Группа мясников - Butcher group

В математика, то Группа мясников, названный в честь новозеландского математика Джон С. Батчер к Хайрер и Ваннер (1974), является бесконечномерным Группа Ли^[1] впервые представлен в числовой анализ изучать решения нелинейных обыкновенные дифференциальные уравнения посредством Метод Рунге – Кутты. Он возник на основе алгебраического формализма, включающего укоренившиеся деревья что обеспечивает формальный степенной ряд решения дифференциального уравнения, моделирующего течение векторное поле. Это было Кэли (1857), побуждаемый работой Сильвестр по замене переменных в дифференциальное исчисление, который первым заметил, что производные композиции функций удобно выразить в терминах корневых деревьев и их комбинаторики.

Конн и Краймер (1999) указал, что группа Мясника - это группа персонажей Алгебра Хопфа корневых деревьев, которые возникли независимо в ходе их собственной работы над перенормировка в квантовая теория поля и Конн 'работать с Московичи на местном индексные теоремы. Эта алгебра Хопфа, часто называемая Алгебра Конна-Креймера, по существу эквивалентна группе Бутчера, поскольку ее двойник можно отождествить с универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли группы Мясников.^[2] Как они прокомментировали:

Мы рассматриваем работу Бутчера по классификации методов численного интегрирования как впечатляющий пример того, что конкретная проблемно-ориентированная работа может привести к далеко идущим концептуальным результатам.

Дифференциалы и корневые деревья

Деревья с корнями и двумя, тремя и четырьмя узлами из оригинальной статьи Кэли.

Укоренившееся дерево - это график с выделенным узлом, называемым корень, в котором каждый другой узел соединен с корнем уникальным путем. Если корень дерева т удаляется, и узлы, связанные с исходным узлом одинарной связью, принимаются как новые корни, дерево т распадается на деревья с корнями т₁, т₂, ... Обращение этого процесса к новому дереву т = [т₁, т₂, ...] можно построить, соединив корни деревьев с новым общим корнем. Количество узлов в дереве обозначается |т|, А упорядочивание кучи корневого дерева т представляет собой размещение чисел от 1 до |т| к узлам так, чтобы числа увеличивались на любом пути, уходящем от корня. Два порядка кучи: эквивалент, если есть автоморфизм корневых деревьев, отображающих одно из них на другом. Количество классы эквивалентности порядков кучи на конкретном дереве обозначается через α (т) и может быть вычислен по формуле Мясника:^[3][4]

${displaystyle displaystyle alpha (t)={|t|! over t!|S_{t}|},}$

где S_т обозначает группа симметрии из т а факториал дерева определяется рекурсивно как

${displaystyle [t_{1},dots ,t_{n}]!=|[t_{1},dots ,t_{n}]|cdot t_{1}!cdots t_{n}!}$

с факториалом дерева изолированного корня, определенным как 1

${displaystyle ullet !=1.}$

Обыкновенное дифференциальное уравнение для потока векторное поле на открытом подмножестве U из р^N можно написать

${displaystyle displaystyle {dx(s) over ds}=f(x(s)),,,x(0)=x_{0},}$

где Икс(s) принимает значения в U, ж является гладкой функцией из U к р^N и Икс₀ это начальная точка потока во время s = 0.

Кэли (1857) дал метод для вычисления производных высшего порядка Икс^(м)(s) с точки зрения корневых деревьев. Его формулу удобно выразить с помощью элементарные дифференциалы представленный Мясником. Они определяются индуктивно

${displaystyle delta _{ullet }^{i}=f^{i},,,,delta _{[t_{1},dots ,t_{n}]}^{i}=sum _{j_{1},dots ,j_{n}=1}^{N}(delta _{t_{1}}^{j_{1}}cdots delta _{t_{n}}^{j_{n}})partial _{j_{1}}cdots partial _{j_{n}}f^{i}.}$

С этой записью

${displaystyle {d^{m}x over ds^{m}}=sum _{|t|=m}alpha (t)delta _{t},}$

давая расширение степенного ряда

${displaystyle displaystyle x(s)=x_{0}+sum _{t}{s^{|t|} over |t|!}alpha (t)delta _{t}(0).}$

В качестве примера, когда N = 1, так что Икс и ж являются действительными функциями одной действительной переменной, формула дает

${displaystyle x^{(4)}=f^{prime prime prime }f^{3}+3f^{prime prime }f^{prime }f^{2}+f^{prime }f^{prime prime }f^{2}+(f^{prime })^{3}f,}$

где четыре члена соответствуют четырем корневым деревьям слева направо на Рисунке 3 выше.

