Огастес Де Морган - Augustus De Morgan

Огастес Де Морган
Огастес де Морган (1806–1871)
Родился	(1806-06-27)27 июня 1806 г. Мадурай, Президентство Мадраса, британская империя (современная Индия)
Умер	18 марта 1871 г.(1871-03-18) (64 года) Лондон, Англия
Национальность	Британский
Альма-матер	Тринити-колледж, Кембридж
Известен	Законы де Моргана Алгебра де Моргана Алгебра отношений Универсальная алгебра
Научная карьера
Поля	Математик и логик
Учреждения	Университетский колледж Лондона Школа университетского колледжа
Академические консультанты	Джон Филипс Хигман Джордж Пикок Уильям Уэвелл
Известные студенты	Эдвард Раут Джеймс Джозеф Сильвестр Фредерик Гатри Уильям Стэнли Джевонс Ада Лавлейс Фрэнсис Гатри Стивен Джозеф Перри
Влияния	Джордж Буль
Под влиянием	Томас Корвин Менденхолл Исаак Тодхантер
Примечания
Он был отцом Уильям Де Морган.

Огастес Де Морган (27 июня 1806-18 марта 1871) был британцем. математик и логик. Он сформулировал Законы де Моргана и ввел термин математическая индукция, делая его идею строгой.^[1]

биография

Детство

Огастес Де Морган родился в Мадурай, Индия в 1806 году.^[а] Его отцом был подполковник Джон Де Морган (1772–1816), который занимал различные должности на службе в Ост-Индская компания. Его мать, Элизабет Додсон (1776–1856), была потомком Джеймс Додсон, который вычислил таблицу антилогарифмов, то есть чисел, соответствующих точным логарифмы. Огастес Де Морган ослеп на один глаз через месяц или два после рождения. Семья переехала в Англию, когда Августу было семь месяцев. Поскольку его отец и дед оба родились в Индии, Де Морган имел обыкновение говорить, что он не был ни англичанином, ни шотландцем, ни ирландцем, а был британцем «непривязанным», используя технический термин, применяемый к студенту Оксфорд или Кембридж который не состоит ни в одном из колледжей.

Когда Де Моргану было десять лет, умер его отец. Миссис Де Морган жила в разных местах на юго-западе Англии, а ее сын получил начальное образование в различных школах, не имеющих большого значения. Его математические способности оставались незамеченными до тех пор, пока ему не исполнилось четырнадцать, когда друг семьи обнаружил, что он делает сложный рисунок фигуры в Евклид с линейка и компасы. Она объяснила цель Евклида Августу и дала ему посвящение в демонстрацию.

Он получил среднее образование у мистера Парсонса, научного сотрудника Oriel College, Оксфорд, которые ценили классику лучше математики. Его мать была активным и горячим членом Церковь Англии, и желала, чтобы ее сын стал священником, но к этому времени Де Морган начал показывать свое несоответствующий расположение. Он стал атеистом.^[2][3]

В нашем языке есть слово, с которым я не буду путать этот предмет, как из-за бесчестного использования, которое часто используется в качестве вменения одной секты другой, так и из-за разнообразия придаваемых ему значений. Я буду использовать слово «антидеизм», чтобы обозначить мнение о том, что не существует Создателя, который создал и поддерживает Вселенную.

— Де Морган 1838, п. 22

высшее образование

В 1823 году в возрасте шестнадцати лет он поступил в Тринити-колледж, Кембридж,^[4] где он попал под влияние Джордж Пикок и Уильям Уэвелл, ставшие его друзьями на всю жизнь; в первом он черпал интерес к обновлению алгебры, а во втором - к обновлению логики - двух темах работы его будущей жизни. Его наставником в колледже был Джон Филипс Хигман, ФРС (1793–1855).

В колледже он играл флейта для отдыха и был известен в музыкальных клубах. Его любовь к знаниям как таковым мешала тренировкам для большой математической расы; как следствие он вышел четвертым спорщик. Это дало ему право на степень бакалавра искусств; но взять более высокую степень Мастер искусства и, таким образом, чтобы получить право на стипендию, необходимо было пройти богословский экзамен. Против подписания любого такого теста Де Морган чувствовал сильное возражение, хотя он был воспитан в англиканской церкви. Примерно в 1875 году в Оксфордском и Кембриджском университетах были отменены богословские экзамены на получение ученых степеней.

Лондонский университет

Поскольку в его собственном университете ему не было возможности сделать карьеру, он решил поступить в Коллегию адвокатов и поселился в Лондоне; но он предпочитал преподавать математику чтению закона. Примерно в это время движение за основание Лондонского университета (ныне Университетский колледж Лондона ) принять форму. Два древних университета, Оксфорд и Кембридж, были настолько защищены богословскими тестами, что ни один еврей или инакомыслящий вне англиканской церкви не мог поступить в качестве студента, а тем более быть назначенным на какую-либо должность. Группа либерально настроенных людей решила решить эту проблему, основав в Лондоне университет на принципах религиозного нейтралитета. Де Морган, которому тогда было 22 года, был назначен профессором математики. Его вводная лекция «Изучение математики» - это беседа о психологическом образовании, имеющая постоянную ценность, и недавно она была переиздана в Соединенных Штатах.^{[нужна цитата ]}

Лондонский университет был новым учреждением, и отношения между Советом управления, Сенатом профессоров и студентами не были четко определены. Между профессором анатомии и его учениками возник спор, и в результате действий Совета несколько профессоров подали в отставку во главе с Де Морганом. Был назначен еще один профессор математики, который через несколько лет утонул. Де Морган показал себя принцем учителей: его пригласили вернуться на свое кресло, которое впоследствии стало центром его трудов на тридцать лет.

