Цепные вращения Давенпорта - Davenport chained rotations

В физика и инженерное дело, Цепные вращения Давенпорта три прикованы внутренний вращения вокруг конкретных осей, закрепленных за телом. Вращения Эйлера и вращения Тейта – Брайана являются частными случаями разложения общего вращения Дэвенпорта. Углы поворота называются углами Давенпорта, потому что общая проблема разложения вращения на последовательность из трех была впервые изучена Полом Б. Давенпортом.^[1]

Затем на-ортогональный вращающуюся систему координат можно представить как жестко прикрепленную к твердому телу. В этом случае его иногда называют местный система координат. Поскольку оси вращения солидарны с движущимся телом, обобщенные вращения можно разделить на две группы (здесь Икс, у и z относятся к неортогональной подвижной системе отсчета):

Обобщенные вращения Эйлера

(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)

Обобщенные вращения Тейта – Брайана.

(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

Большинство случаев относятся ко второй группе, поскольку обобщенные вращения Эйлера являются вырожденным случаем, в котором первая и третья оси перекрываются.

Теорема вращения Дэвенпорта

Возможные оси Давенпорта для шагов 1 и 3 с учетом Z как шага 2

Общая проблема разложения вращение на три составных движения вокруг внутренних осей был изучен П. Дэвенпортом под названием "обобщенные Углы Эйлера », но впоследствии эти углы были названы М. Шустером и Л. Маркли« углами Давенпорта ».^[2]

Общая проблема состоит в получении матричного разложения вращения по трем известным осям. В некоторых случаях одна из осей повторяется. Эта проблема эквивалентна задаче разложения матриц.^[3]

Давенпорт доказал, что любой ориентации можно достичь, составив три элементарных вращения с использованием неортогональных осей. Элементарные вращения могут происходить либо вокруг осей фиксированной системы координат (внешние вращения ) или вокруг осей вращающейся системы координат, которая изначально совмещена с фиксированной и изменяет свою ориентацию после каждого элементарного вращения (собственное вращение ).

Согласно теореме Дэвенпорта, уникальное разложение возможно тогда и только тогда, когда вторая ось перпендикулярна двум другим осям. Следовательно, оси 1 и 3 должны находиться в плоскости, ортогональной оси 2.^[4]

Следовательно, разложения в цепные вращения Эйлера и цепные вращения Тейта – Брайана являются частными случаями этого. Случай Тейта – Брайана возникает, когда оси 1 и 3 перпендикулярны, а случай Эйлера появляется, когда они перекрываются.

Полная система ротаций

Изображение 2: Самолет покоится на самолете

Набор вращений Дэвенпорта считается завершенным, если его достаточно для создания любого вращения пространства по композиции. Выражаясь в терминах матрицы, он является полным, если может генерировать любую ортонормированную матрицу пространства, определитель которой равен +1. Из-за некоммутативности матричного произведения систему вращения необходимо заказывать.

Иногда порядок определяется геометрией основной проблемы. Например, при использовании для транспортных средств, у которых есть специальная ось, указывающая в направлении «вперед», полезна только одна из шести возможных комбинаций поворотов. Интересная композиция - это та, которая способна управлять курсом и углом возвышения самолета с одним независимым вращением каждый.

На соседнем чертеже композиция рыскания, тангажа и крена (YPR) позволяет регулировать направление самолета с двумя первыми углами. Другой состав, такой как YRP, позволил бы установить направление оси крыльев, что, очевидно, в большинстве случаев бесполезно.

Цепные вращения Тейта – Брайана

В главные оси самолета

Вращения Тейта – Брайана представляют собой частный случай, когда первая и третья оси перпендикулярны между ними. Предполагая система отсчета <Икс, у, z> с соглашение как на изображении 2, и самолет с <рыскание, тангаж, крен> топоры как на изображении 1, лежащем горизонтально в плоскости вначале, после выполнения внутренних поворотов Y, P и R по осям рыскания, тангажа и крена (в этом порядке) мы получаем нечто похожее на изображение 3.