В одной переменной эта формула совпадает с Формула Фаа ди Бруно 1855 г .; однако в нескольких переменных его следует записать более тщательно в виде

${displaystyle x^{(4)}=f^{prime prime prime }(f,f,f)+3f^{prime prime }(f,f^{prime }(f))+f^{prime }(f^{prime prime }(f,f))+f^{prime }(f^{prime }(f^{prime }(f))),}$

где древовидная структура имеет решающее значение.

Определение корневых деревьев с помощью алгебры Хопфа

В Алгебра Хопфа ЧАС корневых деревьев был определен Конн и Креймер (1998) в связи с Креймер предыдущая работа над перенормировка в квантовая теория поля. Позже было обнаружено, что алгебра Хопфа является двойственной алгебре Хопфа, определенной ранее формулой Гроссман и Ларсен (1989) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGrossmanLarsen1989 (Помогите) в другом контексте. Персонажи ЧАС, т.е. гомоморфизмы основной коммутативной алгебры в р, образуют группу, называемую Группа мясников. Это соответствует формальная группа структура обнаружена в числовой анализ к Мясник (1972).

В Алгебра Хопфа корневых деревьев ЧАС определяется как кольцо многочленов в переменных т, где т проходит сквозь коренные деревья.

• это коумножение ${displaystyle Delta :Hightarrow Hotimes H}$ определяется

${displaystyle Delta (t)=totimes I+Iotimes t+sum _{ssubset t}sotimes [tackslash s],}$

где сумма берется по всем правильным корневым поддеревьям s из т; ${displaystyle [tackslash s]}$ - моном, задаваемый произведением переменных т_я образованные корневыми деревьями, которые возникают при стирании всех узлов s и связанные ссылки из т. Количество таких деревьев обозначено п(тs).

• это графство является гомоморфизмом ε ЧАС в р отправка каждой переменной т до нуля.
• это антипод S можно определить рекурсивно по формуле

${displaystyle S(t)=-t-sum _{ssubset t}(-1)^{n(tackslash s)}S([tackslash s])s,,,,S(ullet )=-ullet .}$

В Группа мясников определяется как множество гомоморфизмов алгебр φ ЧАС в р с групповой структурой

${displaystyle varphi _{1}star varphi _{2}(t)=(varphi _{1}otimes varphi _{2})Delta (t).}$

Обратное в группе Мясника дается формулой

${displaystyle varphi ^{-1}(t)=varphi (St)}$

и тождество счетчиком ε.

Используя комплексные коэффициенты при построении алгебры Хопфа корневых деревьев, получаем комплексную алгебру Хопфа корневых деревьев. C-значные символы образуют группу, называемую комплексная группа мясников G_C. Комплекс мясника группы грамм_C является бесконечномерной комплексной группой Ли^[1] который появляется как игрушечная модель в § Перенормировка квантовых теорий поля.

Серия Мясника и метод Рунге – Кутты

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение

${displaystyle {dx(s) over ds}=f(x(s)),,,,x(0)=x_{0},}$

можно приблизительно решить Метод Рунге-Кутты. Эта итерационная схема требует м Икс м матрица

${displaystyle A=(a_{ij})}$

и вектор

${displaystyle b=(b_{i})}$

с м составные части.

Схема определяет векторы Икс_п сначала найдя решение Икс₁, ... , Икс_м из

${displaystyle X_{i}=x_{n-1}+hsum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j})}$

а затем установив

${displaystyle x_{n}=x_{n-1}+hsum _{j=1}^{m}b_{j}f(x_{j}).}$

Мясник (1963) показал, что решение соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений

${displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+ssum _{j=1}^{m}a_{ij}f(X_{j}(s)),,,,x(s)=x_{0}+ssum _{j=1}^{m}b_{j}f(X_{j}(s))}$

имеет расширение степенного ряда

${displaystyle X_{i}(s)=x_{0}+sum _{t}{s^{|t|} over |t|!}alpha (t)t!sum _{j=1}^{m}a_{ij}varphi _{j}(t)delta _{t}(0),,,,,x(s)=x_{0}+sum _{t}{s^{|t|} over |t|!}alpha (t)t!varphi (t)delta _{t}(0),}$

где φ_j и φ определяются рекурсивно

${displaystyle varphi _{j}(ullet )=1.,,,varphi _{i}([t_{1},cdots ,t_{k}])=sum _{j_{1},dots ,j_{k}}a_{ij_{1}}dots a_{ij_{k}}varphi _{j_{1}}(t_{1})dots varphi _{j_{k}}(t_{k})}$

и

${displaystyle varphi (t)=sum _{j=1}^{m}b_{j}varphi _{j}(t).}$

Вышеуказанные степенные ряды называются B-серия или Мясник серии.^[3][5] Соответствующее присвоение φ является элементом группы Бутчера. Гомоморфизм, соответствующий реальному потоку, имеет

${displaystyle Phi (t)={1 over t!}.}$

Бутчер показал, что метод Рунге-Кутты дает паппроксимация фактического потока в порядке при условии, что φ и Φ согласованы на всех деревьях с п узлов или меньше. Более того, Мясник (1972) показал, что гомоморфизмы, определенные методом Рунге-Кутты, образуют плотную подгруппу группы Бутчера: фактически он показал, что для данного гомоморфизма ф 'существует гомоморфизм Рунге-Кутты ф, согласованный с ф' для порядка п; и что если даны гомоморфимы φ и φ ', соответствующие данным Рунге-Кутты (А, б) и (А ' , б ' ) гомоморфизм произведения ${displaystyle varphi star varphi ^{prime }}$ соответствует данным

${displaystyle {egin{pmatrix}A&0�&A^{prime }end{pmatrix}},,,(b,b^{prime }).}$

Хайрер и Ваннер (1974) доказано, что группа Бутчера естественным образом действует на функциях ж. Действительно, установка

${displaystyle varphi circ f=1+sum _{t}{s^{|t|} over |t|!}alpha (t)t!varphi (t)delta _{t}(0),}$

они доказали, что

${displaystyle varphi _{1}circ (varphi _{2}circ f)=(varphi _{1}star varphi _{2})circ f.}$

Алгебра Ли

Конн и Краймер (1998) показал, что связан с группой Мясника грамм является бесконечномерной алгеброй Ли. Существование этой алгебры Ли предсказывается теорема из Милнор и Мур (1965): коммутативность и естественная градуировка на ЧАС следует, что градуированная двойственная ЧАС* можно идентифицировать с универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Конн и Краймер явно идентифицируют ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ с пространством производные θ из ЧАС в р, т.е. линейные отображения такие, что

${displaystyle heta (ab)=varepsilon (a) heta (b)+ heta (a)varepsilon (b),}$

формальное касательное пространство грамм в единице ε. Это образует алгебру Ли со скобкой Ли

${displaystyle [ heta _{1}, heta _{2}](t)=( heta _{1}otimes heta _{2}- heta _{2}otimes heta _{1})Delta (t).}$

${displaystyle {mathfrak {g}}}$ порождается дифференцированием θ_т определяется

${displaystyle heta _{t}(t^{prime })=delta _{tt^{prime }},}$

за каждое укоренившееся дерево т.

Бесконечномерная алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ из Конн и Креймер (1998) и алгебра Ли L (G) группы Бутчера как бесконечномерной группы Ли не совпадают. Алгебра Ли L (G) можно отождествить с алгеброй Ли всех дифференцирований в двойственном к ЧАС (т.е. пространство всех линейных отображений из ЧАС к р), в то время как ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ получается из градуированного дуального. Следовательно ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ оказывается (строго меньшей) подалгеброй Ли в L (G).^[1]

Перенормировка

Конн и Креймер (1998) предоставил общий контекст для использования Алгебраический Хопфа методы дать простую математическую формулировку перенормировка в квантовая теория поля. Перенормировка интерпретировалась как Факторизация Биркгофа петель в группе характеров ассоциированной алгебры Хопфа. Модели, рассмотренные Креймер (1999) имел алгебру Хопфа ЧАС и группа персонажей грамм, группа мясников. Броудер (2000) дал отчет об этом процессе перенормировки с точки зрения данных Рунге-Кутты.

