cdot {\vec {u}}}\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}\langle ({\vec {q}}\cdot {\vec {u}})^{2}\rangle }=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}\langle \Delta \xi ^{j}\Delta \xi ^{l}\rangle a^{l}q_{l}}=e^{-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}q_{j}a^{j}{\mathsf {U}}^{jl}a^{l}q_{l}}}$. (16)

Из уравнений (7) и (14) фактор Дебая – Валлера ${\displaystyle T({\vec {q}})}$ вносит вклад в наблюдаемую интенсивность дифракционного эксперимента. И на основании (16) мы видим, что наш коэффициент анизотропного смещения ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ отвечает за определение ${\displaystyle T({\vec {q}})}$. Кроме того, (15) показывает, что ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ может быть напрямую связано с функцией плотности вероятности ${\displaystyle p}$ для ядерного вытеснения ${\displaystyle {\vec {u}}}$ со средней позиции. В результате можно провести эксперимент по рассеянию на кристалле, подогнать полученный спектр для различных атомных ${\displaystyle {\mathsf {U}}}$ значения, и вывести тенденцию каждого атома к ядерному смещению из ${\displaystyle p}$.

Приложения

Модель теплового эллипсоида H с вероятностью 50%₈Si₈О₁₂ построен на ОРТЕП-3^[9] из файла .cif на ICSD.^[10] Анализ после дифракционного эксперимента состоит из примерка наблюдаемому спектру рассеянных частиц. U может быть уточнен для каждого отдельного атома во время процесса. Для модели с вероятностью выше 50% ${\displaystyle p({\vec {u}})=0.5}$ в уравнении (15). Это определяет поверхность ядерных смещений ${\displaystyle {\vec {u}}}$ для каждого U. Следовательно, мы ожидаем, что каждый эллипсоид будет различаться в зависимости от типа и окружения его атома. Обратите внимание, что поверхности представляют собой ядерные смещения; модели теплового эллипсоида не следует путать с другими моделями (например, электронной плотностью, радиусами Ван-дер-Ваальса). Отображается менее 28 атомов из-за избыточности по соображениям симметрии.

Параметры анизотропного смещения часто используются для визуализации материи. Из (15) можно определить эллипсоиды постоянной вероятности, для которых ${\displaystyle \gamma ={\vec {u}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\vec {u}}}$, куда ${\displaystyle \gamma }$ некоторая константа. Такой "эллипсоиды колебаний "были использованы для иллюстрации кристаллических структур.^[9] В качестве альтернативы, среднеквадратичные поверхности смещения вдоль ${\displaystyle {\hat {n}}}$ может быть определено ${\displaystyle \langle {\vec {u}}^{2}\rangle _{\hat {n}}={\hat {n}}^{\mathsf {T}}{\mathsf {U}}{\hat {n}}}$. См. Внешние ссылки "Галерея трассированных лучей ОРТЕП", "2005 г., статья Роуселла. и другие. »и« Статья Коростелева и Ноллера 2009 г. »для получения дополнительных изображений. Параметры анизотропного смещения также уточняются в программах (например, GSAS-II^[11]) для разрешения спектров рассеяния во время Утонченность Ритвельда.

Рекомендации

1. Дебай, Питер (1913). "Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung". Annalen der Physik (на немецком). 348 (1): 49–92. Bibcode:1913AnP ... 348 ... 49D. Дои:10.1002 / иp.19133480105.
2. Уоллер, Ивар (1923). "Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen". Zeitschrift für Physik A (на немецком). 17 (1): 398–408. Bibcode:1923ZPhy ... 17..398W. Дои:10.1007 / BF01328696. S2CID  121962265.
3. Липкин, Гарри (2004). «Физика факторов Дебая-Валлера». arXiv:cond-mat / 0405023v1.
4. Бахар, Ивет; Атилган, Али Рана; Эрман, Бурак (1997). «Прямая оценка тепловых флуктуаций белков с использованием однопараметрического гармонического потенциала». Складывание и дизайн. 2 (3): 173–181. Дои:10.1016 / S1359-0278 (97) 00024-2. PMID  9218955.
5. Саймон, Стивен Х., автор. (2013-06-20). Основы оксфордского твердого тела. ISBN  9780199680771. OCLC  1038069097.
6. Trueblood, K. N .; Bürgi, H.B .; Burzlaff, H .; Dunitz, J. D .; Gramaccioli, C.M .; Schulz, H.H .; Шмуэли, У .; Абрахамс, С. К. (1 сентября 1996 г.). «Номенклатура параметров смещения атомов. Отчет подкомитета по номенклатуре параметров смещения атомов». Acta Crystallographica Раздел A. 52 (5): 770–781. Дои:10.1107 / s0108767396005697. ISSN  0108-7673.
7. Sakurai, J. J .; Наполитано, Джим (21.09.2017). Современная квантовая механика. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017/9781108499996. ISBN  9781108499996.
8. «3. За пределами приближения Гаусса». ww1.iucr.org. Получено 2019-05-15.
9. Burnett, M.N .; Джонсон, К. К. (1996-07-01). "ORTEP-III: Программа тепловых эллипсоидов Ок-Ридж для иллюстраций кристаллической структуры". OSTI  369685.
10. Торнроос, К. В. (1994-11-15). «Октагидридосиласесквиоксан, определенный методом дифракции нейтронов». Acta Crystallographica Раздел C. 50 (11): 1646–1648. Дои:10.1107 / S0108270194005342.
11. «Справка по GSAS-II». subversion.xray.aps.anl.gov. Получено 2019-04-30.

внешняя ссылка

• Статья 2019 года Малики и Даль Корсо. Введение в фактор Дебая-Валлера и приложения в рамках функциональной теории плотности - Температурно-зависимый атомный B-фактор: расчет ab initio
• Галерея ОРТЕПов с трассировкой лучей - Университет Глазго
• Статья 2005 года Роуселла и другие. с изображением металлоорганического каркаса тепловых эллипсоидов - Сайты адсорбции газа в металлоорганическом каркасе с большими порами
• Статья Коростелева и Ноллера 2009 г., изображающая тепловые эллипсоиды тРНК - Анализ структурной динамики в рибосоме с помощью кристаллографического уточнения TLS
• Cruickshank's 1956 г. Acta Cryst. бумага - Анализ анизотропного теплового движения молекул в кристаллах
• Отчет Trueblood за 1996 год и другие. - Номенклатура параметров атомного смещения