Алгебраическая геометрия проективных пространств - Algebraic geometry of projective spaces

Проективное пространство играет центральную роль в алгебраическая геометрия. Цель этой статьи - дать определение понятию абстрактного алгебраическая геометрия и описать некоторые основные способы использования проективного пространства.

Однородные полиномиальные идеалы

Позволять k быть алгебраически замкнутый поле, и V быть конечномерный векторное пространство над k. В симметрическая алгебра из двойное векторное пространство V * называется кольцо многочленов на V и обозначается k[V]. Это естественно градуированная алгебра по степени полиномов.

Проективный Nullstellensatz заявляет, что для любого однородный идеал я который не содержит всех многочленов определенной степени (называемый неуместный идеал ), общее множество нулей всех многочленов из я (или же Nullstelle) нетривиально (то есть общее множество нулей содержит более одного элемента {0}), а точнее, идеал многочленов, обращающихся в нуль на этом множестве, совпадает с радикальный идеального я.

Это последнее утверждение лучше всего выражается формулой: для любого подходящего идеала я,

${\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}.}$

В частности, максимальные однородные релевантные идеалы k[V] взаимно однозначны с линиями, проходящими через начало координат V.

Построение проективных схем

Позволять V быть конечномерный векторное пространство через поле k. В схема над k определяется Проект (k[V]) называется проективизация из V. В проективный п-Космос на k является проективизацией векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}}$.

Определение пучка производится на база открытых наборов главных открытых множествD(п), куда п варьируется по набору однородных многочленов, задав сечения

${\displaystyle \Gamma (D(P),{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)})}$

быть кольцом ${\displaystyle (k[V]_{P})_{0}}$, компонента нулевой степени кольца, полученная локализация в п. Таким образом, его элементами являются рациональные функции с однородным числителем и некоторой степенью п в знаменателе с той же степенью, что и в числителе.

Ситуация наиболее ясна при ненулевом линейная форма φ. Ограничение структурного пучка открытым множеством D(φ) канонически отождествляется ^[1] с аффинная схема spec (k[ker φ]). Поскольку D(φ) для мужчин открытая крышка из Икс проективные схемы можно рассматривать как полученные склейкой через проективизацию изоморфных аффинных схем.

Можно отметить, что кольцо глобальных сечений этой схемы является полем, что означает, что схема не аффинна. Любые два открытых множества пересекаются нетривиально: т.е. схема несводимый. Когда поле k является алгебраически замкнутый, ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ на самом деле абстрактное разнообразие, что, кроме того, завершено. ср. Глоссарий теории схем

Делители и скручивающие связки

На самом деле, функтор Proj дает больше, чем простую схему: пучок градуированных модулей над структурным пучком определяется в процессе. Однородные компоненты этого градуированного пучка обозначаются ${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)}$, то Крутильные связки Serre. Все эти связки на самом деле линейные пакеты. По переписке между Делители Картье и линейных пучков, первая скручивающая связка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ эквивалентно гиперплоскостным дивизорам.

Поскольку кольцо многочленов является уникальная область факторизации, любой главный идеал из высота 1 это главный, что показывает, что любой дивизор Вейля линейно эквивалентен некоторой степени дивизора гиперплоскости. Это рассмотрение доказывает, что группа Пикара проективного пространства не имеет ранга 1. То есть ${\displaystyle \mathrm {Pic} \ \mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{n}=\mathbb {Z} }$, а изоморфизм задается степенью дивизоров.

Классификация векторных расслоений

В обратимые связки, или же линейные пакеты, на проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n},\,}$ за k а поле, находятся точно скручивание снопы ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m),\ m\in \mathbb {Z} ,}$ Итак Группа Пикард из ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}$ изоморфен ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Изоморфизм задается первый класс Черна.

