Теория аукционов - Auction theory

Теория аукционов прикладная ветвь экономика который касается того, как участники торгов действуют в аукцион рынках и исследует, как особенности аукционных рынков стимулируют предсказуемые результаты. Теория аукционов - это инструмент, используемый для разработки реальных аукционов. Продавцы используют теорию аукционов для увеличения доходов, позволяя покупателям делать закупки по более низкой цене. Конференция цены между покупателем и продавцом - это экономическое равновесие. Теоретики аукционов разрабатывают правила аукционов для решения проблем, которые могут привести к провал рынка. Дизайн этих наборов правил поощряет оптимальный стратегии назначения ставок среди множества информационных настроек.[1] Премия Sveriges Riksbank в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (в народе известная как Нобелевская премия по экономике) за 2020 год была присуждена Пол Р. Милгром и Роберт Б. Уилсон «За усовершенствования теории аукционов и изобретения новых форматы аукционов.”[2]

Вступление

Аукционы облегчают транзакции, применяя определенный набор правил, касающихся распределения ресурсов группой участников торгов. Теоретики считают аукционы экономические игры которые различаются по двум параметрам: формат и информация.[3] Формат определяет правила объявления цен, размещения ставок, обновления цен, закрытия аукциона и способа определения победителя.[4] То, как аукционы различаются в отношении информации о асимметрии информации, которая существует между участниками торгов.[5] На большинстве аукционов участники торгов имеют некоторую личную информацию, которую они предпочитают скрывать от своих конкурентов. Например, участники торгов обычно знают свою личную оценку товара, которая неизвестна другим участникам торгов и продавцу; однако поведение участников торгов может повлиять на личную оценку других участников торгов.

Лауреат Нобелевской премии по экономическим наукам 1994 г., Джон Нэш, [6] разработал обобщенную теорию аукционов как некооперативную игру, выходящую за рамки простых игры с нулевой суммой. Эта теория была жизненно важна для теоретизации аукционов, поскольку цель аукционов - присвоить объект покупателю, который будет максимально использовать его по самой высокой цене, тем самым максимизируя ценность как для покупателя, так и для продавца. Нэш разработал способ проведения аукционов, чтобы обеспечить обществу абсолютную выгоду. Викри (лауреат Нобелевской премии 1996 г.) и Харсаньи (лауреат 1994 г.) продлили срок Равновесие Нэша определение способов достижения равновесия в информационных настройках. К 1990-м годам теоретики аукционов определили условия равновесных торгов для аукционов с одним объектом при наиболее реалистичных форматах аукционов и информационных настройках.[7] Современное состояние учитывает, как можно эффективно проводить аукционы с несколькими объектами; Роберт Б. Уилсон и Пол Милгром выиграл премию Sveriges Riksbank в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 2020 за их работу по определению этих аукционов.[8] Некоторые другие современные модели аукционов - это аукционы Product-Mix Auctions, которые позволяют проводить «пакетные торги», реализованные компанией Пауль Клемперер в ответ на 2007 Northern Rock Bank Run для продажи проблемных долгов и аукционов позиций, на которых проводится обобщенный аукцион второй цены, который Google раньше продавала объявления по ключевым словам поиска в Интернете.[9]

Типы аукционов

Основная статья: Аукцион § Типы

Традиционно существует четыре типа аукционов, которые используются для распределения одного предмета:

  • Аукцион первой цены с запечатанными предложениями в котором участники торгов помещают свои ставки в запечатанном конверте и одновременно передают их аукционисту. Конверты открываются, и человек, сделавший самую высокую ставку, выигрывает, оплачивая ставку. Эта форма аукциона требует сложного теоретизирования игры, поскольку участники торгов должны учитывать не только свои оценки, но и оценки других участников торгов, а также то, что, по мнению других участников торгов, являются оценками других участников торгов.[10]
  • Аукционы второй цены с запечатанными предложениями (аукционы Викри) в котором участники торгов помещают свои ставки в запечатанном конверте и одновременно передают их аукционисту. Конверты открываются, и лицо, предложившее самую высокую ставку, побеждает, заплатив цену, равную второй по величине делать ставку. Логика этого типа аукциона заключается в том, что доминирующей стратегией для всех участников торгов является предложение их истинной стоимости. [11] Уильям Викри был первым ученым, изучившим аукционы второй цены, но их использование восходит к истории с некоторыми свидетельствами, предполагающими, что Гете продал свои рукописи издателю, используя формат аукциона второй цены. [12] Онлайн-аукционы часто используют эквивалентную версию аукциона второй цены Викри, на котором участники торгов предоставляют прокси-ставки на товары. Прокси-ставка - это сумма, которую человек оценивает по какой-либо позиции. Интернет-аукционный дом будет повышать цену за предмет до тех пор, пока доверенное предложение для победителя не будет наверху. Тем не менее, физическое лицо должно заплатить только на одно увеличение выше второй по величине цены, несмотря на его собственную оценку по доверенности.[13]
  • Открытые аукционы с возрастающей ставкой (английские аукционы) в котором участники делают все более высокие ставки, каждая из которых прекращает торги, когда они не готовы заплатить больше, чем текущая максимальная ставка. Это продолжается до тех пор, пока ни один из участников не будет готов сделать более высокую ставку; участник, предложивший самую высокую цену, побеждает на аукционе по окончательной ставке. Иногда лот продается только в том случае, если торги достигают установленной продавцом резервной цены.
  • Открытые аукционы с понижающей ставкой (голландские аукционы) в котором цена устанавливается аукционистом на достаточно высоком уровне, чтобы удержать всех участников торгов, и постепенно снижается до тех пор, пока участник торгов не будет готов купить по текущей цене, выиграв аукцион.

Большинство теорий аукционов вращается вокруг этих четырех «основных» типов аукционов. Однако другие также прошли академическое исследование (см. Аукцион § Типы ).

Контрольная модель

В эталонная модель для аукционов, как определено McAfee и McMillan (1987), предлагает обобщение форматов аукционов и основывается на четырех предположениях:

  1. Все участники торгов нейтральны к риску.
  2. Каждый участник торгов имеет частную оценку товара независимо от некоторого распределения вероятностей.
  3. Претенденты обладают симметричной информацией.
  4. Оплата представлена ​​как функция только от ставок.

Эталонная модель часто используется в тандеме с Принцип откровения, в котором говорится, что каждый из основных типов аукционов структурирован таким образом, что у каждого участника торгов есть стимул честно сообщать о своей оценке. Эти два параметра в основном используются продавцами для определения типа аукциона, который максимизирует ожидаемую цену. Этот оптимальный формат аукциона определяется таким образом, что предмет будет предложен участнику торгов с наивысшей оценкой по цене, равной его оценке, но продавец откажется продавать предмет, если они ожидают, что все оценки предмета участниками торгов меньше, чем их собственные.[14]

Ослабление каждого из четырех основных допущений эталонной модели дает форматы аукционов с уникальными характеристиками:

  • Участники торгов, не склонные к риску нести определенные затраты из-за рискованного поведения, которое влияет на их оценку продукта. На аукционах первой цены с запечатанными предложениями участники торгов, не склонные к риску, более склонны предлагать больше, чтобы увеличить свою вероятность выигрыша, что, в свою очередь, увеличивает их ожидаемую полезность. Это позволяет аукционам первой цены с запечатанными предложениями приносить более высокий ожидаемый доход, чем английские аукционы и аукционы второй цены с запечатанными предложениями.
  • В форматах с коррелированные значения- если цены на товар не являются независимыми - один из участников торгов считает свою стоимость товара высокой, что повышает вероятность того, что другие участники торгов сочтут свои собственные значения высокими. Ярким примером этого случая является Проклятие победителя, где результаты аукциона сообщают победителю, что все остальные оценили стоимость предмета меньше, чем они. Кроме того, принцип связи позволяет сравнивать выручку среди довольно общего класса аукционов с взаимозависимостью между ценностями участников торгов.
  • В асимметричная модель предполагает, что участники торгов разделены на два класса, которые получают оценки от разных распределений (например, дилеры и коллекционеры на антикварном аукционе).
  • В форматах с роялти или поощрительные выплаты, продавец включает в функцию цены дополнительные факторы, особенно те, которые влияют на истинную стоимость товара (например, поставки, производственные затраты и роялти).[14]

