Лемма Сеаса - Céas lemma

Лемма Сеа это лемма в математика. Представлен Жан Сеа в его Кандидат наук. диссертации, это важный инструмент для доказательства оценок ошибок для метод конечных элементов применительно к эллиптический уравнения в частных производных.

Утверждение леммы

Позволять быть настоящий Гильбертово пространство с норма Позволять быть билинейная форма со свойствами

  • для некоторой постоянной и все в (непрерывность )
  • для некоторой постоянной и все в (принуждение или же -эллиптичность).

Позволять быть ограниченный линейный оператор. Рассмотрим задачу поиска элемента в такой, что

для всех в

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве из так, в удовлетворяет

для всех в

Посредством Теорема Лакса – Милграма, каждая из этих проблем имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

для всех в

То есть подпространственное решение является "лучшим" приближением в вплоть до постоянная

Доказательство простое

для всех в

Мы использовали -ортогональность и

что непосредственно следует из

для всех в .

Примечание: Лемма Сеа верна на сложный Кроме того, в гильбертовых пространствах используется полуторалинейная форма вместо билинейного. Тогда предположение о коэрцитивности становится для всех в (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг ).

Оценка погрешности в энергетической норме

Подпространственное решение это проекция на подпространство в отношении внутреннего продукта .

Во многих приложениях билинейная форма симметрично, поэтому

для всех в

Это, вместе с указанными выше свойствами этой формы, означает, что является внутренний продукт на Результирующая норма

называется энергетическая норма, поскольку ему соответствует физическая энергия во многих проблемах. Эта норма эквивалентна исходной норме

С использованием -ортогональность и и Неравенство Коши – Шварца

для всех в .

Следовательно, в энергетической норме неравенство леммы Сеа принимает вид

для всех в

(обратите внимание, что постоянная справа больше нет).

Это означает, что подпространственное решение является наилучшим приближением к полнопространственному решению относительно энергетической нормы. Геометрически это означает, что это проекция решения на подпространство в отношении внутреннего продукта (см. рисунок рядом).

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме . С

для всех в ,

следует, что

для всех в .

Применение леммы Сеа

Мы применим лемму Сеа, чтобы оценить погрешность вычисления решения эллиптическое дифференциальное уравнение посредством метод конечных элементов.

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим задачу поиска функции удовлетворяющие условиям

куда дано непрерывная функция.

Физически решение к этой двухочковой краевая задача представляет форму, принятую нить под воздействием такой силы, что в каждой точке между и то плотность силы является (куда это единичный вектор указывает вертикально, в то время как конечные точки строки находятся на горизонтальной линии, см. рисунок рядом). Например, эта сила может быть сила тяжести, когда - постоянная функция (поскольку сила тяжести одинакова во всех точках).

Пусть гильбертово пространство быть Соболевское пространство который является пространством всех квадратично интегрируемые функции определено на у которых есть слабая производная на с также интегрируемы с квадратом, и удовлетворяет условиям Внутренний продукт на этом пространстве

для всех и в

После умножения исходной краевой задачи на в этом пространстве и выполняя интеграция по частям, получаем эквивалентную задачу

для всех в

с

(здесь билинейная форма задается тем же выражением, что и внутреннее произведение, это не всегда так), и

Можно показать, что билинейная форма и оператор удовлетворяют условиям леммы Сеа.

Функция в (красным), а типичный набор базисных функций в (в синем).

Чтобы определить конечномерное подпространство из рассмотреть раздел

интервала и разреши - пространство всех непрерывных функций, аффинный на каждом подынтервале в разделе (такие функции называются кусочно-линейный ). Кроме того, предположим, что любая функция в принимает значение 0 в конечных точках Следует, что является векторным подпространством в чье измерение (количество точек в разделе, не являющихся конечными точками).

Позволять быть решением проблемы подпространства

для всех в

так что можно думать о как кусочно-линейного приближения к точному решению По лемме Сеа существует постоянная зависит только от билинейной формы такой, что

для всех в

Чтобы явно вычислить ошибку между и рассмотрим функцию в который имеет те же значения, что и в узлах перегородки (так получается линейной интерполяцией на каждом интервале от ценностей в конечных точках интервала). Это можно показать с помощью Теорема Тейлора что существует постоянная это зависит только от конечных точек и такой, что

для всех в куда - наибольшая длина подынтервалов в разбиении, а норма в правой части - это L2 норма.

Это неравенство затем дает оценку ошибки

Затем, подставив в лемме Сеа следует, что

куда - это константа, отличная от указанной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала ).

Этот результат имеет фундаментальное значение, поскольку в нем говорится, что метод конечных элементов можно использовать для приближенного расчета решения нашей проблемы, и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру раздела. Лемма Сеа может быть применена в том же ключе для получения оценок ошибок для задач конечных элементов в более высоких измерениях (здесь область определения был в одном измерении), а при использовании более высокого порядка многочлены для подпространства

Рекомендации

  • Сеа, Жан (1964). Вариация аппроксимации проблем с ограничениями (PDF) (Кандидатская диссертация). Annales de l'Institut Fourier 14. 2. стр. 345–444. Получено 2010-11-27. (Оригинальная работа J. Céa)
  • Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6.
  • Монах, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850888-3.