Коприсоединенное представление - Coadjoint representation

В математика, то коприсоединенное представление ${ displaystyle K}$ из Группа Ли ${ displaystyle G}$ это двойной из присоединенное представительство. Если ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ обозначает Алгебра Ли из ${ displaystyle G}$ , соответствующее действие ${ displaystyle G}$ на ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ , то двойное пространство к ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ , называется сопряженное действие. Геометрическая интерпретация - это действие сдвигом влево на пространстве правоинвариантных 1-формы на ${ displaystyle G}$ .

Важность коприсоединенного представления была подчеркнута в работе Александр Кириллов, который показал это для нильпотентные группы Ли ${ displaystyle G}$ основная роль в их теория представлений играет коприсоединенные орбиты.В методе орбит Кириллова представления ${ displaystyle G}$ строятся геометрически исходя из коприсоединенных орбит. В некотором смысле они играют заменяющую роль классы сопряженности из ${ displaystyle G}$ , что опять же может быть сложным, в то время как орбиты относительно податливы.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle G}$ группа Ли и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ его алгебра Ли. Позволять ${ displaystyle mathrm {Ad}: G rightarrow mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}})}$ обозначить присоединенное представительство из ${ displaystyle G}$ . Тогда коприсоединенное представление ${ displaystyle mathrm {Ad} ^ {*}: G rightarrow mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}} ^ {*})}$ определяется

{ displaystyle langle mathrm {Ad} _ {g} ^ {*} , mu, Y rangle = langle mu, mathrm {Ad} _ {g ^ {- 1}} Y rangle}

за

{ displaystyle g in G, Y in { mathfrak {g}}, mu in { mathfrak {g}} ^ {*},}

куда ${ displaystyle langle mu, Y rangle}$ обозначает значение линейного функционала ${ displaystyle mu}$ на векторе ${ displaystyle Y}$ .

Позволять ${ displaystyle mathrm {ad} ^ {*}}$ обозначим представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ индуцированный коприсоединенным представлением группы Ли ${ displaystyle G}$ . Тогда инфинитезимальная версия определяющего уравнения для ${ displaystyle mathrm {Ad} ^ {*}}$ читает:

{ displaystyle langle mathrm {ad} _ {X} ^ {*} mu, Y rangle = langle mu, - mathrm {ad} _ {X} Y rangle = - langle mu, [X, Y] rangle}

за

{ Displaystyle X, Y in { mathfrak {g}}, mu in { mathfrak {g}} ^ {*}}

куда ${ displaystyle mathrm {ad}}$ это присоединенное представление алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .

Коприсоединенная орбита

Соприсоединенная орбита ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mu}}$ за ${ displaystyle mu}$ в двойном пространстве ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ может быть определено либо внешне, либо как фактическое орбита ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {G} ^ {*} mu}$ внутри ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ , или по сути как однородное пространство ${ displaystyle G / G _ { mu}}$ куда ${ displaystyle G _ { mu}}$ это стабилизатор из ${ displaystyle mu}$ относительно коприсоединенного действия; это различие стоит сделать, поскольку включение орбиты может быть затруднено.

Коприсоединенные орбиты являются подмногообразиями в ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ и несут естественную симплектическую структуру. На каждой орбите ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mu}}$ существует замкнутая невырожденная ${ displaystyle G}$ -инвариантный 2-форма ${ displaystyle omega in Omega ^ {2} ({ mathcal {O}} _ { mu})}$ унаследовано от ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ следующим образом:

{ displaystyle omega _ { nu} ( mathrm {ad} _ {X} ^ {*} nu, mathrm {ad} _ {Y} ^ {*} nu): = langle nu, [X, Y] rangle, nu in { mathcal {O}} _ { mu}, X, Y in { mathfrak {g}}}

.

Правильно определенность, невырожденность и ${ displaystyle G}$ -инвариантность ${ displaystyle omega}$ следуют из следующих фактов:

(i) Касательное пространство ${ displaystyle mathrm {T} _ { nu} { mathcal {O}} _ { mu} = {- mathrm {ad} _ {X} ^ {*} nu: X in { mathfrak {g}} }}$ можно отождествить с ${ Displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {g}} _ { nu}}$ , куда ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ { nu}}$ является алгеброй Ли ${ displaystyle G _ { nu}}$ .

(ii) Ядро отображения ${ Displaystyle X mapsto langle nu, [X, cdot] rangle}$ точно ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ { nu}}$ .

(iii) Билинейная форма ${ Displaystyle langle nu, [ cdot, cdot] rangle}$ на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ инвариантен относительно ${ displaystyle G _ { nu}}$ .

${ displaystyle omega}$ это также закрыто. Канонический 2-форма ${ displaystyle omega}$ иногда называют Симплектическая форма Кириллова-Костанта-Сурьяу или же Форма ККС на сопряженной орбите.

Свойства коприсоединенных орбит

Коприсоединенное действие на коприсоединенной орбите ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ { mu}, omega)}$ это Гамильтониан ${ displaystyle G}$ -действие с карта импульса дается включением ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mu} hookrightarrow { mathfrak {g}} ^ {*}}$ .