Коэффициент демпфирования - Damping ratio

«Демпфирование» перенаправляется сюда. О технике игры на музыкальных инструментах см. Демпфирование (музыка).

Недостаточно демпфированный пружинно-массовая система с ζ < 1

Демпфирование влияние внутри или на колебательная система который имеет эффект уменьшения, ограничения или предотвращения его колебаний. В физических системах демпфирование создается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях.^[1] Примеры включают вязкий тащить в механических системах, сопротивление в электронные генераторы, а поглощение и рассеяние света в оптические генераторы. Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, таких как те, которые возникают в биологические системы и велосипеды.^[2]

В коэффициент демпфирования это безразмерный мера, описывающая, как колебания в системе распад после беспокойства. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда их отвлекают от своего положения. статическое равновесие. Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционный ) демпфируют систему и могут вызвать постепенное затухание амплитуды колебаний в сторону нуля или ослаблять. Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.

Коэффициент демпфирования - системный параметр, обозначаемый ζ (дзета), который может варьироваться от незатухающий (ζ = 0), недостаточно демпфированный (ζ < 1) через критически затухающий (ζ = 1) к чрезмерно демпфированный (ζ > 1).

Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая техника управления, химическая инженерия, машиностроение, Строительная инженерия, и электротехника. Физическая величина, которая колеблется, сильно различается и может быть колебанием высокого здания на ветру или скоростью электрический двигатель, но нормализованный или безразмерный подход может быть удобен для описания общих аспектов поведения.

Колебательные случаи

В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы.

• Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающий.
• Если система содержит большие потери, например, если эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкий жидкости, масса могла медленно возвращаться в исходное положение, даже не превышая ее. Этот случай называется чрезмерно демпфированный.
• Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего исходного положения, а затем возвращаться, снова превышая ее. При каждом выбросе некоторая энергия в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недостаточно демпфированный.
• Между случаями с избыточным и недостаточным демпфированием существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическое демпфирование. Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием заключается в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.

Определение

Влияние изменения коэффициента демпфирования на систему второго порядка.

В коэффициент демпфирования - параметр, обычно обозначаемый ζ (дзета),^[3] что характеризует частотный отклик из обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Это особенно важно при изучении теория управления. Это также важно в гармонический осциллятор.

Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для затухающего гармонического осциллятора с массой м, коэффициент демпфирования c, и постоянная пружины k, его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}},}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

где уравнение движения системы

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0}$

а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен

${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

или же

${\displaystyle c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}}$

куда

${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ это собственная частота системы.

Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.

Вывод

Используя собственную частоту гармонический осциллятор ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

Это уравнение можно решить с помощью подхода.

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},\,}$

куда C и s оба сложный константы, с s удовлетворение

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

Два таких решения для двух значений s удовлетворяющие уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:

Незатухающий

Случай, когда ${\displaystyle \zeta =0}$ соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение имеет вид ${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$, как и ожидалось.

Недостаточно демпфированный

Если s представляет собой пару комплексных значений, тогда каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит как ${\displaystyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$. Этот случай имеет место для ${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$, и называется недостаточно демпфированный.

Сверхдемпфированный

Если s - пара действительных значений, то решение представляет собой просто сумму двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место для ${\displaystyle \zeta >1}$, и называется чрезмерно демпфированный.

Критически затухающий

Случай, когда ${\displaystyle \zeta =1}$ является границей между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования, и называется критически затухающий. Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерная разработка демпфирующего генератора (например, механизма закрытия двери).

Добротность и скорость затухания

В Добротность, коэффициент демпфирования ζ, и экспоненциальная скорость затухания α связаны так, что^[4]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

Когда система второго порядка ${\displaystyle \zeta <1}$ (то есть, когда система недостаточно демпфирована), она имеет два комплексно сопряженный полюса, каждый из которых имеет реальная часть из ${\displaystyle -\alpha }$; то есть параметр скорости распада ${\displaystyle \alpha }$ представляет собой скорость экспоненциальный спад колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования означает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени.^[5] Например, качественный камертон, который имеет очень низкий коэффициент демпфирования, имеет длительные колебания и очень медленно затухает после удара молотком.

Логарифмический декремент

Для недостаточно демпфированных колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмический декремент ${\displaystyle \delta }$ через отношение

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {2\pi }{\delta }}\right)^{2}}}}\qquad {\text{where}}\qquad \delta \triangleq \ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$

куда ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ - амплитуды колебаний на двух последовательных пиках затухающей вибрации.

Процент превышения

В теория управления, превышение относится к выходу, превышающему его конечное установившееся значение.^[6] Для пошаговый ввод, то процентное превышение (PO) - максимальное значение минус значение шага, деленное на значение шага. В случае единичного шага превышение это просто максимальное значение шаговой характеристики минус один.

Процент превышения (PO) связана с коэффициентом демпфирования (ζ) к:

${\displaystyle PO=100e^{-\left({\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}}$

И наоборот, коэффициент демпфирования (ζ), что дает определенный процент перерегулирования (PO) дан кем-то:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {PO}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {PO}{100}}\right)}}}}$

Рекомендации

1. Стейдель (1971). Введение в механические колебания. Джон Вили и сыновья. п. 37. затухающий, который используется при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии
2. J. P. Meijaard; Дж. М. Пападопулос; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А. 463 (2084): 1955–1982. Bibcode:2007RSPSA.463.1955M. Дои:10.1098 / rspa.2007.1857. S2CID  18309860. колебания наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и управляемых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.
3. Альсиатор, Дэвид Г. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  978-0-07-296305-2.
4. Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы. MIT Press.
5. Мин Рао и Хаймин Цю (1993). АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков. CRC Press. п. 96. ISBN  978-2-88124-628-9.
6. Куо, Бенджамин С и Голнараги М. Ф. (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN  0-471-13476-7.