Алгоритм Тейтса - Tates algorithm

В теории эллиптические кривые, Алгоритм Тейта принимает в качестве входных данных интегральная модель эллиптической кривой E над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , или в более общем смысле поле алгебраических чисел, и простое или главный идеал п. Возвращает показатель степени ж_п из п в дирижер из E, вид редукции при п, локальный индекс

{ displaystyle c_ {p} = [E ( mathbb {Q} _ {p}): E ^ {0} ( mathbb {Q} _ {p})],}

куда ${ displaystyle E ^ {0} ( mathbb {Q} _ {p})}$ это группа ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ -pointswho сокращение мода п это неособая точка. Так же алгоритм определяет, является ли данная интегральная модель минимальной при п, и, если нет, возвращает интегральную модель с интегральными коэффициентами, для которой оценка на п дискриминанта минимальна.

Алгоритм Тейта также дает структуру особых слоев, заданную символом Кодаира или символом Нерона, для чего см. эллиптические поверхности: в свою очередь, это определяет показатель степени ж_п дирижера E.

Алгоритм Тейта можно значительно упростить, если характеристика поля класса остатка не равна 2 или 3; в этом случае тип и c и ж можно прочитать из оценок j и Δ (определено ниже).

Алгоритм Тейта был представлен Джон Тейт (1975 ) как улучшение описания Нерона модели эллиптической кривой Нероном (1964 ).

Обозначение

Предположим, что все коэффициенты уравнения кривой лежат в полном кольцо дискретной оценки р с идеально поле вычетов и максимальный идеал созданный основной π. Эллиптическая кривая задается уравнением

{ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}.}

Определять:

{ Displaystyle а_ {я, м} = а_ {я} / пи ^ {м}}

{ displaystyle b_ {2} = a_ {1} ^ {2} + 4a_ {2}}

{ displaystyle b_ {4} = a_ {1} a_ {3} + 2a_ {4} ^ {}}

{ displaystyle b_ {6} = a_ {3} ^ {2} + 4a_ {6}}

{ displaystyle b_ {8} = a_ {1} ^ {2} a_ {6} -a_ {1} a_ {3} a_ {4} + 4a_ {2} a_ {6} + a_ {2} a_ {3 } ^ {2} -a_ {4} ^ {2}}

{ displaystyle c_ {4} = b_ {2} ^ {2} -24b_ {4}}

{ displaystyle c_ {6} = - b_ {2} ^ {3} + 36b_ {2} b_ {4} -216b_ {6}}

{ displaystyle Delta = -b_ {2} ^ {2} b_ {8} -8b_ {4} ^ {3} -27b_ {6} ^ {2} + 9b_ {2} b_ {4} b_ {6} }

{ displaystyle j = c_ {4} ^ {3} / Delta.}

Алгоритм

Шаг 1: Если π не делит Δ, то тип I₀, ж=0, c=1.
Шаг 2. В противном случае измените координаты так, чтобы π делило а₃,а₄,а₆. Если π не делит б₂ тогда тип I_ν, с ν = v (Δ), и ж=1.
Шаг 3. В противном случае, если π² не разделяет а₆ тогда тип II, c= 1 и ж= v (Δ);
Шаг 4. В противном случае, если π³ не разделяет б₈ то тип III, c= 2 и ж= v (Δ) −1;
Шаг 5. В противном случае, если π³ не разделяет б₆ тогда тип IV, c= 3 или 1, и ж= v (Δ) −2.
Шаг 6. В противном случае измените координаты так, чтобы π делило а₁ и а₂, π² разделяет а₃ и а₄, и π³ разделяет а₆. Позволять п быть полиномом

{ Displaystyle P (T) = T ^ {3} + a_ {2,1} T ^ {2} + a_ {4,2} T + a_ {6,3}.}

Если сравнение P (T) ≡0 имеет 3 различных корня, то типом является I₀^*, ж= v (Δ) −4 и c равно 1+ (количество корней п в k).

Шаг 7. Если п имеет один простой и один двойной корень, тогда тип I_ν^* для некоторого ν> 0, ж= v (Δ) −4 − ν, c= 2 или 4: существует «подалгоритм» для работы с этим случаем.
Шаг 8. Если п имеет тройной корень, замените переменные так, чтобы тройной корень был равен 0, чтобы π² разделяет а₂ и π³ разделяет а₄, и π⁴ разделяет а₆. Если

{ displaystyle Y ^ {2} + a_ {3,2} Y-a_ {6,4}}

имеет четкие корни, тип IV^*, ж= v (Δ) −6 и c равно 3, если корни находятся в k, 1 иначе.

Шаг 9. Приведенное выше уравнение имеет двойной корень. Заменим переменные так, чтобы двойной корень равнялся 0. Тогда π³ разделяет а₃ и π⁵ разделяет а₆. Если π⁴ не разделяет а₄ то тип III^* и ж= v (Δ) −7 и c = 2.
Шаг 10. В противном случае, если π⁶ не разделяет а₆ тогда тип II^* и ж= v (Δ) −8 и c = 1.
Шаг 11. В противном случае уравнение не является минимальным. Разделить каждого а_п автор: π^п и вернитесь к шагу 1.

Реализации

Алгоритм реализован для полей алгебраических чисел в PARI / GP система компьютерной алгебры, доступная через функцию elllocalred.

Алгоритм Тейтса - Tates algorithm

Содержание

Обозначение

Алгоритм

Реализации

Рекомендации