Дополненная группа - Complemented group

В математика, в сфере теория групп, период, термин дополненная группа используется двумя разными, но похожими способами.

В (Зал 1937 ) дополняемой группой называется группа, в которой каждое подгруппа имеет теоретико-групповой дополнять. Такой группы называются полностью факторизуемые группы в русской литературе следующие (Баева 1953 г. ) и (Черников 1953 ).

Следующее эквивалентно для любого конечная группа грамм:

• грамм дополняется
• грамм является подгруппой прямое произведение групп бесквадратных порядок (особый вид Z-группа )
• грамм это сверхразрешимая группа с элементарный абелев Силовские подгруппы (особый вид Группа ), (Зал 1937, Теорема 1 и 2).

Позже (Захер 1953 ) группа называется дополняемой, если решетка подгрупп это дополненная решетка, то есть если для каждой подгруппы ЧАС есть подгруппа K такой, что ЧАС∩K= 1 и ⟨ЧАС,K⟩ - это вся группа. Определение Холла требовало дополнительно, чтобы ЧАС и K переставить, то есть HK = { гонконгский : час в ЧАС, k в K } образуют подгруппу. Такие группы еще называют K-группы в итальянском и решеточная теория литература, такая как (Шмидт 1994, стр. 114–121, глава 3.1). В Подгруппа Фраттини K-группы тривиально; если в группе есть без ядра максимальная подгруппа то есть K-группа, то она сама является K-группой; следовательно, подгруппы K-групп не обязательно должны быть K-группами, но факторгруппы а прямые произведения K-групп являются K-группами, (Шмидт 1994 С. 115–116). В (Костантини и Захер 2004 ) показано, что каждый конечная простая группа дополняемая группа. Обратите внимание, что в классификация конечных простых групп, K-группа больше используется для обозначения группы, собственные подгруппы которой имеют только композиционные факторы среди известных конечных простых групп.

Примером группы, которая не дополняется (в любом смысле), является циклическая группа порядка п², куда п это простое число. В этой группе есть только одна нетривиальная подгруппа ЧАС, циклическая группа порядка п, поэтому не может быть другой подгруппы L быть дополнением ЧАС.

Рекомендации

• Баева, Н. В. (1953), "Вполне факторизуемые группы", Доклады Академии Наук СССР (Н.С.), 92: 877–880, МИСТЕР  0059275
• Черников, С. Н. (1953), "Группы с системами дополнительных подгрупп", Доклады Академии Наук СССР (Н.С.), 92: 891–894, МИСТЕР  0059276
• Костантини, Мауро; Захер, Джованни (2004), "Конечные простые группы имеют дополнительные решетки подгрупп", Тихоокеанский математический журнал, 213 (2): 245–251, Дои:10.2140 / pjm.2004.213.245, ISSN  0030-8730, МИСТЕР  2036918
• Холл, Филип (1937), «Дополненные группы», J. London Math. Soc., 12: 201–204, Дои:10.1112 / jlms / s1-12.2.201, Zbl  0016.39301
• Шмидт, Роланд (1994), Подгрупповые решетки групп, Экспозиции по математике, 14, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-011213-9, МИСТЕР  1292462
• Закер, Джованни (1953), "Caratterizzazione dei gruppi risolubili d'ordine finito complementati", Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, 22: 113–122, ISSN  0041-8994, МИСТЕР  0057878