Углы курса, возвышения и крена после рыскания, тангажа и крена (Z-Y’-X ’’)

В начале :

• ось крена самолета находится на оси Икс системы отсчета
• ось тангажа плоскости находится на оси у системы отсчета
• ось рыскания плоскости находится на оси z системы отсчета

Повороты применяются в порядке рыскание, тангаж и крен. В этих условиях курс (угол в горизонтальной плоскости) будет равен приложенному рысканью, а высота будет равна тангажу.

Матричные выражения для трех вращений Тейта – Брайана в трех измерениях:

${\displaystyle {\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Матрица составленных поворотов:

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\mathrm {Yaw} (\psi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Roll} (\phi )\\&=R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi ).\end{aligned}}}$

Из шести возможных комбинаций рыскания, тангажа и крена эта комбинация является единственной, в которой курс (направление оси крена) равен одному из поворотов (рыскание), а высота (угол оси крена) с горизонтальной плоскостью) равно другому вращению (шагу).

Цепные вращения Эйлера

Исходное положение самолета для применения правильных углов Эйлера

Вращения Эйлера появляются как частный случай, когда первая и третья оси вращения перекрываются. Эти вращения Эйлера связаны с собственными углами Эйлера, которые, как считалось, изучали движение твердого тела, такого как планета. Угол, определяющий направление оси крена, обычно называется «долгота оси вращения» или «долгота линии узлов», а не «курс», что не имеет смысла для планеты.

В любом случае, вращение Эйлера все еще можно использовать, говоря о транспортном средстве, хотя оно будет иметь странное поведение. Так как вертикальная ось является началом углов, она называется «наклон», а не «высота». Как и раньше, при описании положения транспортного средства считается, что ось направлена ​​вперед, и поэтому будет полезна только одна из возможных комбинаций поворотов.

Комбинация зависит от того, как взята ось и каково начальное положение плоскости. Используя тот, что на чертеже, и комбинируя повороты таким образом, что ось повторяется, только крен – тангаж – крен позволит контролировать долготу и наклон с одним оборотом каждый.

Три матрицы для умножения:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

В этой конвенции Roll₁ задает "курс", Pitch - "наклон" (дополняющий высоту), а Roll₂ накладывает «наклон».

Преобразование во внешние вращения

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (−60 °, 30 °, 45 °), используя z-x’-z ″ собственное вращение

То же вращение, представленное как (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием z-x-z внешние вращения

Вращения Давенпорта обычно изучаются как внутренняя композиция вращения из-за важности осей, прикрепленных к движущемуся телу, но они могут быть преобразованы во внешнюю композицию вращения, если это может быть более интуитивно понятным.

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с инвертированным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные вращения x-y’-z ″ по углам α, β, γ эквивалентны сторонним вращениям г-у-х по углам γ, β, α. Оба представлены матрицей

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

если р используется для предварительного умножения вектор-столбец, и матрицей

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

если р используется для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Связь с физическими движениями

Смотрите также: Гивенса вращения

Собственные вращения

Внутренние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей вращающейся системы координат. XYZ, который меняет свою ориентацию после каждого вращения элемента. В XYZ система вращается, а xyz фиксированный. Начиная с XYZ перекрытие xyz, композиция из трех собственных вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) - амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

• В XYZ система вращается α о Z ось (которая совпадает с z ось). В Икс ось теперь лежит на линии узлов.
• В XYZ система вращается вокруг теперь повернутого Икс ось β. В Z ось теперь в своей окончательной ориентации, а Икс ось остается на линии узлов.
• В XYZ система в третий раз рассказывает о новом Z ось γ.

Вышеупомянутый обозначение позволяет нам резюмировать это следующим образом: три элементарных вращения XYZ-системы происходят примерно z, Икс' и z″. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x’-z ″. Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше). Иногда ту же последовательность просто называют z-x-z, Z-X-Z, или же 3-1-3, но это обозначение может быть неоднозначным, поскольку оно может быть идентично используемому для внешних вращений. В этом случае возникает необходимость отдельно указать, являются ли вращения внутренними или внешними.