Тот же самый корпус реформаторов во главе с Лорд брум, выдающийся как в науке, так и в политике шотландец, основавший Лондонский университет, основавший примерно в то же время Общество распространения полезных знаний. Его целью было распространение научных и других знаний с помощью дешевых и четко написанных трактатов лучших писателей того времени. Одним из самых объемных и эффективных авторов был Де Морган. Он написал отличную работу о Дифференциальное и интегральное исчисление который был опубликован Обществом; и он написал шестую часть статей в Пенни Циклопедия, издаются Обществом и выпускаются копейками. Когда Де Морган переехал в Лондон, он нашел близкого по духу друга в Уильям Френд, несмотря на его математическую ересь об отрицательных величинах. Оба были арифметиками и актуариями, и их религиозные взгляды были в чем-то схожи. Френд жил в тогдашнем пригороде Лондона, в загородном доме, который раньше занимал Дэниел Дефо и Исаак Уоттс. Де Морган со своей флейтой был желанным гостем.

Лондонский университет, профессором которого был Де Морган, отличался от Лондонский университет. Лондонский университет был основан примерно десятью годами позже правительством с целью присвоения ученых степеней после экзаменов без каких-либо ограничений по месту жительства. Лондонский университет был связан как педагогический колледж с Лондонским университетом, и его название было изменено на Университетский колледж. Лондонский университет не имел успеха в качестве экзаменационной комиссии; требовался педагогический университет. Де Морган был очень успешным учителем математики. Он планировал читать лекцию в течение часа и в конце каждой лекции выдавать ряд задач и примеров, иллюстрирующих предмет, по которому он читал лекцию; его студенты должны были сесть к ним и принести ему результаты, которые он просмотрел и вернул исправленными перед следующей лекцией. По мнению Де Моргана, тщательное понимание и мысленное усвоение великих принципов намного перевешивает важность любой чисто аналитической ловкости в применении полупонятных принципов к конкретным случаям.

В этот период он также продвигал работу индийского математика-самоучки. Рамчундра, которую называли Де Морган Рамануджан. Он руководил публикацией в Лондоне книги Рамчундры. Трактат о проблемах максимумов и минимумов в 1859 г. Во введении к этой книге он признал, что знаком с индийской традицией логики, хотя неизвестно, повлияло ли это на его собственные работы.

Семья

Август был одним из семи детей, четверо из которых дожили до взрослого возраста.

• Элиза (1801–1836) вышла замуж за Льюиса Хенсли, хирурга, жившего в Бате.
• Август (1806–1871)
• Джордж (1808–1890), адвокат, который женился на Жозефине, дочери вице-адмирала Джозайи Когхилла, 3-го баронета Когхилла
• Кэмпбелл Грейг (1811–1876), хирург в больнице Мидлсекс

Осенью 1837 года он женился София Элизабет Френд (1809–1892), старшая дочь Уильям Френд (1757–1841) и Сара Блэкберн (1779–?), Внучка Фрэнсис Блэкберн (1705–1787), архидьякон Кливленда.^[5]

У Де Моргана было три сына и четыре дочери, в том числе автор сказки. Мэри де Морган. Его старший сын был гончаром Уильям Де Морган. Его второй сын Джордж получил диплом по математике в Университетском колледже и Лондонском университете. Он и другой выпускник-единомышленник задумали основать математическое общество в Лондоне, где математические работы будут не только приниматься (как Королевское общество ) но собственно прочитал и обсудил. Первая встреча прошла в Университетском колледже; Де Морган был первым президентом, его сын - первым секретарем. Это было начало Лондонское математическое общество.

Пенсия и смерть

Огастес Де Морган.

В 1866 году кафедра ментальной философии в Университетском колледже освободилась. Джеймс Мартино, а Унитарный священник и профессор ментальной философии, официально рекомендованный Сенатом Совету; но в Совете были одни возражали против священнослужителей унитариев, другие - против теистической философии. Обыватель школы Бэйн и Спенсер был назначен. Де Морган посчитал, что старый стандарт религиозного нейтралитета был нарушен, и немедленно подал в отставку. Ему было теперь 60 лет. Ученики обеспечивали ему пенсию в размере 500 фунтов стерлингов в год, но затем последовали несчастья. Двумя годами позже его сын Джордж - «младший Бернулли», как Август любил слышать его называние, намекнув на выдающихся математиков-отцов и сыновей с таким именем, - умер. За этим ударом последовала смерть дочери. Через пять лет после ухода из университетского колледжа Де Морган умер от нервная прострация 18 марта 1871 г.