Теоретико-игровые модели

Теоретико-игровая модель аукциона - это математическая игра представлен набор игроков, набор действий (стратегии ) доступный каждому игроку, и выплата вектор соответствует каждому сочетание стратегий. Как правило, игроками являются покупатель (-ы) и продавец (-ы). Набор действий каждого игрока - это набор ставок функции или же резервные цены (резервы). Каждая функция ставок отображает ценить (в случае покупателя) или Стоимость (в случае продавца) к ставке цена. Выигрыш каждого игрока при комбинации стратегий равен ожидаемая полезность (или же ожидал прибыль) этого игрока при данной комбинации стратегий.

Теоретико-игровые модели аукционов и стратегических торгов обычно относятся к одной из следующих двух категорий. В модель частных ценностей, каждый участник (претендент) предполагает, что каждый из конкурирующий участники торгов получают случайный частная ценность из распределение вероятностей. В общая ценность модели участники имеют равные оценки предмета, но у них нет совершенно точной информации об этой оценке. Вместо того, чтобы знать точную оценку товара, каждый участник может предположить, что любой другой участник получает случайный сигнал, который может использоваться для оценки истинной стоимости, из распределения вероятностей, общего для всех участников торгов.[15] Обычно, но не всегда, модель частных ценностей предполагает, что значения независимый между участниками торгов, в то время как модель общей стоимости обычно предполагает, что значения независимы до общих параметры распределения вероятностей.

Более общая категория для стратегических торгов - это аффилированная модель ценностей, в котором общая полезность участника торгов зависит как от его индивидуального частного сигнала, так и от некоторого неизвестного общего значения. И модели частной ценности, и модели общих ценностей могут восприниматься как расширения общей модели связанных ценностей.[16]

Равновесие постфактум на простом аукционном рынке.

Когда необходимо сделать явные предположения о стоимости участников торгов распределения, большинство опубликованных исследований предполагает симметричный участники торгов. Это означает, что распределение вероятностей, из которого участники торгов получают свои значения (или сигналы), одинаково для всех участников торгов. В модели частных ценностей, которая предполагает независимость, симметрия подразумевает, что ценности участников торгов:i.i.d. «- независимо и одинаково распределены.

Важным примером (не предполагающим независимости) является Милгром и Вебер «Общая симметричная модель» (1982).[17][18] Одним из ранее опубликованных теоретических исследований, посвященных свойствам аукционов среди асимметричных участников торгов, является статья Кейта Верера в 1999 году.[19] Позже опубликованные исследования включают: Сьюзан Эти в статье Econometrica 2001 г.,[20] а также Рени и Замир (2004).[21]

Первый формальный анализ аукционов был проведен Уильям Викри (1961). Викри считает, что два покупателя делают ставки на один товар. Ценность каждого покупателя v является независимым результатом равномерного распределения с поддержкой [0,1]. Викри показал, что в закрытом аукционе первой цены это стратегия равновесных ставок, при которой каждый участник торгов предлагает половину своей оценки. При большем количестве участников торгов, получающих значение из одного и того же равномерного распределения, легко показать, что стратегия симметричного равновесия ставок

.