Матрицы вращения может использоваться для представления последовательности внутренних вращений. Например,

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

представляет собой композицию собственных вращений вокруг осей x-y’-z ″, если используется для предварительного умножения вектор-столбец, пока

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

представляет собой точно такую ​​же композицию при использовании для постмножения векторы-строки. Видеть Неопределенности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Внешние вращения

Внешние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат. xyz. В XYZ система вращается, а xyz фиксированный. Начиная с XYZ перекрытие xyz, композиция из трех внешних вращений может быть использована для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) - амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

• В XYZ система вращается вокруг z ось α. В Икс ось теперь под углом α с уважением к Икс ось.
• В XYZ система снова вращается вокруг Икс ось β. В Z ось теперь находится под углом β по отношению к z ось.
• В XYZ система вращается в третий раз вокруг z ось γ.

В общем, три вращения элементов происходят примерно на z, Икс и z. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x-z (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта – Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше).

Матрицы вращения может использоваться для представления последовательности внешних вращений. Например,

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

представляет собой композицию внешних вращений вокруг осей х-у-я, если используется для предварительного умножения вектор-столбец, пока

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

представляет собой точно такую ​​же композицию при использовании для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Преобразование между внутренним и внешним вращениями

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (−60 °, 30 °, 45 °), используя z-x’-z ″ собственное вращение

То же вращение, представленное как (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием z-x-z внешние вращения

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с инвертированным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные вращения x-y’-z ″ по углам α, β, γ эквивалентны внешним вращениям г-у-х по углам γ, β, α. Оба представлены матрицей

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

если р используется для предварительного умножения вектор-столбец, а матрицей

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )}$

если р используется для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Доказательство преобразования в случае предварительного умножения

Матрица вращения собственной последовательности вращения x-y’-z ″ можно получить последовательным вращением внутренних элементов справа налево:

${\displaystyle R=Z''Y'X.}$

В этом процессе есть три кадра, связанные во внутренней последовательности вращения. Обозначим кадр 0 как начальный кадр, кадр 1 после первого поворота вокруг ось x, кадр 2 после второго оборота вокруг ты оси, а кадр 3 - как третий оборот вокруг z ″ ось.

Поскольку матрица вращения может быть представлена ​​среди этих трех кадров, давайте использовать индекс левого плеча для обозначения кадра представления. Следующие обозначения означают матрицу вращения, которая преобразует кадр. а к раме б и это представлено в кадре c :

${\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}$

Матрица вращения внутреннего элемента, представленная в том кадре, где происходит поворот, имеет то же значение, что и соответствующая матрица вращения внешнего элемента:

${\displaystyle {}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}=Z.}$

Внутренняя матрица вращения элементов Y ’ и Z ″ Представленные в кадре 0 могут быть выражены в других формах:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\Z''&={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2}\!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aligned}}}$

Два приведенных выше уравнения подставляются в первое уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right)X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{-1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}}$

Таким образом, матрица вращения внутренней последовательности вращения элементов такая же, как и матрица обратной последовательности вращения внешних элементов:

${\displaystyle R=Z''Y'X=XYZ.}$

Смотрите также

• Разложение матрицы
• Вращение Гивенса

Рекомендации

1. П. Б. Давенпорт, Вращения относительно неортогональных осей
2. М. Шустер и Л. Маркли, Обобщение углов Эйлера, Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 51, № 2, апрель – июнь 2003 г., стр. 123–123.
3. Дж. Виттенбург, Л. Лилов, Разложение конечного вращения на три вращения вокруг заданных осей [1]
4. М. Шустер и Л. Маркли, Обобщение углов Эйлера, Journal of the Astronautical Sciences, Vol. 51, № 2, апрель – июнь 2003 г., стр. 123–123.