Полином Бернштейна – Сато - Bernstein–Sato polynomial

В математика, то Полином Бернштейна – Сато многочлен, связанный с дифференциальные операторы, введенные независимо Джозеф Бернштейн  (1971 ) и Микио Сато и Такуро Шинтани (1972, 1974 ), Сато (1990). Он также известен как b-функция, то b-полином, а Полином Бернштейна, хотя это не связано с Многочлены Бернштейна используется в теория приближения. Он имеет приложения для теория сингулярности, теория монодромии, и квантовая теория поля.

Северино Коутиньо (1995 ) дает элементарное введение, а Арман Борель  (1987 ) и Масаки Кашивара  (2003 ) дать более продвинутые аккаунты.

Определение и свойства

Если является многочленом от нескольких переменных, то существует ненулевой многочлен и дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами такими, что

Полином Бернштейна – Сато - это монический многочлен наименьшей степени среди таких многочленов . Его существование можно показать, используя понятие голономной D-модули.

Кашивара (1976) доказано, что все корни полинома Бернштейна – Сато отрицательны. рациональное число.

Многочлен Бернштейна – Сато можно также определить для произведений степеней нескольких многочленов (Саббах 1987 г. ). В данном случае это произведение линейных факторов с рациональными коэффициентами.[нужна цитата ]

Неро Будур, Мирча Мустаца, и Морихико Сайто (2006 ) обобщил полином Бернштейна – Сато на произвольные многообразия.

Обратите внимание, что полином Бернштейна – Сато можно вычислить алгоритмически. Однако такие вычисления в целом сложны. Есть реализации связанных алгоритмов в системах компьютерной алгебры RISA / Asir, Маколей2, и ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО.

Даниэль Андрес, Виктор Левандовский и Хорхе Мартин-Моралес (2009 ) представил алгоритмы вычисления полинома Бернштейна – Сато аффинного многообразия вместе с реализацией в системе компьютерной алгебры ЕДИНСТВЕННОЕ ЧИСЛО.

Кристин Беркеш и Антон Лейкин (2010 ) описал некоторые алгоритмы вычисления полиномов Бернштейна – Сато на компьютере.

Примеры

  • Если тогда
так что многочлен Бернштейна – Сато равен
  • Если тогда
так
  • Многочлен Бернштейна – Сато от Икс2 + y3 является
  • Если тij находятся п2 переменных, то полином Бернштейна – Сато от det (тij) дан кем-то
что следует из
где Ω есть Омега-процесс Кэли, что, в свою очередь, следует из Личность Капелли.

Приложения

У него могут быть полюса, когда б(s + п) равен нулю для неотрицательного целого числа п.
  • Если ж(Икс) является многочленом, отличным от тождественного нуля, то он имеет обратный г это распределение;[а] другими словами, f g = 1 как распределения. Если ж(Икс) неотрицательно, обратное можно построить с помощью полинома Бернштейна – Сато, взяв постоянный член Расширение Лорана из ж(Икс)s в s = -1. Для произвольных ж(Икс) просто возьми раз обратное
  • Функциональное уравнение Бернштейна-Сато используется при вычислениях некоторых из более сложных видов сингулярных интегралов, встречающихся в квантовая теория поля Федор Ткачев (1997 ). Такие вычисления необходимы для прецизионных измерений в физике элементарных частиц, как это практикуется, например, в ЦЕРН (см. статьи со ссылкой на (Ткачев 1997 )). Однако наиболее интересные случаи требуют простого обобщения функционального уравнения Бернштейна-Сато на произведение двух многочленов , с участием Икс с 2-6 скалярными компонентами, и пара многочленов порядка 2 и 3. К сожалению, определение соответствующих дифференциальных операторов методом перебора и поскольку такие случаи пока оказались чрезмерно громоздкими. Разработка способов обойти комбинаторный взрыв алгоритма грубой силы будет иметь большое значение в таких приложениях.

Заметки

  1. ^ Предупреждение: инверсия в целом не уникальна, потому что если ж имеет нули, то существуют распределения, произведение которых с ж равен нулю, и добавление одного из них к обратному значению ж это еще одна противоположность ж.

использованная литература

  • Андрес, Даниэль; Левандовский Виктор; Мартин-Моралес, Хорхе (2009), "Главное пересечение и многочлен Бернштейна-Сато аффинного многообразия", Proc. ISSAC 2009, Ассоциация вычислительной техники: 231, arXiv:1002.3644, Дои:10.1145/1576702.1576735
  • Беркеш, Кристина; Лейкин, Антон (2010). «Алгоритмы для многочленов Бернштейна-Сато и идеалы множителей». Proc. ISSAC 2010. arXiv:1002.1475. Bibcode:2010arXiv1002.1475B.
  • Бернштейн, Джозеф (1971). «Модули над кольцом дифференциальных операторов. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами». Функциональный анализ и его приложения. 5 (2): 89–101. Дои:10.1007 / BF01076413. Г-Н  0290097.