Математическая работа

Де Морган был блестящим и остроумным писателем, будь то полемист или корреспондент. В его время процветали два сэра Уильяма Гамильтона, которых часто объединяли. Один был Сэр Уильям Гамильтон, девятый баронет (то есть его титул был унаследован), шотландец, профессор логики и метафизики Эдинбургский университет; другой - рыцарь (то есть завоевавший титул), ирландец, профессор астрономии Дублинского университета. Баронет внес вклад в логику, особенно в учение о количественной оценке сказуемого; рыцарь, полное имя которого было Уильям Роуэн Гамильтон, способствовал математике, особенно геометрическая алгебра, и сначала описал Кватернионы. Де Морган интересовался работой обоих и переписывался с обоими; но переписка с шотландцем закончилась публичной полемикой, тогда как переписка с ирландцем была отмечена дружбой и закончилась только смертью. В одном из своих писем к Роуэну Де Морган говорит:

Да будет вам известно, что я обнаружил, что вы и другой сэр WH являются взаимными полярниками по отношению ко мне (интеллектуально и морально, поскольку шотландский баронет - полярный медведь, а вы, я собирался сказать, полярный джентльмен). ). Когда я отправляю небольшое расследование в Эдинбург, У. Х. в этом роде говорит, что я взял это у него. Когда я посылаю вам одну, вы берете ее у меня, обобщаете с первого взгляда, дарите ее таким образом обобщенным обществу в целом и делаете меня вторым открывателем известной теоремы.

Переписка Де Моргана с математиком Гамильтоном длилась более двадцати четырех лет; он содержит обсуждения не только математических вопросов, но и вопросов, представляющих общий интерес. Он отмечен доброжелательностью со стороны Гамильтона и остроумием со стороны Де Моргана. Вот пример: Гамильтон писал:

Моя копия работы Беркли не моя; как Беркли, знаете, я ирландец.

Де Морган ответил:

Ваша фраза "моя копия не моя" не является бык. Совершенно неплохо использовать одно и то же слово в двух разных смыслах в одном предложении, особенно когда есть употребление. Несовместимость языка - не ерунда, поскольку выражает смысл. Но несоответствие идей (как в случае с ирландцем, который натягивал веревку и обнаружил, что она не кончилась, закричал, что кто-то отрезал ее другой конец) - настоящий бык.

Де Морган был полон личных особенностей. По случаю назначения его друга лорда Брума ректором Эдинбургского университета Сенат предложил присвоить ему почетную степень LL. D .; он отказался от этой чести как неправильного слова. Однажды он напечатал свое имя: Август Де Морган, H - O - M - O - P - A - U - C - A - R - U - M - L - I - T - E - R - A - R - U - M (Латинское для «немногословного человека»).^{[нужна цитата ]}

Он не любил провинции за пределами Лондона, и пока его семья наслаждалась морем, а люди науки хорошо проводили время на собрании Британская ассоциация за городом он оставался в жарких и пыльных библиотеках мегаполиса. Он сказал, что чувствовал себя Сократ, который заявил, что чем дальше он был Афины тем дальше он был от счастья. Он никогда не стремился стать Член Королевского общества, и он никогда не присутствовал на собрании Общества; он сказал, что у него нет общих идей или симпатий с физическим философом. Его отношение, вероятно, было связано с его физическим недугом, который не позволял ему быть ни наблюдателем, ни экспериментатором. Он никогда не голосовал на выборах и никогда не посещал палата общин, то Башня Лондона или Вестминстерское аббатство.

Если бы труды Де Моргана, такие как его вклады в Общество полезного знания, были опубликованы в виде сборников, они составили бы небольшую библиотеку. В основном благодаря усилиям Пикока и Уэвелла в Кембридже было открыто философское общество, и Де Морган внес четыре мемуара в его труды по основам алгебры и столько же по формальной логике. Лучшее изложение его взглядов на алгебру можно найти в томе под названием Тригонометрия и двойная алгебра, опубликовано в 1849 г .; а его более ранний взгляд на формальную логику можно найти в томе, опубликованном в 1847 году. Его самая выдающаяся работа - это стиль Бюджет парадоксов; первоначально оно появилось в виде букв в столбцах Афинэум журнал; он был переработан и расширен Де Морганом в последние годы его жизни и был опубликован посмертно его вдовой.