Чтобы проверить, является ли это стратегией равновесных торгов, мы должны показать, что если это стратегия, принятая другими n-1 покупателями, то для покупателя 1 лучшим ответом будет ее принятие. Обратите внимание, что покупатель 1 выигрывает с вероятностью 1 при ставке (n-1) / n, поэтому нам нужно рассматривать только заявки на интервале [0, (n-1) / n]. Предположим, покупатель 1 имеет значение v и делает ставку b. Если значение покупателя 2 равно x, он делает ставку B (x). Следовательно, покупатель 1 превосходит покупателя 2, если

то есть

Поскольку x равномерно распределен, покупатель 1 предлагает более высокую ставку, чем покупатель 2, с вероятностью nb / (n-1). Чтобы выиграть торги, покупатель 1 должен сделать ставку выше, чем все другие участники торгов (которые делают ставки независимо). Тогда его вероятность выигрыша равна

Ожидаемый выигрыш покупателя 1 равен его вероятности выигрыша, умноженной на его выигрыш в случае его выигрыша. То есть,

Путем дифференцирования легко подтверждается, что U (b) принимает максимум при

Нетрудно показать, что B (v) - единственное симметричное равновесие. Лебрен (1996)[22] дает общее доказательство отсутствия асимметричных равновесий.

Эквивалент выручки

Основная статья: Эквивалент выручки

Одним из основных выводов теории аукционов является теорема об эквивалентности доходов. Первые результаты оценки эквивалентности были сосредоточены на сравнении доходов на наиболее распространенных аукционах. Первое такое доказательство для случая двух покупателей и равномерно распределенных ценностей было сделано Викри (1961). В 1979 г. Райли и Самуэльсон (1981) доказал гораздо более общий результат. (Совершенно независимо и вскоре после этого это было также получено Майерсон (1981) ). теорема об эквивалентности доходов заявляет, что любой механизм распределения или аукцион, который удовлетворяет четырем основным предположениям эталонной модели, приведет к тому же ожидаемому доходу для продавца (и игрока я типа v может ожидать одинаковый профицит на разных типах аукционов).[14]

Ослабление этих предположений может дать ценную информацию для дизайна аукциона. Ошибки в принятии решений также могут привести к предсказуемой неэквивалентности. Кроме того, если известно, что некоторые участники торгов имеют более высокую оценку лота, такие методы, как ценовая дискриминация в отношении таких участников торгов, принесут более высокую прибыль. Другими словами, если известно, что участник торгов оценивает лот в X долларов больше, чем следующий участник, предлагающий самую высокую цену, продавец может увеличить свою прибыль, взимая с этого участника торгов X - Δ долларов США (сумма, немного меньшая той суммы, которую готов заплатить ) больше, чем любой другой участник торгов (или, что эквивалентно, специальный сбор за участие в торгах в размере X - Δ). Этот участник торгов все равно выиграет лот, но заплатит больше, чем в противном случае.[14]

Проклятие победителя

Основная статья: Проклятие победителя

Проклятие победителя - это явление, которое может произойти в общая ценность настройки - когда фактические значения для разных участников торгов неизвестны, но коррелированы, и участники торгов принимают решения о торгах на основе оценочных значений. В таких случаях победителем будет, как правило, претендент с наивысшей оценкой, но результаты аукциона покажут, что оценки стоимости товара оставшимися участниками торгов меньше, чем у победителя, что создает у победителя впечатление, что он "ставка слишком высокая".[14]

В равновесии такой игры проклятие победителя не возникает, потому что участники торгов учитывают предвзятость в своих стратегиях торгов. Однако поведенчески и эмпирически проклятие победителя - обычное явление, подробно описанное Ричард Талер.

Оптимальные резервные цены

Майерсон (1981) показал, что в случае независимых частных ценностей оптимальная резервная цена не зависит от числа участников торгов.[23] Например, предположим, что есть один потенциальный покупатель, чья оценка равномерно распределена на интервале [0,100]. Если продавец может сделать ценовое предложение по принципу «возьми или оставь», оптимальная цена будет равна 50. Причина в том, что покупатель будет покупать всякий раз, когда оценка покупателя v по крайней мере равна цене p. Поскольку вероятность того, что v больше p, составляет 100-p процентов, ожидаемая прибыль продавца равна p · (100-p) / 100, которая максимизируется при p = 50. Майерсон (1981) доказывает, что оптимальная резервная цена в этом примере остается равной 50, независимо от числа потенциальных покупателей.

