Полностью распределительная решетка - Completely distributive lattice

В математической области теория порядка, а полностью распределительная решетка это полная решетка в котором произвольно присоединяется раздавать над произвольным встречает.

Формально полная решетка L как говорят полностью распределительный если для любой дважды индексируемой семьи {Икс_j,k | j в J, k в K_j} из L, у нас есть

${displaystyle igwedge _{jin J}igvee _{kin K_{j}}x_{j,k}=igvee _{fin F}igwedge _{jin J}x_{j,f(j)}}$

где F это набор функции выбора ж выбор для каждого индекса j из J какой-то индекс ж(j) в K_j.^[1]

Полная дистрибутивность является самодуальным свойством, т. Е. дуализация приведенное выше утверждение дает тот же класс полных решеток.^[1]

Без аксиомы выбора ни одна полная решетка с более чем одним элементом не сможет удовлетворить указанное выше свойство, так как можно просто позволить Икс_j,k равняется верхнему элементу L по всем показателям j и k со всеми наборами K_j непустое, но не имеющее функции выбора.^{[нужна цитата ]}

Альтернативные характеристики

Существуют различные различные характеристики. Например, ниже приведен эквивалентный закон, исключающий использование функций выбора.^{[нужна цитата ]}. Для любого набора S наборов, определим множество S^# быть набором всех подмножеств Икс полной решетки, которые имеют непустое пересечение со всеми членами S. Затем мы можем определить полную дистрибутивность с помощью утверждения

${displaystyle {egin{aligned}igwedge {igvee Ymid Yin S}=igvee {igwedge Zmid Zin S^{#}}end{aligned}}}$

Оператор ( )^# можно назвать оператор поперечной резки. Эта версия полной дистрибутивности подразумевает только исходное понятие, когда допускает Аксиома выбора.

Свойства

Кроме того, известно, что следующие утверждения эквивалентны для любой полной решетки L:^[2]

• L является полностью дистрибутивным.
• L вкладывается в прямое произведение цепей [0,1] с помощью заказать встраивание который сохраняет произвольные встречи и присоединения.
• И то и другое L и его двойственный порядок L^op находятся непрерывные позы.^{[нужна цитата ]}

Прямые произведения [0,1], то есть множества всех функций из некоторого множества Икс до [0,1] заказано точечно, также называются кубики.

Бесплатные полностью распределительные решетки

Каждые посеть C может быть завершено в полностью распределительной решетке.

Полностью распределительная решетка L называется бесплатная полностью распределительная решетка над посетом C если и только если есть заказать встраивание ${displaystyle phi :Cightarrow L}$ такая, что для каждой полностью распределительной решетки M и монотонная функция ${displaystyle f:Cightarrow M}$, есть уникальный полный гомоморфизм ${displaystyle f_{phi }^{*}:Lightarrow M}$ удовлетворение ${displaystyle f=f_{phi }^{*}circ phi }$. Для каждого посета C, свободная полностью дистрибутивная решетка над чумом C существует и единственно с точностью до изоморфизма.^[3]

Это пример концепции свободный объект. Поскольку набор Икс можно рассматривать как ч.у. с дискретным порядком, приведенный результат гарантирует существование свободной полностью дистрибутивной решетки над множеством Икс.

Примеры

• В единичный интервал [0,1], упорядоченная естественным образом, является полностью дистрибутивной решеткой.^[4]
  • В общем, любой полная цепочка является полностью дистрибутивной решеткой.^[5]
• В набор мощности решетка ${displaystyle ({mathcal {P}}(X),subseteq )}$ для любого набора Икс является полностью дистрибутивной решеткой.^[1]
• Для каждого посета C, Существует свободная полностью дистрибутивная решетка над C.^[3] См. Раздел о Бесплатные полностью распределительные решетки над.

Смотрите также

• Глоссарий теории порядка
• Распределительная решетка

использованная литература

1. Б. А. Дэйви и Х. А. Пристли, Введение в решетки и порядок 2-е издание, Cambridge University Press, 2002 г., ISBN  0-521-78451-4
2. Г. Н. Рэйни, Представление подпрямого объединения для полностью дистрибутивных полных решеток, Труды Американского математического общества, 4: 518 - 522, 1953.
3. Джозеф М. Моррис, Дополнение типов неограниченной демонической и ангельской неопределенностью, Математика построения программ, LNCS 3125, 274-288, 2004
4. Г. Н. Рэйни, Полностью дистрибутивные полные решетки, Труды Американское математическое общество, 3: 677 - 680, 1952.
5. Алан Хопенвассер, Полная распределенность, Труды симпозиумов по чистой математике, 51 (1), 285 - 305, 1990.