Сверхрешаемая группа - Supersolvable group

В математика, а группа является сверхразрешимый (или же сверхрастворимый), если он имеет инвариант нормальная серия где все факторы циклические группы. Сверхразрешимость сильнее, чем понятие разрешимость.

Определение

Позволять грамм быть группа. грамм сверхразрешим, если существует нормальная серия

${displaystyle {1}=H_{0} riangleleft H_{1} riangleleft cdots riangleleft H_{s-1} riangleleft H_{s}=G}$

так что каждый факторгруппа ${displaystyle H_{i+1}/H_{i};}$ циклический и каждый ${displaystyle H_{i}}$ нормально в ${displaystyle G}$.

Напротив, для разрешимая группа определение требует, чтобы каждое частное было абелевский. В другом направлении полициклическая группа должен иметь субнормальный ряд с каждым частным циклическим, но нет требования, чтобы каждый ${displaystyle H_{i}}$ быть нормальным в ${displaystyle G}$. Поскольку каждая конечная разрешимая группа является полициклической, это можно рассматривать как одно из ключевых различий между определениями. Для конкретного примера переменная группа по четырем точкам, ${displaystyle A_{4}}$, разрешима, но не сверхразрешима.

Основные свойства

Некоторые факты о сверхразрешимых группах:

• Сверхразрешимые группы всегда полициклический, и поэтому разрешимый.
• Каждый конечно порожденный нильпотентная группа сверхразрешима.
• Каждый метациклическая группа сверхразрешима.
• В коммутаторная подгруппа сверхразрешимой группы нильпотентна.
• Подгруппы и фактор-группы сверхразрешимых групп сверхразрешимы.
• Конечная сверхразрешимая группа имеет инвариантный нормальный ряд с каждым циклическим множителем простого порядка.
• Фактически, простые числа можно выбрать в удобном порядке: для каждого простого числа p и для π множество простых чисел, больших p, конечная сверхразрешимая группа имеет единственное зал π-подгруппа. Такие группы иногда называют группами упорядоченных силовских башен.
• Каждая группа без квадратов порядка, и каждая группа с циклическими силовскими подгруппами (a Z-группа ), сверхразрешима.
• Каждый неприводимое комплексное представление конечной сверхразрешимой группы мономиальна, т. е. индуцирована линейным характером подгруппы. Другими словами, каждая конечная сверхразрешимая группа является мономиальная группа.
• Каждый максимальная подгруппа в сверхразрешимой группе имеет простое число индекс.
• Конечная группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая максимальная подгруппа имеет простой индекс.
• Конечная группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая максимальная цепочка подгрупп имеет одинаковую длину. Это важно для тех, кто интересуется решетка подгрупп группы, и иногда его называют Условие цепи Джордана – Дедекинда.
• К Теорема Баума, каждая сверхразрешимая конечная группа имеет DFT алгоритм, работающий во времени О(п бревно п).^{[требуется разъяснение ]}

Рекомендации

• Шенкман, Евгений. Теория групп. Кригер, 1975.
• Шмидт, Роланд. Подгрупповые решетки групп. де Грюйтер, 1994.
• Конрад, Кит, ПОДГРУППА СЕРИИ II, Раздел 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf