Подгруппа Фраттини - Frattini subgroup

Диаграмма Хассе из решетка подгрупп из группа диэдра Dih₄. В трехэлементном слое - максимальные подгруппы; их пересечение ( Подгруппа Фраттини) является центральным элементом в 5-элементном слое. Так Ди₄ имеет только один не генерирующий элемент за пределами е.

В математика, особенно в теория групп, то Подгруппа Фраттини ${\displaystyle \Phi (G)}$ из группа грамм это пересечение из всех максимальные подгруппы из грамм. В случае, если грамм не имеет максимальных подгрупп, например тривиальная группа {е} или Prüfer group, он определяется ${\displaystyle \Phi (G)=G}$. Это аналог Радикал Якобсона в теории кольца, и интуитивно может рассматриваться как подгруппа «малых элементов» (см. характеристику «не-генератор» ниже). Он назван в честь Джованни Фраттини, который определил эту концепцию в статье, опубликованной в 1885 году.^[1]

Некоторые факты

• ${\displaystyle \Phi (G)}$ равно множеству всех негенераторы или же непроизводящие элементы из грамм. Непроизводящий элемент грамм это элемент, который всегда можно удалить из генераторная установка; то есть элемент а из грамм так что всякий раз, когда Икс является порождающим набором грамм содержащий а, ${\displaystyle X\setminus \{a\}}$ также является порождающим набором грамм.
• ${\displaystyle \Phi (G)}$ всегда характеристическая подгруппа из грамм; в частности, это всегда нормальная подгруппа из грамм.
• Если грамм конечно, то ${\displaystyle \Phi (G)}$ является нильпотентный.
• Если грамм конечный п-группа, тогда ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}[G,G]}$. Таким образом, подгруппа Фраттини наименьшая (по включению) нормальная подгруппа N так что факторгруппа ${\displaystyle G/N}$ является элементарная абелева группа, т.е. изоморфный к прямая сумма из циклические группы из порядок п. Более того, если фактор-группа ${\displaystyle G/\Phi (G)}$ (также называемый Коэффициент Фраттини из грамм) имеет порядок ${\displaystyle p^{k}}$, тогда k - наименьшее количество генераторов для грамм (то есть наименьшая мощность порождающего набора для грамм). В частности, конечный п-группа циклическая если и только если его фактор Фраттини циклический (порядка п). Конечная п-группа является элементарной абелевой тогда и только тогда, когда ее подгруппа Фраттини является тривиальная группа, ${\displaystyle \Phi (G)=\{e\}}$.
• Если ЧАС и K конечны, то ${\displaystyle \Phi (H\times K)=\Phi (H)\times \Phi (K)}$.

Примером группы с нетривиальной подгруппой Фраттини является группа циклическая группа грамм порядка ${\displaystyle p^{2}}$, куда п простое, порожденное а, сказать; здесь, ${\displaystyle \Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle }$.

Смотрите также

• Подгруппа фитингов
• Аргумент Фраттини
• Цоколь

Рекомендации

1. Фраттини, Джованни (1885). "Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni" (PDF). Accademia dei Lincei, Rendiconti. (4). я: 281–285, 455–457. JFM  17.0097.01.

• Холл, Маршалл (1959). Теория групп. Нью-Йорк: Макмиллан. (См. Главу 10, особенно раздел 10.4.)