Константа Коупленда – Эрдеша - Copeland–Erdős constant

В Константа Коупленда – Эрдеша является конкатенацией "0". с базой 10 представлений простые числа чтобы. Его значение, используя современное определение простого числа,^[1] примерно

0,235711131719232931374143… (последовательность A033308 в OEIS ).

Константа иррациональна; это можно доказать с помощью Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях или же Постулат Бертрана (Харди и Райт, стр. 113) или Теорема Рамаре что каждое четное целое число представляет собой сумму не более шести простых чисел. Это также прямо следует из его нормальности (см. Ниже).

По аналогичному аргументу любая константа, созданная объединением «0». со всеми простыми числами в арифметическая прогрессия дн + а, куда а является совмещать к d а до 10 будет иррационально. Например. простые числа вида 4п +1 или 8п + 1. По теореме Дирихле арифметическая прогрессия дн·10^м + а содержит простые числа для всех м, и эти простые числа также находятся в CD + а, поэтому конкатенированные простые числа содержат произвольно длинные последовательности нулевой цифры.

В базе 10 константа - это нормальный номер, факт, доказанный Артур Герберт Коупленд и Пол Эрдёш в 1946 году (отсюда и название постоянной).^[2]

Константа определяется выражением

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$

куда п_п это пth простое число.

Его непрерывная дробь равно [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1,…] (OEIS: A030168).

Связанные константы

Доказательство Коупленда и Эрдеша, что их константа нормальна, основывается только на том факте, что ${\displaystyle p_{n}}$ строго увеличивается и ${\displaystyle p_{n}=n^{1+o(1)}}$, куда ${\displaystyle p_{n}}$ затем^th простое число. В более общем смысле, если ${\displaystyle s_{n}}$ - любая строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что ${\displaystyle s_{n}=n^{1+o(1)}}$ и ${\displaystyle b}$ - любое натуральное число, большее или равное 2, то константа, полученная конкатенацией "0". с базой-${\displaystyle b}$ представления ${\displaystyle s_{n}}$это нормально в базе ${\displaystyle b}$. Например, последовательность ${\displaystyle \lfloor n(\log n)^{2}\rfloor }$ удовлетворяет этим условиям, поэтому константа 0,003712192634435363748597110122136… нормальна в системе счисления 10, а 0,003101525354661104…₇ нормально в базе 7.

В любой данной базе б номер

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,}$

который можно записать в базе б как 0,0110101000101000101…_бгде п-я цифра равна 1 тогда и только тогда, когда п простое, иррациональное.^[3]

Смотрите также

• Числа Смарандаче – Веллина: усеченное значение этой константы, умноженное на соответствующую степень 10.
• Постоянная Шамперноуна: объединение всех натуральных чисел, а не только простых.

Рекомендации

1. Коупленд и Эрдеш считали 1 простым числом и определили константу как 0,12357111317…
2. Коупленд и Эрдеш, 1946 г.
3. Харди и Райт 1979, п. 112

Источники

• Коупленд, А.; Эрдеш, П. (1946), «Заметка о нормальных числах», Бюллетень Американского математического общества, 52: 857–860, Дои:10.1090 / S0002-9904-1946-08657-7.
• Харди, Г.; Райт, Э.М. (1979) [1938], Введение в теорию чисел (5-е изд.), Oxford University Press, ISBN  0-19-853171-0.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Copeland-Erdos Constant". MathWorld.