Bulow и Klemperer (1996) показали, что аукцион с n участниками торгов и оптимально выбранной резервной ценой приносит меньшую ожидаемую прибыль для продавца, чем стандартный аукцион с n + 1 претендентами (и без резервной цены).[24]

Классификация JEL

в Система классификации журналов экономической литературы C7 - классификация по теории игр, а D44 - классификация по аукционам.[25]

Приложения к бизнес-стратегии

Исследователи экономики управления отметили некоторые применения теории аукционов в бизнес-стратегии. А именно, теория аукционов может быть применена к «играм с упреждением» и «играм на истощение».[26]

Preemption Games - это игра, в которой предприниматели будут упреждать другие фирмы при выходе на рынок с новыми технологиями, прежде чем они будут готовы к коммерческому развертыванию. Стоимость, создаваемая ожиданием, пока технология станет коммерчески жизнеспособной, также увеличивает риск того, что конкурент выйдет на рынок превентивно. Превентивные игры можно смоделировать как закрытый аукцион первой цены. Обе компании предпочли бы выйти на рынок, когда технология будет готова к коммерческому развертыванию; это можно считать оценкой обеих компаний. Однако одна фирма может располагать информацией о том, что технология жизнеспособна, раньше, чем полагает другая фирма. Таким образом, компания с более полной информацией выйдет на рынок и предложит выйти на рынок раньше, даже если риск неудачи будет выше.

Игры на истощение - это игры, в которых другие фирмы пытаются уйти с рынка. Это часто происходит в сфере авиаперевозок, поскольку эти рынки считаются очень конкурентными.[27] Когда на рынок выходит новая авиакомпания, они снижают цены, чтобы получить долю рынка. Это вынуждает действующую авиакомпанию также снижать цены, чтобы не потерять долю рынка. Это создает аукционную игру. Обычно участники рынка используют стратегию попытки обанкротить традиционную компанию. Таким образом, аукцион измеряется тем, сколько каждая фирма готова потерять, продолжая играть на истощение. Фирма, проработавшая дольше всех в игре, выигрывает долю рынка. Эта стратегия использовалась более современными службами потоковой передачи развлечений, такими как Netflix, Hulu, Дисней + и HBOMax все это убыточные фирмы, пытающиеся завоевать долю рынка, предлагая более широкий развлекательный контент.[28]