Теория алгебры Джорджа Пикока была значительно улучшена благодаря Д. Ф. Грегори, младший член Кембриджской школы, делавший упор не на постоянство эквивалентных форм, а на постоянство определенных формальных законов. Эта новая теория алгебры как науки о символах и их законах сочетания была доведена до логического завершения Де Морганом; и его учению по этому вопросу до сих пор придерживаются английские алгебраисты в целом. Таким образом Джордж Кристал основывает свой Учебник алгебры по теории Де Моргана; хотя внимательный читатель может заметить, что он практически отказывается от нее, когда берется за предмет бесконечных рядов. Теория Де Моргана изложена в его книге о Тригонометрия и двойная алгебра, где в книге II, главе II, озаглавленной «О символической алгебре», он пишет:

Отказавшись от значений символов, мы также отказываемся от значений слов, которые их описывают. Таким образом дополнение должно быть в настоящее время звуком, лишенным смысла. Это режим комбинации, представленный ${\displaystyle +}$; когда ${\displaystyle +}$ получит свое значение, так будет и слово дополнение. Очень важно, чтобы учащийся знал, что: за одним исключением, ни одно слово или знак арифметики или алгебры не имеет ни одного атома значения на протяжении всей этой главы, предметом которой является символы и их законы сочетания, давая символическая алгебра который впоследствии может стать грамматикой сотни различных значимые алгебры. Если бы кто-нибудь утверждал, что ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle -}$ может означать награду и наказание, и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$и т. д. могут обозначать добродетели и пороки, читатель может верить ему или противоречить ему, как ему заблагорассудится, но не из этот главу.

Единственное отмеченное выше исключение, имеющее некоторую долю значения, - это знак ${\displaystyle =}$ помещается между двумя символами, как в ${\displaystyle A=B}$. Это указывает на то, что два символа имеют одинаковое результирующее значение, независимо от того, какие шаги были достигнуты. Это ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, если количества - это одинаковое количество; что если операции, они имеют одинаковый эффект и т. д.

Тригонометрия и двойная алгебра

Работа Де Моргана под названием Тригонометрия и двойная алгебра^[6] состоит из двух частей; первый из которых является трактатом о тригонометрия, а последний - трактат по обобщенной алгебре, который он назвал «двойной алгеброй». Первый этап развития алгебры - это арифметика, где только натуральные числа и символы операций типа +, ×и др. используются. Следующий этап - универсальная арифметика, где буквы появляются вместо цифр для универсального обозначения чисел, и процессы выполняются без знания значений символов. Позволять а и б обозначают любые натуральные числа. Такое выражение, как а − б все еще может быть невозможно, поэтому в универсальной арифметике всегда есть оговорка, при условии, что операция возможна. Третий этап - это единственная алгебра, где символ может обозначать количество вперед или количество назад и адекватно представлен отрезками на прямой, проходящей через начало координат. Тогда отрицательные количества больше не невозможны; они представлены обратным сегментом. Но во второй части такого выражения, как а + б√−1 которое возникает при решении квадратного уравнения. Четвертый этап - двойная алгебра. Алгебраический символ обычно обозначает отрезок прямой на данной плоскости. Это двойной символ, потому что он включает в себя две характеристики, а именно длину и направление; и √−1 интерпретируется как обозначение квадранта. Выражение а + б√−1 затем представляет собой линию на плоскости с абсциссой а и ордината б. Арган и Уоррен так далеко продвинули двойную алгебру, но они не смогли интерпретировать на основе этой теории такое выражение, как е^а√−1. Де Морган попытался сделать это сокращение такое выражение к форме б + q√−1, и он считал, что показал, что это всегда можно уменьшить. Замечательный факт заключается в том, что эта двойная алгебра удовлетворяет всем перечисленным выше фундаментальным законам, и, поскольку каждая кажущаяся невозможной комбинация символов была интерпретирована, она выглядит как законченная форма алгебры. В главе 6 он представил гиперболические функции и обсудили связь общей и гиперболической тригонометрии.

Если вышеприведенная теория верна, следующий этап развития должен быть тройной алгебра и если а + б√−1 действительно представляет линию в данной плоскости, должно быть возможно найти третий член, который, добавленный к вышеупомянутому, будет представлять линию в пространстве. Арганд и некоторые другие предположили, что это было а + б√−1 + c√−1^√−1 хотя это противоречит истине, установленной Эйлером о том, что √−1^√−1 = е^{−π / 2}. Де Морган и многие другие усердно работали над проблемой, но ничего не вышло, пока проблема не была взята на себя Гамильтон. Теперь мы ясно видим причину: символ двойной алгебры обозначает не длину, а направление; но множитель и угол. В нем углы приурочены к одной плоскости. Следовательно, следующим этапом будет четверная алгебра, когда ось плоскости сделана переменной. И это дает ответ на первый вопрос; двойная алгебра - не что иное, как тригонометрия аналитической плоскости, и именно поэтому было обнаружено, что она является естественным анализом переменных токов. Но Де Морган так далеко не зашел. Он умер с верой в то, что «двойная алгебра должна оставаться полным развитием концепций арифметики в том, что касается тех символов, которые арифметика непосредственно предполагает».

В главе II книги II, следуя процитированному выше отрывку о теории символической алгебры, Де Морган переходит к описанию основных символов алгебры, а также к описанию законов алгебры. Символы ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle +}$, ${\displaystyle -}$, ${\displaystyle \times }$, ${\displaystyle \div }$, ${\displaystyle ()}$⁽⁾, и буквы; только эти, все остальные - производные. Как объясняет Де Морган, последний из этих символов представляет собой написание последнего выражения в верхнем индексе над первым и после него. Его перечень основных законов состоит из четырнадцати заголовков, но некоторые из них являются просто определениями. Предыдущий список символов находится под первым из этих заголовков. Собственно законы можно свести к следующему, который, как он допускает, не все независимы друг от друга, «но несимметричный характер экспоненциальной операции и отсутствие связующего процесса ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \times }$ ... делает необходимым указать их отдельно ":

1. Законы идентичности. ${\displaystyle a=0+a}$ ${\displaystyle =+a}$ ${\displaystyle =a+0}$ ${\displaystyle =a-0}$ ${\displaystyle =1\times a}$ ${\displaystyle =\times a}$ ${\displaystyle =a\times 1}$ ${\displaystyle =a\div 1}$ ${\displaystyle =0+1\times a}$
2. Закон знаков. ${\displaystyle +(+a)=+a,}$ ${\displaystyle +(-a)=-a,}$ ${\displaystyle -(+a)=-a,}$ ${\displaystyle -(-a)=+a,}$ ${\displaystyle \times (\times a)=\times a,}$ ${\displaystyle \times (\div a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\times a)=\div a,}$ ${\displaystyle \div (\div a)=\times a}$
3. Коммутативный закон. ${\displaystyle a+b=b+a,}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$
4. Распределительное право. ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac,}$ ${\displaystyle a(b-c)=ab-ac,}$ ${\displaystyle (b+c)\div a=(b\div a)+(c\div a),}$ ${\displaystyle (b-c)\div a=(b\div a)-(c\div a)}$
5. Законы индекса. ${\displaystyle a^{0}=1,}$ ${\displaystyle a^{1}=a,}$ ${\displaystyle (a\times b)^{c}=a^{c}\times b^{c},}$ ${\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c},}$ ${\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\times c}}$

Де Морган заявляет, что дает полный перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, поскольку он говорит: «Любая система символов, подчиняющаяся этим правилам и никаким другим, за исключением того, что они образованы комбинацией этих правил, - и которая использует предыдущие символы и никакие другие - кроме новых символов, изобретенных в сокращении комбинаций этих символов - символическая алгебра. "С его точки зрения, ни один из вышеперечисленных принципов не является правилами; это формальные законы, то есть произвольно выбранные отношения, которым должны подчиняться алгебраические символы. Он не упоминает закон, на который уже указывал Григорий, а именно, ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)}$ и которому впоследствии было дано имя Закон об ассоциации. Если коммутативный закон не работает, ассоциативный может оставаться в силе; но нет наоборот. К несчастью для символиста или формалиста, в универсальной арифметике ${\displaystyle m^{n}}$ не равно ${\displaystyle n^{m}}$; ибо тогда коммутативный закон имел бы полную силу. Почему он не дает этому в полной мере? Потому что основы алгебры, в конце концов, реальны, а не формальны, материальные, а не символические. Для формалистов операции с индексами чрезвычайно непрактичны, в результате чего некоторые не принимают их во внимание, а относят к прикладной математике.^{[нужна цитата ]} Составить перечень законов, которым должны подчиняться символы алгебры, - невыполнимая задача, которая немало напоминает о задаче тех философов, которые пытаются описать априори знание ума.^{[нужна цитата ][оригинальное исследование? ]}

Формальная логика

Дальнейшая информация: Законы де Моргана

Когда в Кембриджском университете возродилось изучение математики, вместе с ним и изучение логики.Воодушевляющим духом был Уэвелл, магистр Тринити-колледжа, чьи основные труды были История индуктивных наук, и Философия индуктивных наук. Несомненно, на Де Моргана в своих логических исследованиях повлиял Уэвелл; но другие влиятельные современники были сэром Уильям Роуэн Гамильтон в Дублине и Джордж Буль в Корке. Работы Де Моргана, Формальная логика, опубликованный в 1847 г., главным образом примечателен разработкой численно определенного силлогизм. Последователи Аристотель говорят, что из двух конкретных предложений, таких как Некоторые М - А, и Некоторые М - Б ничего не следует из необходимости о соотношении А и Б. Но они идут дальше и говорят, что для того, чтобы любое отношение по поводу A и B могло следовать по необходимости, средний термин должен использоваться универсально в одной из предпосылок. Де Морган отметил, что из Большинство M - это A, а большинство M - это B. по необходимости следует, что некоторые А это Б и он сформулировал численно определенный силлогизм, который переводит этот принцип в точную количественную форму. Предположим, что количество M равно ${\displaystyle m}$, из M, которые являются A, является ${\displaystyle a}$, а из M, которые являются B, является ${\displaystyle b}$; то есть как минимум ${\displaystyle (a+b-m)}$ А это Б. Предположим, что на борту парохода было 1000 душ, 500 находились в салоне и 700 погибли. Из этого по необходимости следует, что погибло не менее 700 + 500 - 1000, то есть 200 седанов. Этого единственного принципа достаточно, чтобы доказать справедливость всех аристотелевских настроений. Следовательно, это фундаментальный принцип необходимых рассуждений.

Здесь Де Морган добился большого успеха, представив количественная оценка условий. В то время Сэр Уильям Гамильтон преподавал в Эдинбург возникла доктрина количественной оценки сказуемого, и возникло соответствие. Однако Де Морган вскоре понял, что количественная оценка Гамильтона носит иной характер; что это означало, например, замену двух форм Все A - это все B, и Все A является частью B для аристотелевской формы Все А - Б. Гамильтон подумал, что он поместил краеугольный камень в арку Аристотеля, как он это сформулировал. Хотя, должно быть, это была любопытная арка, которая могла бы простоять 2000 лет без замкового камня. Как следствие, у него не было места нововведениям Де Моргана. Он обвинил Де Моргана в плагиате, и полемика бушевала в течение многих лет в колонках журнала. Афинэум, и в публикациях двух писателей.

Мемуары по логике, которые Де Морган внес в Труды Кембриджского философского общества после публикации его книги Формальная логика являются, безусловно, наиболее важным вкладом, который он внес в науку, особенно его четвертые мемуары, в которых он начинает работу в широкой области «логики родственников».

Бюджет парадоксов

Во введении к Бюджет парадоксов Де Морган объясняет, что он имеет в виду под этим словом:

Очень многие люди с момента появления математического метода, каждый за себя, атаковали его прямые и косвенные последствия. Я назову каждого из этих людей парадоксальный, а его система парадокс. Я использую это слово в старом смысле: парадокс - это что-то, что находится вне общего мнения, будь то предмет, метод или заключение. Многие из выдвинутых сейчас вещей будут называться крючком, которое является ближайшим к старому слову парадокс. Но есть разница в том, что, называя вещь крючком, мы имеем в виду легкомысленно говорить о ней; что не было необходимым чувством парадокса. Таким образом, в XVI веке многие говорили о движении Земли как о движении Земли. парадокс коперника и очень высоко ценил изобретательность этой теории, а некоторые, я думаю, даже склонялись к ней. В семнадцатом веке потеря смысла имела место, по крайней мере, в Англии.

Как можно отличить звуковой парадокс от ложного парадокса? Де Морган предлагает следующий тест:

То, как парадоксальный человек проявит себя в смысле рассудительности или бессмыслицы, будет зависеть не от того, что он утверждает, а от того, достаточно ли он осведомлен о том, что сделали другие, особенно в отношении способа поведения. делая это, перед изобретением знания для себя ... Новое знание, когда оно для любой цели, должно прийти через созерцание старого знания во всех вопросах, касающихся мысли; механические приспособления иногда, не очень часто, избегают этого правила. Все люди, которых сейчас называют первооткрывателями, в каждом вопросе, управляемом мыслью, были людьми, сведущими в умах своих предшественников и изучившими то, что было до них. Нет ни одного исключения.

В Бюджет состоит из обзора большой коллекции парадоксальных книг, которые Де Морган скопил в своей собственной библиотеке, частично путем покупки в книжных полках, частично из книг, присланных ему для рецензирования, частично из книг, присланных ему авторами. Он дает следующую классификацию: квадратики круга, трисектора угла, дубликаторы куба, конструкторы вечного движения, разрушители гравитации, застоявшиеся земли, строители вселенной. Вы все еще найдете образцы всех этих классов в Новом Свете и в новом веке. Де Морган делится своими знаниями о парадоксах.

Я подозреваю, что знаю английский язык больше, чем кто-либо в Британии. Я никогда не вёл никаких счетов: но я знаю, что один год с другим? и меньше в последние годы, чем в более раннее время? - Я разговаривал более чем с пятью в год, давая более ста пятидесяти образцов. В этом я уверен, что это моя вина, если их не было тысячи. Никто не знает, как они роятся, кроме тех, к кому они прибегают. Они всех рангов и профессий, любого возраста и характера. Они очень серьезные люди, и их цель добросовестный, распространение своих парадоксов. Очень многие - в действительности масса - неграмотны, многие растрачивают свои средства и находятся в нищете или приближаются к ней. Эти первооткрыватели презирают друг друга.

Парадоксом, которому Де Морган сделал комплимент, который Ахиллес сделал Гектору - снова и снова таскал его по стенам, - был Джеймс Смит, успешный купец из Ливерпуля. Он нашел ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$. Его рассуждения представляли собой любопытную карикатуру на сокращение до абсурда Евклида. Он сказал, пусть ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$, а затем показал, что при этом предположении любое другое значение ${\displaystyle \pi }$ должно быть абсурдно. Как следствие, ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$ это истинное значение. Ниже приводится пример того, как Де Морган волочился по стенам Трои:

Мистер Смит продолжает писать мне длинные письма, на которые он намекает, что я должен ответить. В его последнем из 31 тщательно написанных сторон листочков, он сообщает мне, со ссылкой на мое упрямом молчание, что, хотя я думаю, что сам, и я думал, что другие, чтобы быть математическим Голиаф, я решил играть математическую улитку, и держать внутри моей оболочки. Математический улитка! Это не может быть так называемая вещь, которая регулирует бой часов; потому что это означало бы, что я должен заставить мистера Смита озвучивать истинное время дня, что я ни в коем случае не предпринял бы для часов, которые показывают разницу в 19 секунд в каждом часе на ложное квадративное значение ${\displaystyle \pi }$. Но он осмеливается сказать мне, что камешки из пращи простой истины и здравого смысла в конечном итоге расколоть мою скорлупу и заставят меня закуска. Забавно смешение образов: Голиаф превратился в улитку, чтобы избежать ${\displaystyle \pi =3{\tfrac {1}{8}}}$ и Джеймс Смит, эсквайр, из Совета дока Мерси: и положил закуска камешками из пращи. Если бы Голиаф влез в раковину улитки, Давид сломал бы филистимлянина ногой. Есть что-то вроде скромности в том, что камешек из трещинной раковины еще не подействовал; Можно было подумать, что пращник к этому времени уже пел - И трижды [с одной восьмой] я разбил всех своих врагов, И трижды [с одной восьмой] я убил убитых.

В области чистой математики Де Морган мог легко отличить ложь от истинного парадокса; но он не был настолько опытным в области физики. Его тесть был парадоксальным, а его жена парадоксальным; и, по мнению философов-физиков, самому Де Моргану почти не удалось спастись. Его жена написала книгу, описывающую явления спиритизма, настольного чтения, токарный, так далее.; и Де Морган написал предисловие, в котором он сказал, что знает некоторые из утвержденных фактов, верит другим на основании показаний, но не претендует на то, чтобы знать будь то они были вызваны духами или имели какое-то неизвестное и невообразимое происхождение. Из этой альтернативы он исключил обычные материальные причины. Фарадей прочитал лекцию о Спиритизм, в котором он заявил, что в исследовании мы должны исходить из идеи того, что физически возможно или что невозможно; Де Морган этому не поверил.

связи

Де Морган разработал исчисление отношений в его Программа предлагаемой системы логики (1966: 208–46), впервые опубликовано в 1860 году. Де Морган смог показать это рассуждение с помощью силлогизмы можно заменить на состав отношений.^[7] Исчисление было описано как логика родственников к Чарльз Сандерс Пирс, который восхищался Де Морганом и познакомился с ним незадолго до его смерти. Исчисление было расширено в третьем томе Эрнст Шредер с Vorlesungen über die Algebra der Logik. Бинарные отношения, особенно теория порядка, оказались критически важными для Principia Mathematica из Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед. В свою очередь, это исчисление стало предметом дальнейших исследований, начиная с 1940 г. Альфред Тарский и его коллеги и студенты в Калифорнийский университет.

Спиритизм

Позже Де Морган заинтересовался феноменом спиритизм. В 1849 году он исследовал ясновидение и был впечатлен предметом. Позже он проводил исследования паранормальных явлений в собственном доме с американской медиумом Марией Хайден. Результат этих расследований позже опубликовала его жена София. Де Морган считал, что его карьера ученого могла бы пострадать, если бы он проявил интерес к изучению спиритизма, поэтому он помог опубликовать книгу анонимно.^[8] Книга вышла в 1863 году под названием От материи к духу: результат десятилетнего опыта духовных проявлений.

По мнению историка Джанет Оппенгейм, Жена Де Моргана София была убежденным спиритуалистом, но Де Морган разделял позицию третьего пути в отношении спиритических явлений, которую Оппенгейм определил как «выжидательную позицию»; он не был ни верующим, ни скептиком. Напротив, его точка зрения заключалась в том, что методология физических наук не исключает автоматически психические явления, и что такие явления могут быть объяснены во времени возможным существованием естественных сил, которые физики еще не идентифицировали.^[9]

В предисловии к От материи к духу (1863) Де Морган заявил:

Считая весьма вероятным, что во Вселенной может быть несколько агентств - скажем, полмиллиона - о которых никто ничего не знает, я не могу не подозревать, что небольшая часть этих агентств - скажем, пять тысяч - может быть в той или иной степени компетентна в производстве все [спиритуалистические] феномены, или, возможно, вполне справляются с задачей среди них. Физические объяснения, которые я видел, просты, но ужасно недостаточны: спиритуалистическая гипотеза достаточна, но чрезвычайно трудна. Время и размышления решат, второй спросит у первого больше результатов испытания.

Психологический исследователь Джон Белофф написал, что Де Морган был первым известным ученым в Великобритании, проявившим интерес к изучению спиритизма, и его исследования повлияли на решение Уильям Крукс также изучать спиритизм. Белофф также утверждает, что Де Морган был атеист и поэтому он был отстранен от должности в Оксфорде или Кембридже.^[10]

Наследие

Помимо его великого математического наследия, штаб-квартира Лондонского математического общества называется Дом Де Моргана а студенческое общество математического факультета Лондонского университетского колледжа называется Обществом Августа Де Моргана.

Кратер Де Морган на Луна назван в его честь.

