Лемма Сеаса - Céas lemma

Лемма Сеа это лемма в математика. Представлен Жан Сеа в его Кандидат наук. диссертации, это важный инструмент для доказательства оценок ошибок для метод конечных элементов применительно к эллиптический уравнения в частных производных.

Утверждение леммы

Позволять ${\displaystyle V}$ быть настоящий Гильбертово пространство с норма ${\displaystyle \|\cdot \|.}$ Позволять ${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$ быть билинейная форма со свойствами

• ${\displaystyle |a(v,w)|\leq \gamma \|v\|\,\|w\|}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle \gamma >0}$ и все ${\displaystyle v,w}$ в ${\displaystyle V}$ (непрерывность )
• ${\displaystyle a(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle \alpha >0}$ и все ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V}$ (принуждение или же ${\displaystyle V}$-эллиптичность).

Позволять ${\displaystyle L:V\to \mathbb {R} }$ быть ограниченный линейный оператор. Рассмотрим задачу поиска элемента ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle V}$ такой, что

${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V.}$

Рассмотрим ту же задачу на конечномерном подпространстве ${\displaystyle V_{h}}$ из ${\displaystyle V,}$ так, ${\displaystyle u_{h}}$ в ${\displaystyle V_{h}}$ удовлетворяет

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}.}$

Посредством Теорема Лакса – Милграма, каждая из этих проблем имеет ровно одно решение. Лемма Сеа утверждает, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\frac {\gamma }{\alpha }}\|u-v\|}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}.}$

То есть подпространственное решение ${\displaystyle u_{h}}$ является "лучшим" приближением ${\displaystyle u}$ в ${\displaystyle V_{h},}$ вплоть до постоянная ${\displaystyle \gamma /\alpha .}$

Доказательство простое

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)+a(u-u_{h},v-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \gamma \|u-u_{h}\|\|u-v\|}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}.}$

Мы использовали ${\displaystyle a}$-ортогональность ${\displaystyle u-u_{h}}$ и ${\displaystyle V_{h}}$

${\displaystyle a(u-u_{h},v)=0,\ \forall \ v\in V_{h}}$

что непосредственно следует из ${\displaystyle V_{h}\subset V}$

${\displaystyle a(u,v)=L(v)=a(u_{h},v)}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}}$.

Примечание: Лемма Сеа верна на сложный Кроме того, в гильбертовых пространствах используется полуторалинейная форма ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ вместо билинейного. Тогда предположение о коэрцитивности становится ${\displaystyle |a(v,v)|\geq \alpha \|v\|^{2}}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V}$ (обратите внимание на знак абсолютного значения вокруг ${\displaystyle a(v,v)}$).

Оценка погрешности в энергетической норме

Подпространственное решение ${\displaystyle u_{h}}$ это проекция ${\displaystyle u}$ на подпространство ${\displaystyle V_{h}}$ в отношении внутреннего продукта ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$.

Во многих приложениях билинейная форма ${\displaystyle a:V\times V\to \mathbb {R} }$ симметрично, поэтому

${\displaystyle a(v,w)=a(w,v)}$ для всех ${\displaystyle v,w}$ в ${\displaystyle V.}$

Это, вместе с указанными выше свойствами этой формы, означает, что ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ является внутренний продукт на ${\displaystyle V.}$ Результирующая норма

${\displaystyle \|v\|_{a}={\sqrt {a(v,v)}}}$

называется энергетическая норма, поскольку ему соответствует физическая энергия во многих проблемах. Эта норма эквивалентна исходной норме ${\displaystyle \|\cdot \|.}$

С использованием ${\displaystyle a}$-ортогональность ${\displaystyle u-u_{h}}$ и ${\displaystyle V_{h}}$ и Неравенство Коши – Шварца

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}^{2}=a(u-u_{h},u-u_{h})=a(u-u_{h},u-v)\leq \|u-u_{h}\|_{a}\cdot \|u-v\|_{a}}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}}$.

