Теорема Атьи – Ботта о неподвижной точке - Atiyah–Bott fixed-point theorem

Для использования в других целях см. Формула Атьи – Ботта.

В математика, то Теорема Атьи – Ботта о неподвижной точке, доказано Майкл Атья и Рауль Ботт в 1960-е годы - это общая форма Теорема Лефшеца о неподвижной точке за гладкие многообразия M, который использует эллиптический комплекс на M. Это система эллиптические дифференциальные операторы на векторные пакеты, обобщая комплекс де Рама построен из гладких дифференциальные формы которое фигурирует в исходной теореме Лефшеца о неподвижной точке.

Формулировка

Идея состоит в том, чтобы найти правильную замену Число Лефшеца, который в классическом результате представляет собой целое число, считающее правильный вклад фиксированная точка гладкого отображения

${displaystyle fcolon M o M.}$

Интуитивно, неподвижные точки - это точки пересечения график из ж с диагональю (график тождественного отображения) в ${displaystyle M imes M}$, и число Лефшеца тем самым становится номер перекрестка. Теорема Атьи – Ботта - это уравнение, в котором LHS должен быть результатом глобального топологического (гомологического) расчета, а RHS сумма местных вкладов в фиксированных точках ж.

Подсчет коразмерности в ${displaystyle M imes M}$, а трансверсальность предположение для графика ж а диагональ должна гарантировать, что набор фиксированных точек является нулевым. Предполагая M а закрытый коллектор должен гарантировать, что набор пересечений конечен, давая конечное суммирование как правую часть ожидаемой формулы. Необходимые дополнительные данные относятся к эллиптическому комплексу векторных расслоений. ${displaystyle E_{j}}$, а именно карта пакета

${displaystyle varphi _{j}colon f^{-1}(E_{j}) o E_{j}}$

для каждого j, такие, что результирующие отображения на разделы породить эндоморфизм из эллиптический комплекс ${displaystyle T}$. Такой эндоморфизм ${displaystyle T}$ имеет Число Лефшеца

${displaystyle L(T),}$

который по определению является переменная сумма своего следы на каждой градуированной части гомологии эллиптического комплекса.

Тогда форма теоремы такова:

${displaystyle L(T)=sum _{x}left(sum _{j}(-1)^{j}mathrm {trace} ,varphi _{j,x}ight)/delta (x).}$

Здесь след ${displaystyle varphi _{j,x}}$ означает след ${displaystyle varphi _{j}}$ в фиксированной точке Икс из ж, и ${displaystyle delta (x)}$ это детерминант эндоморфизма ${displaystyle I-Df}$ в Икс, с ${displaystyle Df}$ производная от ж (то, что это не обращается в нуль, является следствием трансверсальности). Внешнее суммирование ведется по неподвижным точкам Икс, а внутреннее суммирование по индексу j в эллиптическом комплексе.

Специализация теоремы Атьи – Ботта для комплекса де Рама гладких дифференциальных форм дает исходную формулу Лефшеца для неподвижной точки. Известное приложение теоремы Атьи – Ботта - простое доказательство Формула характера Вейля в теории Группы Ли.^{[требуется разъяснение ]}

История

Ранняя история этого результата связана с историей Теорема Атьи – Зингера об индексе. Был и другой ввод, о чем свидетельствует альтернативное название Теорема Вудса Холла о неподвижной точке который использовался в прошлом (имея в виду случай изолированных неподвижных точек).^[1] Встреча 1964 г. Woods Hole собрал разнообразную группу:

Эйхлер начал взаимодействие между теоремами о неподвижной точке и автоморфные формы. Шимура сыграли важную роль в этом развитии, объяснив это Ботту на конференции в Вудс-Хоул в 1964 году.^[2]

Как выразился Атия:^[3]

[на конференции] ... Ботт и я узнали о гипотезе Шимуры об обобщении формулы Лефшеца для голоморфных отображений. После долгих усилий мы убедились, что должна быть общая формула такого типа [...]; .

и они были приведены к версии для эллиптических комплексов.

В воспоминаниях Уильям Фултон, который также присутствовал на конференции, первым представил доказательство Жан-Луи Вердье.

Доказательства

В контексте алгебраическая геометрия, утверждение справедливо для гладких и собственных многообразий над алгебраически замкнутым полем. Этот вариант формулы Атьи – Ботта для неподвижной точки был доказан Кондырев и Приходько (2018) выражая обе стороны формулы как правильно выбранные категоричные следы.

Смотрите также

• Формула нижнего остатка

Примечания

1. «Отчет о встрече, посвященной 35-летию теоремы Атьи-Ботта». Океанографическое учреждение Вудс-Хоул. Архивировано из оригинал 30 апреля 2001 г.
2. «Работа Роберта Макферсона» (PDF).
3. Сборник статей III п.2.

Рекомендации

• Атья, Майкл Ф.; Ботт, Рауль (1966), «Формула Лефшеца для неподвижной точки для эллиптических дифференциальных операторов», Бюллетень Американского математического общества, 72 (2): 245–50, Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0. Это формулирует теорему о вычислении числа Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Атья, Майкл Ф.; Ботт, Рауль (1967), "Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: I", Анналы математики, Вторая серия, 86 (2): 374–407, Дои:10.2307/1970694, JSTOR  1970694 и Атья, Майкл Ф.; Ботт, Рауль (1968), "Формула неподвижной точки Лефшеца для эллиптических комплексов: II. Приложения", Анналы математики, Вторая серия, 88 (3): 451–491, Дои:10.2307/1970721, JSTOR  1970721. Это дает доказательства и некоторые приложения результатов, анонсированных в предыдущей статье.

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), "Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта", J. Inst. Математика. Жасси: 1–25, arXiv:1607.06345, Дои:10.1017 / S1474748018000543

внешняя ссылка

• Ту, Лоринг В. (21 декабря 2005 г.). "Теорема Атьи-Ботта о неподвижной точке". Жизнь и творчество Рауля Ботта.
• Ту, Лоринг В. (ноябрь 2015 г.). "О происхождении теоремы Вудс-Холла о неподвижной точке" (PDF). Уведомления Американского математического общества. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 1200–1206.