Избранные произведения

• Объяснение гномонической проекции сферы. Лондон: Болдуин. 1836 г.
• Элементы тригонометрии и тригонометрического анализа. Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837a.
• Элементы алгебры. Лондон: Тейлор и Уолтон. 1837b.
• Эссе о вероятностях и их применении в страховых компаниях и страховых компаниях. Лондон: Лонгман, Орм, Браун, Грин и Лонгманс. 1838 г.
• Элементы арифметики. Лондон: Тейлор и Уолтон. 1840a.
• Первые понятия логики, подготовка к изучению геометрии. Лондон: Тейлор и Уолтон. 1840b.
• Дифференциальное и интегральное исчисление. Лондон: Болдуин. 1842 г.
• Глобусы, небесные и земные. Лондон: Малби и Ко 1845.
• Формальная логика или исчисление вывода, необходимое и вероятное. Лондон: Тейлор и Уолтон. 1847 г.
• Тригонометрия и двойная алгебра. Лондон: Тейлор, Уолтон и Малбери. 1849 г.
• Программа предлагаемой системы логики. Лондон: Уолтон и Малбери. 1860 г.
• Бюджет парадоксов. Лондон: Лонгманс, Грин. 1872 г.^[11][12]

Смотрите также

• Закон Мэрфи

Рекомендации

Примечания

1. Год его рождения можно узнать, решив головоломку, предложенную им самим: «Я был Икс лет в году Икс² (В 1849 году ему было 43 года). Проблема неопределенная, но она строго определена веком ее высказываний и пределом человеческой жизни. Те, кто родился в 1722 (1764–42), 1892 (1936–44) и 1980 (2025–45), имеют такие же привилегии.

Цитаты

1. Де Морган (1838) Индукция (математика), Пенни Циклопедия.
2. Beloff 1997, п. 47.
3. Де Морган и Де Морган 1882, п. 393.
4. "Де Морган, Огастес (D823A)". База данных выпускников Кембриджа. Кембриджский университет.
5. Стивен, Лесли, изд. (1889 г.). "Френд, Уильям". Словарь национальной биографии. 20. Лондон: Smith, Elder & Co.
6. Де Морган 1849.
7. Меррилл 2012, п. 49.
8. Нельсон 1969, п. 90.
9. Оппенгейм 1988, п. 335.
10. Beloff 1997 С. 46–47.
11. Карпинский 1916 С. 468–471.
12. Конклин 1955 С. 95-99.

Источники

• Белофф, Джон (1997). Парапсихология: краткая история. Пэлгрейв Макмиллан. ISBN  978-0-312-17376-0. Он кажется маловероятным новообращенным, учитывая, что его атеистические взгляды лишили его возможности работать в Оксфорде или Кембридже, но его причастность к спиритизму частично была связана с его женой Софией.
• Конклин, Грофф (март 1955 г.). "Полка 5 звезд Галактики". Галактика Научная фантастика.
• Де Морган, София Элизабет; Де Морган, Август (1882). Воспоминания Августа де Моргана: отрывки из его писем. Лонгманс, Грин и компания. ISBN  978-1-108-01447-2. Итак, вы назвали меня бродягой-атеистом, полагая, что Вольтер был атеистом: на самом деле он был сторонником фанатизма и в той же степени антиреволюционером.
• Карпинский, Луи (1916). "Рассмотрение: Бюджет парадоксов (2-е изд.) Августа Де Моргана ". Бык. Амер. Математика. Soc. 22 (9): 468–471. Дои:10.1090 / с0002-9904-1916-02839-4.
• Меррилл, Дэниел Д. (2012). Огастес де Морган и логика отношений. Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-009-2047-7.
• Нельсон, Джеффри К. (1969). Спиритуализм и общество.
• Оппенгейм, Джанет (1988). Другой мир: спиритуализм и психические исследования в Англии, 1850–1914 гг.. Издательство Кембриджского университета. п. 335. ISBN  0-521-34767-X.

дальнейшее чтение

• Де Морган, А., 1966. Логика: о силлогизме и других логических сочинениях. Хит, П., изд. Рутледж. Полезный сборник самых важных работ Де Моргана по логике.
• Де Морган, София Элизабет (1882). Воспоминания Августа де Моргана. Лондон: Longmans, Green and Company. Огастес Де Морган.
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000). В поисках математических корней 1870–1940 гг.. Издательство Принстонского университета.
• Макфарлейн, Александр (1916). Лекции о десяти британских математиках девятнадцатого века (PDF). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
•  Кузен, Джон Уильям (1910), "Де Морган, Август ", Краткий биографический словарь английской литературы, Лондон: J. M. Dent & Sons - через Wikisource
• Стивен, Лесли, изд. (1888). "Де Морган, Август". Словарь национальной биографии. 14. Лондон: Smith, Elder & Co.

внешняя ссылка

• Работы Августа Де Моргана в Проект Гутенберг
• Работы Августа Де Моргана или о нем в Интернет-архив
• Работы Августа Де Моргана в LibriVox (аудиокниги в общественном достоянии)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Огастес Де Морган", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Документы Августа Де Моргана, хранящиеся в библиотеке Сената Лондонского университета
• Библиотека Августа Де Моргана
• «Архивные материалы, относящиеся к Августу Де Моргану». Национальный архив Великобритании.
• Портреты Августа Де Моргана на Национальная портретная галерея, Лондон