В этой упрощенной настройке перенормируемая модель имеет две части входных данных:^[6]

• набор Правила Фейнмана заданный гомоморфизмом алгебр Φ ЧАС в алгебру V из Серия Laurent в z с полюсами конечного порядка;
• а схема перенормировки заданный линейным оператором р на V такой, что р удовлетворяет Рота-Бакстер идентичность

${displaystyle R(fg)+R(f)R(g)=R(fR(g))+R(R(f)g)}$

и образ р – я бы лежит в алгебре V₊ из степенной ряд в z.

Обратите внимание, что р удовлетворяет тождеству Рота-Бакстера тогда и только тогда, когда я бы – р делает. Важным примером является схема минимального вычитания

${displaystyle displaystyle R(sum _{n}a_{n}z^{n})=sum _{n<0}a_{n}z^{n}.}$

Вдобавок есть проекция п из ЧАС на идеальное увеличение ker ε задано формулой

${displaystyle displaystyle P(x)=x-varepsilon (x)1.}$

Чтобы определить перенормированные правила Фейнмана, обратите внимание, что антипод S удовлетворяет

${displaystyle mcirc (Sotimes {m {id}})Delta (x)=varepsilon (x)1}$

так что

${displaystyle S=-mcirc (Sotimes P)Delta ,}$

В перенормированные правила Фейнмана задаются гомоморфизмом ${displaystyle Phi _{S}^{R}}$ из ЧАС в V полученный скручиванием гомоморфизма Φ • S. Гомоморфизм ${displaystyle Phi _{S}^{R}}$ однозначно определяется

${displaystyle Phi _{S}^{R}=-m(Sotimes Phi _{S}^{R}circ P)Delta .}$

Благодаря точному виду Δ это дает рекурсивную формулу для ${displaystyle Phi _{S}^{R}}$.

Для схемы минимального вычитания этот процесс можно интерпретировать в терминах факторизации Биркгофа в комплексной группе Бутчера. Φ можно рассматривать как отображение γ единичной окружности в комплексификацию грамм_C из грамм (отображается в C вместо того р). Таким образом, он имеет факторизацию Биркгофа.

${displaystyle displaystyle gamma (z)=gamma _{-}(z)^{-1}gamma _{+}(z),}$

где γ₊ является голоморфный внутри замкнутого единичного диска и γ_– голоморфна на своем дополнении в Сфера Римана C ${displaystyle cup {infty }}$ с γ_–(∞) = 1. Петля γ₊ соответствует перенормированному гомоморфизму. Оценка на z = 0 из γ₊ или перенормированный гомоморфизм дает размерно регуляризованный значения для каждого корневого дерева.

Например, правила Фейнмана зависят от дополнительного параметра μ, «единицы массы». Конн и Креймер (2001) показало, что

${displaystyle partial _{mu }gamma _{mu -}=0,}$

так что γ_μ– не зависит от μ.

Комплексная группа Бутчера имеет естественную однопараметрическую группу λ_ш автоморфизмов, двойственных автоморфизмов на ЧАС

${displaystyle lambda _{w}(t)=w^{|t|}t}$

за ш ≠ 0 дюйм C.

Петли γ_μ и λ_ш · Γ_μ имеют такую ​​же отрицательную часть и, для т настоящий,

${displaystyle displaystyle F_{t}=lim _{z=0}gamma _{-}(z)lambda _{tz}(gamma _{-}(z)^{-1})}$

определяет однопараметрическую подгруппу комплексной группы Бутчера грамм_C называется поток ренормгруппы (RG).

Его инфинитезимальная образующая β является элементом алгебры Ли грамм_C и определяется

${displaystyle eta =partial _{t}F_{t}|_{t=0}.}$

Это называется бета-функция модели.