Сноски

  1. ^ <Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля; нет подписи -> (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования в теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  2. ^ «Премия по экономическим наукам 2020» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. 13 октября 2020 г.
  3. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования в теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. С. 1–2.
  4. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). "Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов" (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. п. 3.
  5. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. п. 3.
  6. ^ Нэш, Джон (1950). "Проблема торга" (PDF). Econometrica: 155–162. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  7. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. С. 4–5.
  8. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования в теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. С. 23–26.
  9. ^ Комитет по премии в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля (12 октября 2020 г.). «Научная справка о Премии Sveriges Riksbank в области экономических наук в память об Альфреде Нобеле 2020: усовершенствования теории аукционов и изобретения новых форматов аукционов» (PDF) (Пресс-релиз). Шведская королевская академия наук. п. 26.
  10. ^ Диксит, Авинаш К .; Налебафф, Барри Дж. (2008). Искусство стратегии: руководство теоретика игр к успеху в бизнесе и жизни. Нью-Йорк: Нортон. С. 302–306.
  11. ^ Диксит, Авинаш К .; Налебафф, Барри Дж. (2008). Искусство стратегии: руководство теоретика игр к успеху в бизнесе и жизни. Нью-Йорк: Нортон. С. 305–306.
  12. ^ Диксит, Авинаш К .; Налебафф, Барри Дж. (2008). Искусство стратегии: руководство теоретика игр к успеху в бизнесе и жизни. Нью-Йорк: Нортон. п. 305.
  13. ^ Диксит, Авинаш К .; Налебафф, Барри Дж. (2008). Искусство стратегии: руководство теоретика игр к успеху в бизнесе и жизни. Нью-Йорк: Нортон. С. 309–310.
  14. ^ а б c d е Макафи, Р. Престон; Макмиллан, Джон (1987). «Аукционы и торги». Журнал экономической литературы. 25 (2): 699–738. JSTOR  2726107.
  15. ^ Уотсон, Джоэл (2013). «Глава 27: Лимоны, аукционы и сбор информации». Стратегия: введение в теорию игр, третье издание. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: W.W. Нортон и компания. С. 360–377. ISBN  978-0-393-91838-0.
  16. ^ Ли, Тонг; Перринь, Изабель; Вуонг, Куанг (2002). «Структурная оценка модели аффилированного частного аукциона стоимости». Экономический журнал RAND. 33 (2): 171–193. Дои:10.2307/3087429. JSTOR  3087429.
  17. ^ Милгром, П. и Р. Вебер (1982) "Теория аукционов и конкурентных торгов", Econometrica Vol. 50 № 5, с. 1089–1122.
  18. ^ Поскольку участники реальных аукционов редко бывают симметричными, ученые-прикладники начали исследовать аукционы с асимметричным распределением стоимости, начиная с конца 1980-х годов. Такие прикладные исследования часто зависели от алгоритмы численного решения для вычисления равновесия и установления его свойств. Престон Макафи и Джон Макмиллан (1989) смоделировали торги на получение государственного контракта, в которых распределение затрат отечественных фирм отличается от распределения затрат иностранных фирм ("Государственные закупки и международная торговля", Журнал международной экономики, Vol. 26, pp. 291–308.) Одной из публикаций, основанных на самых ранних численных исследованиях, является Dalkir, S., JW Logan, and RT Masson, «Слияния на симметричных и асимметричных некооперативных аукционных рынках: влияние на цены и эффективность», опубликовано в Vol. 18 из Международный журнал промышленной организации, (2000, стр. 383–413). Другие новаторские исследования включают Чанц, С., П. Крук и Л. Фроб, «Слияния на закрытых аукционах по сравнению с устными аукционами», опубликованные в Vol. 7 из Международный журнал экономики бизнеса (2000, стр. 201–213).
  19. ^ К. Верер (1999) "Асимметричные аукционы с применением совместных торгов и слияний", Международный журнал промышленной организации 17: 437–452
  20. ^ Этей, С. (2001) "Свойства единого пересечения и существование чистых стратегических равновесий в играх с неполной информацией", Econometrica Vol. 69 № 4, с. 861–890.
  21. ^ Рени, П. и С. Замир (2004) "О существовании монотонных равновесий чистой стратегии на асимметричных аукционах первой цены", Econometrica, Vol. 72 № 4, с. 1105–1125.
  22. ^ Лебрен, Бернар (1996) "Существование равновесия на аукционах первой цены", Экономическая теория, Vol. 7 № 3, с. 421–443.
  23. ^ Майерсон, Роджер Б. (1981). «Оптимальный дизайн аукциона». Математика исследования операций. 6 (1): 58–73. Дои:10.1287 / moor.6.1.58. ISSN  0364-765X.
  24. ^ Бюлоу, Джереми; Клемперер, Пол (1996). «Аукционы против переговоров». Американский экономический обзор. 86 (1): 180–194. ISSN  0002-8282. JSTOR  2118262.
  25. ^ «Журнал системы классификации экономической литературы». Американская экономическая ассоциация. Архивировано из оригинал на 2009-01-06. Получено 2008-06-25. (D: Микроэкономика, D4: Структура рынка и цены, D44: Аукционы)
  26. ^ Диксит, Авинаш К .; Налебафф, Барри Дж. (2008). Искусство стратегии: руководство теоретика игр к успеху в бизнесе и жизни. Нью-Йорк: Нортон. С. 322–326.
  27. ^ Бейли, Элизабет; Баумоль, Уильям (1984). «Дерегулирование и теория конкурентных рынков». Йельский журнал по регулированию: 111–137. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
  28. ^ Алекси, Корхонен; Джанне, Раджала. «Стриминговые войны: динамика конкуренции в индустрии потокового онлайн-видео» (PDF). Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

дальнейшее чтение

внешняя ссылка