Пространство локальных секций на открытом множестве ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {P} (V)}$ линейного пакета ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ - пространство однородной степени k регулярные функции на конусе в V связано с U. В частности, пространство глобальных разделов

${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ,{\mathcal {O}}(m))}$

исчезает, если т <0, и состоит из констант в k за т = 0 и однородных многочленов степени м за т> 0. (Следовательно, размерность ${\displaystyle {\binom {m+n}{m}}={\binom {m+n}{n}}}$).

В Теорема Биркгофа-Гротендика утверждает, что на проективной прямой любое векторное расслоение уникальным образом расщепляется как прямая сумма линейных расслоений.

Важные комплекты линий

В тавтологический пучок, который появляется, например, как исключительный делитель из взрыв из гладкая точка это связка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$. В канонический пакет

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {P} _{k}^{n}),\,}$ является ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-(n+1))}$.

Этот факт вытекает из фундаментального геометрического утверждения о проективных пространствах: Последовательность Эйлера.

Отрицательность канонического линейного расслоения делает проективные пространства первыми примерами Разновидности Фано, эквивалентно, их антиканоническое линейное расслоение обильно (на самом деле очень обильно). Их индекс (ср. Разновидности Фано ) дан кем-то ${\displaystyle \mathrm {Ind} (\mathbb {P} ^{n})=n+1}$, и по теореме Кобаяси-Очиаи проективные пространства характеризует среди разновидностей Фано по свойству

${\displaystyle \mathrm {Ind} (X)=\mathrm {dim} X+1}$.

Морфизмы в проективные схемы

Поскольку аффинные пространства могут быть вложены в проективные пространства, все аффинные разновидности могут быть вложены и в проективные пространства.

Любой выбор конечной системы не одновременно исчезающих глобальных сечений глобально созданный линейный пакет определяет морфизм в проективное пространство. Линейное расслоение, база которого может быть вложена в проективное пространство с помощью такого морфизма, называется очень обильный.

Группа симметрий проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}}$ группа проективизированных линейных автоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbf {k} )}$. Выбор морфизма в проективное пространство ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$ по модулю действие этой группы на самом деле эквивалент к выбору глобально генерируя п-размерный линейная система делителей на линейный пакет на Икс. Выбор проективного вложения Икс, по модулю проективные преобразования также эквивалентны выбору очень обширный линейный комплект на Икс.

Морфизм в проективное пространство ${\displaystyle j:X\to \mathbf {P} ^{n}}$ определяет глобально сгенерированный линейный пучок ${\displaystyle j^{*}{\mathcal {O}}(1)}$ и линейная система

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))\subset \Gamma (X,j^{*}{\mathcal {O}}(1)).}$

Если диапазон морфизма ${\displaystyle j}$ не содержится в делителе гиперплоскости, то откат является инъекцией и линейная система делителей

${\displaystyle j^{*}(\Gamma (\mathbf {P} ^{n},{\mathcal {O}}(1)))}$ это линейная система размеров п.

Пример: вложения Веронезе

Вложения Веронезе - это вложения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{N}}$ за ${\displaystyle N={\binom {n+d}{d}}-1}$

Увидеть отвечать на MathOverflow для применения вложения Веронезе к вычислению групп когомологий гладких проективных гиперповерхности (гладкие дивизоры).

Кривые в проективных пространствах

Как многообразия Фано проективные пространства линейчатые сорта. Теория пересечений кривых на проективной плоскости дает Теорема Безу.

Смотрите также

Общая алгебраическая геометрия

• Схема (математика)
• Проективное разнообразие
• Строительство проекта

Общая проективная геометрия

• Проективное пространство
• Проективная геометрия
• Однородный полином

Рекомендации

1. В координатах это соответствие имеет вид ${\displaystyle {\frac {P(X_{0},\ldots ,X_{n})}{X_{0}^{deg(P)}}}\mapsto P(1,X_{1},\ldots ,X_{n})}$

• Робин Хартшорн (1977). Алгебраическая геометрия. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90244-9.
• Лист упражнений^{[постоянная мертвая ссылка ]} (по-французски) на проективных пространствах, на страница Ива Ласло.