В любой данной модели обычно имеется конечномерное пространство комплексных констант связи. Комплексная группа Бутчера действует на этом пространстве диффеоморфизмами. В частности, ренормализационная группа определяет поток в пространстве констант связи, при этом бета-функция задает соответствующее векторное поле.

Более общие модели в квантовой теории поля требуют замены корневых деревьев на Диаграммы Фейнмана с вершинами, украшенными символами из конечного набора индексов. Конн и Креймер также определили алгебры Хопфа в этом контексте и показали, как их можно использовать для систематизации стандартных вычислений в теории перенормировок.

пример

Креймер (2007) дал "игрушечную модель" с участием размерная регуляризация за ЧАС и алгебра V. Если c положительное целое число и q_μ = q / μ - безразмерная константа, правила Фейнмана могут быть определены рекурсивно с помощью

${displaystyle displaystyle Phi ([t_{1},dots ,t_{n}])=int {Phi (t_{1})cdots Phi (t_{n}) over |y|^{2}+q_{mu }^{2}}(|y|^{2})^{-z({c over 2}-1)},d^{D}y,}$

где z = 1 – D/ 2 - параметр регуляризации. Эти интегралы могут быть явно вычислены в терминах Гамма-функция используя формулу

${displaystyle displaystyle int {(|y|^{2})^{-u} over |y|^{2}+q_{mu }^{2}},d^{D}y=pi ^{D/2}(q_{mu }^{2})^{-z-u}{Gamma (-u+D/2)Gamma (1+u-D/2) over Gamma (D/2)}.}$

Особенно

${displaystyle displaystyle Phi (ullet )=pi ^{D/2}(q_{mu }^{2})^{-zc/2}{Gamma (1+cz) over cz}.}$

Принимая схему перенормировки р минимального вычитания перенормированные величины ${displaystyle Phi _{S}^{R}(t)}$ находятся многочлены в ${displaystyle log q_{mu }^{2}}$ при оценке на z = 0.

Примечания

1. Bogfjellmo & Schmeding 2015
2. Броудер 2004
3. Мясник 2008
4. Brouder 2000
5. Джексон, К. Р .; Kværnø, A .; Норсетт, С.П. (1994), "Использование рядов Бутчера в анализе ньютоновских итераций в формулах Рунге-Кутты", Прикладная вычислительная математика, 15 (3): 341–356, CiteSeerX  10.1.1.42.8612, Дои:10.1016 / 0168-9274 (94) 00031-X (Специальный выпуск в честь шестидесятилетия профессора Дж. К. Бутчера)
6. Краймер 2007

