Категориальный след - Categorical trace

В математике категоричный след является обобщением след матрицы.

Определение

Трасса определяется в контексте симметричная моноидальная категория C, т.е. категория, снабженная подходящим понятием продукта ${\displaystyle \otimes }$. (Обозначения отражают, что произведение во многих случаях является разновидностью тензорного произведения.) Объект Икс в такой категории C называется двойственный если есть другой объект ${\displaystyle X^{\vee }}$ играя роль двойного объекта Икс. В этой ситуации след морфизма ${\displaystyle f:X\to X}$ определяется как композиция следующих морфизмов:${\displaystyle \mathrm {tr} (f):1\to X\otimes X^{\vee }{\stackrel {f\otimes id}{\to }}X\otimes X^{\vee }\to 1}$где 1 - моноидальная единица, а экстремальные морфизмы - это сооценка и оценка, которые являются частью определения дуализуемых объектов.^[1]

То же самое определение применяется, с большим эффектом, также, когда C является симметричной моноидальной ∞-категорией.

Примеры

Если C - категория векторных пространств над фиксированным полем k, дуализируемые объекты - это в точности конечномерные векторные пространства, а след в указанном выше смысле является морфизмом

${\displaystyle k\to k}$

которое есть умножение на след эндоморфизма ж в обычном смысле линейной алгебры. В этом смысле категорный след обобщает линейно-алгебраический след.

Если C ∞-категория цепные комплексы модулей (над фиксированным коммутативным кольцом р), дуализируемые объекты V в C точно идеальные комплексы. Трассировка в этой настройке фиксирует, например, Эйлерова характеристика, который представляет собой переменную сумму рангов его членов:

${\displaystyle \mathrm {tr} (id_{V})=\sum _{i}(-1)^{i}\operatorname {rank} V_{i}.}$^[2]

Дальнейшие приложения

Кондырев и Приходько (2018) использовали методы категориального следа для доказательства алгебро-геометрической версии Формула Атьи – Ботта для неподвижной точки, расширение Формула фиксированной точки Лефшеца.

Рекомендации

1. Понто и Шульман (2014), Def. 2.2)
2. Понто и Шульман (2014), Бывший. 3.3)

• Кондырев, Григорий; Приходько, Артем (2018), "Категорическое доказательство голоморфной формулы Атьи – Ботта", J. Inst. Математика. Жасси: 1–25, arXiv:1607.06345, Дои:10.1017 / S1474748018000543

• Понто, Кейт; Шульман, Майкл (2014), "Следы в симметричных моноидальных категориях", Expositiones Mathematicae, 32 (3): 248–273, arXiv:1107.6032, Bibcode:2011arXiv1107.6032P