Следовательно, в энергетической норме неравенство леммы Сеа принимает вид

${\displaystyle \|u-u_{h}\|_{a}\leq \|u-v\|_{a}}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}}$

(обратите внимание, что постоянная ${\displaystyle \gamma /\alpha }$ справа больше нет).

Это означает, что подпространственное решение ${\displaystyle u_{h}}$ является наилучшим приближением к полнопространственному решению ${\displaystyle u}$ относительно энергетической нормы. Геометрически это означает, что ${\displaystyle u_{h}}$ это проекция решения ${\displaystyle u}$ на подпространство ${\displaystyle V_{h}}$ в отношении внутреннего продукта ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ (см. рисунок рядом).

Используя этот результат, можно также получить более точную оценку в норме ${\displaystyle \|\cdot \|}$. С

${\displaystyle \alpha \|u-u_{h}\|^{2}\leq a(u-u_{h},u-u_{h})=\|u-u_{h}\|_{a}^{2}\leq \|u-v\|_{a}^{2}\leq \gamma \|u-v\|^{2}}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}}$,

следует, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq {\sqrt {\frac {\gamma }{\alpha }}}\|u-v\|}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}}$.

Применение леммы Сеа

Мы применим лемму Сеа, чтобы оценить погрешность вычисления решения эллиптическое дифференциальное уравнение посредством метод конечных элементов.

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим задачу поиска функции ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ удовлетворяющие условиям

${\displaystyle {\begin{cases}-u''=f{\mbox{ in }}[a,b]\\u(a)=u(b)=0\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ дано непрерывная функция.

Физически решение ${\displaystyle u}$ к этой двухочковой краевая задача представляет форму, принятую нить под воздействием такой силы, что в каждой точке ${\displaystyle x}$ между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ то плотность силы является ${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$ (куда ${\displaystyle \mathbf {e} }$ это единичный вектор указывает вертикально, в то время как конечные точки строки находятся на горизонтальной линии, см. рисунок рядом). Например, эта сила может быть сила тяжести, когда ${\displaystyle f}$ - постоянная функция (поскольку сила тяжести одинакова во всех точках).

Пусть гильбертово пространство ${\displaystyle V}$ быть Соболевское пространство ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b),}$ который является пространством всех квадратично интегрируемые функции ${\displaystyle v}$ определено на ${\displaystyle [a,b]}$ у которых есть слабая производная на ${\displaystyle [a,b]}$ с ${\displaystyle v'}$ также интегрируемы с квадратом, и ${\displaystyle v}$ удовлетворяет условиям ${\displaystyle v(a)=v(b)=0.}$ Внутренний продукт на этом пространстве

${\displaystyle (v,w)=\int _{a}^{b}\!v'(x)w'(x)\,dx}$ для всех ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$ в ${\displaystyle V.}$

После умножения исходной краевой задачи на ${\displaystyle v}$ в этом пространстве и выполняя интеграция по частям, получаем эквивалентную задачу

${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V,}$

с

${\displaystyle a(u,v)=\int _{a}^{b}\!u'(x)v'(x)\,dx}$

(здесь билинейная форма задается тем же выражением, что и внутреннее произведение, это не всегда так), и

${\displaystyle L(v)=\int _{a}^{b}\!f(x)v(x)\,dx.}$

Можно показать, что билинейная форма ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ и оператор ${\displaystyle L}$ удовлетворяют условиям леммы Сеа.

Функция в ${\displaystyle V_{h}}$ (красным), а типичный набор базисных функций в ${\displaystyle V_{h}}$ (в синем).