Рекомендации

• Бергбауэр, Кристоф; Креймер, Дирк (2005), "Алгебра Хопфа корневых деревьев в перенормировке Эпштейна-Глейзера", Анналы Анри Пуанкаре, 6 (2): 343–367, arXiv:hep-th / 0403207, Bibcode:2005AnHP .... 6..343B, Дои:10.1007 / s00023-005-0210-3
• Буте де Монвель, Луи (2003), "Алгебра де Хопфа диаграмм Фейнмана, перенормировка и факторизация де Винера-Хопфа (d'après A. Connes et D. Kreimer). [Алгебра Хопфа диаграмм Фейнмана, перенормировка и факторизация Винера-Хопфа (вслед за А. Коннесом и Д. Креймер)] " (PDF), Astérisque, Séminaire Bourbaki, 290: 149–165
• Браудер, Кристиан (2000), "Методы Рунге – Кутты и перенормировка", Евро. Phys. J. C, 12 (3): 521–534, arXiv:hep-th / 9904014, Bibcode:2000EPJC ... 12..521B, Дои:10.1007 / с100529900235
• Bogfjellmo, G .; Шмединг, А. (2015), "Структура группы Ли группы Бутчера", Основы вычислительной математики, 17 (1): 127–159, arXiv:1410.4761, Дои:10.1007 / s10208-015-9285-5
• Броудер, Кристиан (2004), "Деревья, перенормировка и дифференциальные уравнения", BIT вычислительная математика, 44 (3): 425–438, CiteSeerX  10.1.1.180.7535, Дои:10.1023 / B: BITN.0000046809.66837.cc
• Мясник, Дж. (1963), «Коэффициенты для изучения интеграционных процессов Рунге-Кутта», J. Austral. Математика. Soc., 3 (2): 185–201, Дои:10.1017 / S1446788700027932
• Мясник, Дж. К. (1972), «Алгебраическая теория методов интегрирования», Математика. Comput., 26 (117): 79–106, Дои:10.2307/2004720, JSTOR  2004720
• Мясник, Джон С. (2008), Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.), John Wiley & Sons Ltd., ISBN  978-0-470-72335-7, Г-Н  2401398
• Мясник, Дж. К. (2009), «Деревья и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений», Численные алгоритмы, 53 (2–3): 153–170, Дои:10.1007 / s11075-009-9285-0
• Кэли, Артур (1857), «К теории аналитических форм, называемых деревьями», Философский журнал, XIII: 172–176 (также в томе 3 собрания сочинений Кэли, страницы 242–246)
• Конн, Ален; Креймер, Дирк (1998), «Алгебры Хопфа, перенормировка и некоммутативная геометрия» (PDF), Коммуникации по математической физике, 199 (1): 203–242, arXiv:hep-th / 9808042, Bibcode:1998CMaPh.199..203C, Дои:10.1007 / s002200050499
• Конн, Ален; Креймер, Дирк (1999), "Уроки квантовой теории поля: алгебры Хопфа и геометрии пространства-времени", Письма по математической физике, 48: 85–96, Дои:10.1023 / А: 1007523409317
• Конн, Ален; Креймер, Дирк (2000), «Перенормировка в квантовой теории поля и проблема Римана-Гильберта. I. Структура алгебры Хопфа графов и основная теорема» (PDF), Commun. Математика. Phys., 210 (1): 249–273, arXiv:hep-th / 9912092, Bibcode:2000CMaPh.210..249C, Дои:10.1007 / s002200050779
• Конн, Ален; Креймер, Дирк (2001), «Перенормировка в квантовой теории поля и проблема Римана-Гильберта. II. Β-функция, диффеоморфизмы и ренормализационная группа» (PDF), Commun. Математика. Phys., 216 (1): 215–241, arXiv:hep-th / 0003188, Bibcode:2001CMaPh.216..215C, Дои:10.1007 / PL00005547
• Грасиа-Бондиа, Хосе; Várilly, Joseph C .; Фигероа, Эктор (2000), Элементы некоммутативной геометрии, Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-4124-5, Глава 14.
• Grossman, R .; Ларсон, Р. (1989), «Алгебраические структуры Хопфа семейств деревьев» (PDF), Журнал алгебры, 26: 184–210, Дои:10.1016/0021-8693(89)90328-1, заархивировано из оригинал (PDF) на 2008-08-20
• Hairer, E .; Ваннер, Г. (1974), "О группе Бутчера и общих многозначных методах", Вычисление, 13: 1–15, Дои:10.1007 / BF02268387
• Креймер, Дирк (1998), "О структуре алгебры Хопфа пертурбативных квантовых теорий поля", Adv. Теор. Математика. Phys., 2 (2): 303–334, arXiv:q-alg / 9707029, Bibcode:1997q.alg ..... 7029K, Дои:10.4310 / ATMP.1998.v2.n2.a4
• Креймер, Дирк (1999), «Повторный интеграл Чена представляет собой операторное разложение», Adv. Теор. Математика. Phys., 3 (3): 627–670, arXiv:hep-th / 9901099, Bibcode:1999hep.th .... 1099K, Дои:10.4310 / ATMP.1999.v3.n3.a7
• Креймер, Дирк (2007), Факторизация в квантовой теории поля: упражнение в алгебрах Хопфа и локальных особенностях, Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry II, Springer, pp. 715–736, arXiv:hep-th / 0306020, Bibcode:2003hep.th .... 6020K
• Милнор, Джон Уиллард; Мур, Джон К. (1965), «О строении алгебр Хопфа», Анналы математики, Вторая серия, 81 (2): 211–264, Дои:10.2307/1970615, JSTOR  1970615, Г-Н  0174052