Проводник эллиптической кривой - Conductor of an elliptic curve

В математике проводник эллиптической кривой над полем рациональное число, или в более общем смысле местный или же глобальное поле, является интегральным идеалом, аналогичным Артин дирижер представления Галуа. Дается как продукт главные идеалы вместе с соответствующими показателями, которые кодируют разветвление в расширения полей порожденные точками конечного порядка в групповой закон из эллиптическая кривая. Простые числа, входящие в состав проводника, - это в точности простые числа плохое сокращение кривой: это Критерий Нерона – Огга – Шафаревича..

Формула Огга выражает проводник через дискриминант и количество компонентов специального волокна над локальным полем, которое может быть вычислено с помощью Алгоритм Тейта.

История

Проводник эллиптической кривой над локальным полем неявно исследовался (но не назван) Огг (1967) в виде целочисленного инварианта ε + δ, который позже оказался показателем проводимости.

Проводник эллиптической кривой над рациональными числами был введен и назван Вейль (1967) как константа, появляющаяся в функциональном уравнении его L-ряда, аналогично тому, как проводник глобального поля появляется в функциональном уравнении его дзета-функции. Он показал, что это может быть записано как произведение на простые числа с показателями, заданными порядком (Δ) - μ + 1, который по формуле Огга равен ε + δ. Подобное определение работает для любого глобального поля. Вейль также предположил, что проводник был равен уровню модульной формы, соответствующей эллиптической кривой.

Серр и Тейт (1968) распространил теорию на проводники абелевых многообразий.

Определение

Позволять E - эллиптическая кривая, определенная над местное поле K и п главный идеал кольцо целых чисел из K. Мы рассматриваем минимальное уравнение за E: обобщенный Уравнение Вейерштрасса коэффициенты которого равны п-интеграл и с оценкой дискриминанта ν_п(Δ) как можно меньше. Если дискриминант п-блок тогда E имеет хорошее сокращение в п а показатель проводника равен нулю.

Мы можем написать экспоненту ж проводника в виде суммы ε + δ двух слагаемых, соответствующих ручному и дикому ветвлению. Часть ручного ветвления ε определяется в терминах типа редукции: ε = 0 для хорошей редукции, ε = 1 для мультипликативной редукции и ε = 2 для аддитивной редукции. Член дикого ветвления δ равен нулю, если п делит 2 или 3, и в последних случаях определяется в терминах дикое разветвление расширений K посредством точки деления из E по формуле Серра

${\displaystyle \delta =\dim _{Z/lZ}{\text{Hom}}_{Z_{l}[G]}(P,M).}$

Здесь M - группа точек эллиптической кривой порядка л для прайма л, п это Лебединое представление, и грамм группа Галуа конечного расширения K такие, что точки M определены над ним (так что грамм действует на M)

Формула Огга

Показатель проводника связан с другими инвариантами эллиптической кривой формулой Огга:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }=\nu _{\mathbf {p} }(\Delta )+1-n\ ,}$

куда п - количество компонент (без учета кратностей) особого слоя Минимальная модель Нерона для E. (иногда используется как определение проводника).

В первоначальном доказательстве Огга использовалась проверка от случая к случаю, особенно в характеристиках 2 и 3. Сайто (1988) дал единообразное доказательство и обобщил формулу Огга на более общие арифметические поверхности.

Мы также можем описать ε в терминах оценки j-инвариантный ν_п(j): 0 в случае хорошей редукции; в противном случае это 1, если ν_п(j) <0 и 2, если ν_п(j) ≥ 0.

Глобальный проводник

Позволять E быть эллиптической кривой, определенной над числовым полем K. Глобальный проводник - это идеал, задаваемый произведением простых чисел K

${\displaystyle f(E)=\prod _{\mathbf {p} }\mathbf {p} ^{f_{\mathbf {p} }}\ .}$

Это конечное произведение, поскольку простые числа плохой редукции содержатся во множестве делителей простых чисел дискриминанта любой модели для E с глобальными интегральными коэффициентами.

Рекомендации

• Кремона, Джон (1997). Алгоритмы для модульных эллиптических кривых (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59820-6.
• Хусемёллер, Дейл (2004). Эллиптические кривые. Тексты для выпускников по математике. 111 (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-95490-2.
• Нерон, Андре (1964), "Минимальные модели абельенских сортов на локальных и глобальных корпусах", Публикации Mathématiques de l'IHÉS (На французском), 21: 5–128, Дои:10.1007 / BF02684271, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  0179172, Zbl  0132.41403
• Огг, А. (1967), «Эллиптические кривые и дикое ветвление», Американский журнал математики, 89: 1–21, Дои:10.2307/2373092, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373092, МИСТЕР  0207694, Zbl  0147.39803
• Сайто, Такеши (1988), "Проводник, дискриминант и формула Нётер арифметических поверхностей", Duke Math. Дж., 57 (1): 151–173, Дои:10.1215 / S0012-7094-88-05706-7, МИСТЕР  0952229
• Серр, Жан-Пьер; Тейт, Джон (1968), «Хорошая редукция абелевых многообразий», Анналы математики, Вторая серия, 88: 492–517, Дои:10.2307/1970722, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970722, МИСТЕР  0236190, Zbl  0172.46101
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 151. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94328-5.
• Сильверман, Джозеф Х.; Тейт, Джон (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых. Springer-Verlag. ISBN  0-387-97825-9.
• Джон Тейт (1974). «Арифметика эллиптических кривых». Inventiones Mathematicae. 23 (3–4): 179–206. Дои:10.1007 / BF01389745. Zbl  0296.14018.
• Вайль, Андре (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Математика. Анна., 168: 149–156, Дои:10.1007 / BF01361551, МИСТЕР  0207658

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

• Данные эллиптической кривой - таблицы эллиптических кривых над Q перечислено дирижером, вычислено Джоном Кремона