Чтобы определить конечномерное подпространство ${\displaystyle V_{h}}$ из ${\displaystyle V,}$ рассмотреть раздел

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b}$

интервала ${\displaystyle [a,b],}$ и разреши ${\displaystyle V_{h}}$ - пространство всех непрерывных функций, аффинный на каждом подынтервале в разделе (такие функции называются кусочно-линейный ). Кроме того, предположим, что любая функция в ${\displaystyle V_{h}}$ принимает значение 0 в конечных точках ${\displaystyle [a,b].}$ Следует, что ${\displaystyle V_{h}}$ является векторным подпространством в ${\displaystyle V}$ чье измерение ${\displaystyle n-1}$ (количество точек в разделе, не являющихся конечными точками).

Позволять ${\displaystyle u_{h}}$ быть решением проблемы подпространства

${\displaystyle a(u_{h},v)=L(v)}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h},}$

так что можно думать о ${\displaystyle u_{h}}$ как кусочно-линейного приближения к точному решению ${\displaystyle u.}$ По лемме Сеа существует постоянная ${\displaystyle C>0}$ зависит только от билинейной формы ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot ),}$ такой, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq C\|u-v\|}$ для всех ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle V_{h}.}$

Чтобы явно вычислить ошибку между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle u_{h},}$ рассмотрим функцию ${\displaystyle \pi u}$ в ${\displaystyle V_{h}}$ который имеет те же значения, что и ${\displaystyle u}$ в узлах перегородки (так ${\displaystyle \pi u}$ получается линейной интерполяцией на каждом интервале ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ от ценностей ${\displaystyle u}$ в конечных точках интервала). Это можно показать с помощью Теорема Тейлора что существует постоянная ${\displaystyle K}$ это зависит только от конечных точек ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ такой, что

${\displaystyle |u'(x)-(\pi u)'(x)|\leq Kh\|u''\|_{L^{2}(a,b)}}$

для всех ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle [a,b],}$ куда ${\displaystyle h}$ - наибольшая длина подынтервалов ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ в разбиении, а норма в правой части - это L² норма.

Это неравенство затем дает оценку ошибки

${\displaystyle \|u-\pi u\|.}$

Затем, подставив ${\displaystyle v=\pi u}$ в лемме Сеа следует, что

${\displaystyle \|u-u_{h}\|\leq Ch\|u''\|_{L^{2}(a,b)},}$

куда ${\displaystyle C}$ - это константа, отличная от указанной выше (она зависит только от билинейной формы, которая неявно зависит от интервала ${\displaystyle [a,b]}$).

Этот результат имеет фундаментальное значение, поскольку в нем говорится, что метод конечных элементов можно использовать для приближенного расчета решения нашей проблемы, и что ошибка в вычисленном решении уменьшается пропорционально размеру раздела. ${\displaystyle h.}$ Лемма Сеа может быть применена в том же ключе для получения оценок ошибок для задач конечных элементов в более высоких измерениях (здесь область определения ${\displaystyle u}$ был в одном измерении), а при использовании более высокого порядка многочлены для подпространства ${\displaystyle V_{h}.}$

Рекомендации

• Сеа, Жан (1964). Вариация аппроксимации проблем с ограничениями (PDF) (Кандидатская диссертация). Annales de l'Institut Fourier 14. 2. стр. 345–444. Получено 2010-11-27. (Оригинальная работа J. Céa)

• Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-34514-6.

• Монах, Питер (2003). Методы конечных элементов для уравнений Максвелла. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850888-3.

• Roos, H.-G .; Stynes, M .; Тобиска, Л. (1996). Численные методы для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений: задачи конвекции-диффузии и обтекания. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-60718-8.

• Eriksson, K .; Estep, D .; Hansbo, P .; Джонсон, К. (1996). Вычислительные дифференциальные уравнения. Кембридж; Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-56738-6.

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94442-7.

• Бреннер, Сюзанна С.; Л. Риджуэй Скотт (2002). Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.). ISBN  0-387-95451-1. OCLC  48892839.
• Ciarlet, Филипп Г. (2002). Метод конечных элементов для эллиптических задач ((Перепечатка SIAM Classics) изд.). ISBN  0-89871-514-8. OCLC  48892573.