Условие Куранта – Фридрихса – Леви. - Courant–Friedrichs–Lewy condition

В математика, то условие сходимости Куранта – Фридрихса – Леви является необходимым условием сходимости при решении некоторых уравнения в частных производных (обычно гиперболические PDE ) численно. Возникает в численный анализ из явное интегрирование по времени схемы, когда они используются для численного решения. Как следствие, временной шаг должен быть меньше определенного времени во многих явный марширующий во времени компьютерное моделирование, в противном случае моделирование даст неверные результаты. Состояние названо в честь Ричард Курант, Курт Фридрихс, и Ганс Леви которые описали это в своей статье 1928 года.^[1]

Эвристическое описание

Принцип, лежащий в основе условия, заключается в том, что, например, если волна движется по дискретной пространственной сетке, и мы хотим вычислить ее амплитуда на дискретных временных шагах равной продолжительности,^[2] тогда эта продолжительность должна быть меньше времени, в течение которого волна доходит до соседних точек сетки. Как следствие, когда расстояние между точками сетки уменьшается, верхний предел для временного шага также уменьшается. По сути, численная область зависимости любой точки в пространстве и времени (определяемая начальными условиями и параметрами схемы аппроксимации) должна включать аналитическую область зависимости (в которой начальные условия влияют на точное значение решение в этот момент), чтобы гарантировать, что схема может получить доступ к информации, необходимой для формирования решения.

утверждение

Чтобы сделать достаточно формально точную формулировку условия, необходимо определить следующие величины:

Пространственная координата: один из координаты из физическое пространство в котором ставится проблема
Пространственное измерение проблемы: число ${ displaystyle n}$ из пространственные размеры, т.е. количество пространственных координаты из физическое пространство где ставится проблема. Типичные значения: ${ Displaystyle п = 1}$ , ${ displaystyle n = 2}$ и ${ displaystyle n = 3}$ .
Время: the координировать, действуя как параметр, который описывает эволюцию системы, отличную от пространственных координат

Пространственные координаты и время дискретно независимы. переменные, которые расположены на регулярных расстояниях, называемых длина интервала^[3] и шаг временисоответственно. Используя эти имена, условие CFL связывает длину временного шага с функцией длины интервала каждой пространственной координаты и максимальной скорости, с которой информация может перемещаться в физическом пространстве.

Оперативно состояние CFL обычно назначается для тех сроков конечно-разностная аппроксимация общего уравнения в частных производных которые моделируют адвекция явление.^[4]

Одномерный случай

Для одномерного случая КЛЛ имеет следующий вид:

{ displaystyle C = { frac {u , Delta t} { Delta x}} leq C _ { max}}

где безразмерное число ${ displaystyle C}$ называется Число Куранта,

${ displaystyle u}$ это величина скорости (чья измерение длина / время)
${ displaystyle Delta t}$ шаг по времени (чей измерение время)
${ displaystyle Delta x}$ - интервал длины (чей измерение длина).

Значение ${ displaystyle C _ { max}}$ изменяется в зависимости от метода, используемого для решения дискретного уравнения, особенно в зависимости от того, является ли метод явный или неявный. Если используется явный (маршевый) решатель, то обычно ${ displaystyle C _ { max} = 1}$ . Неявные (матричные) решатели обычно менее чувствительны к числовой нестабильности и поэтому большие значения ${ displaystyle C _ { max}}$ можно терпеть.

Два и общий п-мерный корпус

в двумерный случае условие CFL становится

{ displaystyle C = { frac {u_ {x} , Delta t} { Delta x}} + { frac {u_ {y} , Delta t} { Delta y}} leq C_ { Максимум }}

с очевидным значением задействованных символов. По аналогии с двумерным случаем общее условие CFL для ${ displaystyle n}$ -мерный случай следующий:

{ displaystyle C = Delta t left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {u_ {x_ {i}}} { Delta x_ {i}}} right) leq C_ {Максимум }.}

Длина интервала не обязательно должна быть одинаковой для каждой пространственной переменной. ${ displaystyle Delta x_ {i}, i = 1, ldots, n}$ . Эта "степень свободы "можно использовать для некоторой оптимизации значения временного шага для конкретной задачи, изменяя значения разных интервалов, чтобы они не были слишком маленькими.

Заметки

^ См. Ссылку Курант, Фридрихс и Леви 1928. Существует также английский перевод 1928 г. Немецкий оригинал: см. ссылки Курант, Фридрихс и Леви 1956 и Курант, Фридрихс и Леви 1967.
^ Такая ситуация обычно возникает, когда гиперболический оператор в частных производных был приблизительный по конечно-разностное уравнение, который затем решается числовая линейная алгебра методы.
^ Это количество не обязательно одинаково для каждой пространственной переменной, как показано на "Два и общий п–Мерный случай "этой записи: его можно выбрать, чтобы несколько смягчить условие.
^ Точнее, это гиперболическая часть анализируемой PDE.

использованная литература

Курант, Р.; Фридрихс, К.; Леви, Х. (1928), "Über die partiellen Differenzengleichungen der Mathematischen Physik", Mathematische Annalen (на немецком), 100 (1): 32–74, Bibcode:1928МатАн.100 ... 32С, Дои:10.1007 / BF01448839, JFM 54.0486.01, Г-Н 1512478.
Курант, Р.; Фридрихс, К.; Леви, Х. (Сентябрь 1956 г.) [1928 г.], Об уравнениях математической физики в частных разностях, AEC Research and Development Report, NYO-7689, New York: AEC Computing and Applied Mathematics Center - Курантский институт математических наук, стр. V + 76, архивировано с оригинал 23 октября 2008 г..: перевод с Немецкий пользователя Phyllis Fox. Это более ранняя версия статьи. Курант, Фридрихс и Леви 1967, распространяется как исследовательский отчет.
Курант, Р.; Фридрихс, К.; Леви, Х. (Март 1967) [1928], «Об уравнениях математической физики в частных разностях», Журнал исследований и разработок IBM, 11 (2): 215–234, Bibcode:1967IBMJ ... 11..215C, Дои:10.1147 / рд.112.0215, Г-Н 0213764, Zbl 0145.40402. Можно найти свободно загружаемую копию Вот.

внешние ссылки

[1] См. Ссылку Курант, Фридрихс и Леви 1928. Существует также английский перевод 1928 г. Немецкий оригинал: см. ссылки Курант, Фридрихс и Леви 1956 и Курант, Фридрихс и Леви 1967.

[2] Такая ситуация обычно возникает, когда гиперболический оператор в частных производных был приблизительный по конечно-разностное уравнение, который затем решается числовая линейная алгебра методы.

[3] Это количество не обязательно одинаково для каждой пространственной переменной, как показано на "Два и общий п–Мерный случай "этой записи: его можно выбрать, чтобы несколько смягчить условие.

[4] Точнее, это гиперболическая часть анализируемой PDE.

[1]

[2]

[3]

[4]