Циклическое подпространство - Cyclic subspace

В математика, в линейная алгебра и функциональный анализ, а циклическое подпространство это особенный подпространство из векторное пространство ассоциированный с вектором в векторном пространстве и линейное преобразование векторного пространства. Циклическое подпространство, ассоциированное с вектором v в векторном пространстве V и линейное преобразование Т из V называется Т-циклическое подпространство, порожденное v. Понятие циклического подпространства является основным компонентом формулировки теоремы о циклическом разложении в линейной алгебре.

Определение

Позволять ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ - линейное преобразование векторного пространства ${ displaystyle V}$ и разреши ${ displaystyle v}$ быть вектором в ${ displaystyle V}$ . В ${ displaystyle T}$ -циклическое подпространство ${ displaystyle V}$ создано ${ displaystyle v}$ подпространство ${ displaystyle W}$ из ${ displaystyle V}$ порожденный набором векторов ${ Displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots }}$ . Это подпространство обозначается через ${ Displaystyle Z (v; T)}$ . В случае, когда ${ displaystyle V}$ это топологическое векторное пространство, ${ displaystyle v}$ называется циклический вектор за ${ displaystyle T}$ если ${ Displaystyle Z (v; T)}$ плотно в ${ displaystyle V}$ . Для частного случая конечномерный пробелов, это эквивалентно тому, что ${ Displaystyle Z (v; T)}$ это все пространство ${ displaystyle V}$ .^[1]

Есть другое эквивалентное определение циклических пространств. Позволять ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ - линейное преобразование топологического векторного пространства над поле ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle v}$ быть вектором в ${ displaystyle V}$ . Множество всех векторов вида ${ displaystyle g (T) v}$ , куда ${ displaystyle g (x)}$ это многочлен в звенеть ${ displaystyle F [x]}$ всех многочленов из ${ displaystyle x}$ над ${ displaystyle F}$ , это ${ displaystyle T}$ -циклическое подпространство, порожденное ${ displaystyle v}$ .^[1]

Подпространство ${ Displaystyle Z (v; t)}$ является инвариантное подпространство за ${ displaystyle T}$ , в том смысле, что ${ Displaystyle TZ (v; T) подмножество Z (v; t)}$ .

Примеры

Для любого векторного пространства ${ displaystyle V}$ и любой линейный оператор ${ displaystyle T}$ на ${ displaystyle V}$ , то ${ displaystyle T}$ -циклическое подпространство, порожденное нулевым вектором, является нулевым подпространством ${ displaystyle V}$ .
Если ${ displaystyle I}$ это оператор идентификации затем каждый ${ displaystyle I}$ -циклическое подпространство одномерно.
${ Displaystyle Z (v; T)}$ одномерно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle v}$ это характеристический вектор (собственный вектор) ${ displaystyle T}$ .
Позволять ${ displaystyle V}$ - двумерное векторное пространство, и пусть ${ displaystyle T}$ - линейный оператор на ${ displaystyle V}$ представлен матрицей ${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}}}$ относительно стандартной упорядоченной базы ${ displaystyle V}$ . Позволять ${ displaystyle v = { begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}}$ . потом ${ Displaystyle Tv = { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}, quad T ^ {2} v = 0, ldots, T ^ {r} v = 0, ldots}$ . Следовательно ${ Displaystyle {v, T (v), T ^ {2} (v), ldots, T ^ {r} (v), ldots } = left {{ begin {bmatrix} 0 1 end {bmatrix}}, { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}} right }}$ и так ${ Displaystyle Z (v; T) = V}$ . Таким образом ${ displaystyle v}$ - циклический вектор для ${ displaystyle T}$ .

Сопутствующая матрица

Позволять ${ displaystyle T: V rightarrow V}$ - линейное преобразование ${ displaystyle n}$ -мерное векторное пространство ${ displaystyle V}$ над полем ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle v}$ быть циклическим вектором для ${ displaystyle T}$ . Тогда векторы