Аффинная дифференциальная геометрия - Affine differential geometry

Аффинная дифференциальная геометрия это тип дифференциальная геометрия в котором дифференциальные инварианты инвариантны относительно сохраняющих объем аффинные преобразования. Название аффинная дифференциальная геометрия следует из Кляйн с Программа Эрланген. Основное различие между аффинным и Риманов дифференциальная геометрия состоит в том, что в аффинном случае мы вводим объемные формы над многообразием вместо метрики.

Предварительные мероприятия

Здесь мы рассматриваем простейший случай, т.е. коллекторы из коразмерность один. Позволять M ⊂ р^п+1 быть п-мерное многообразие, и пусть ξ - векторное поле на $р п +1$ поперечный к $M$ такой, что Т_пр^п+1 = Т_пM ⊕ Диапазон (ξ) для всех п ∈ M, где ⊕ обозначает прямая сумма и охватить линейный пролет.

Для гладкого многообразия скажем N, пусть Ψ (N) обозначают модуль гладкой векторные поля над N. Позволять D : Ψ (р^п+1) × Ψ (р^п+1) → Ψ (р^п+1) быть стандартом ковариантная производная на р^п+1 куда D(Икс, Y) = D_ИксY.Мы можем разложить D_ИксY в компонент касательная к M и поперечный компонент, параллельно к ξ. Это дает уравнение Гаусс: D_ИксY = ∇_ИксY + час(Икс,Y) ξ, куда ∇: Ψ (M) × Ψ (M) → Ψ (M) индуцированный связи на M и час : Ψ (M) × Ψ (M) → р это билинейная форма. Обратите внимание, что ∇ и час зависят от выбора поперечного векторного поля ξ. Мы рассматриваем только те гиперповерхности для которого час является невырожденный. Это свойство гиперповерхности M и не зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.^[1] Если час невырожден, то мы говорим, что M невырожден. В случае кривых на плоскости невырожденные кривые - это кривые без флексии. В случае поверхностей в трехмерном пространстве невырожденными являются поверхности без параболические точки.

Мы также можем рассматривать производную ξ по касательному направлению, например Икс. Это количество, D_Иксξ, можно разложить на составляющую, касательную к M и поперечный компонент, параллельный ξ. Это дает Weingarten уравнение: D_Иксξ = -SX + τ (Икс) ξ. Тип- (1,1) -тензор S : Ψ (M) → Ψ (M) называется оператором аффинной формы, дифференциальная одноформа τ: Ψ (M) → р называется формой поперечной связи. Опять же, оба S и τ зависят от выбора поперечного векторного поля ξ.

Первая форма индуцированного объема

Позволять Ω: Ψ (р^п+1)^п+1 → р быть объемная форма определено на р^п+1. Мы можем вызвать форму объема на M данный ω: Ψ (M)^п → р данный ω (Икс₁,...,Икс_п): = Ω (Икс₁,...,Икс_п, ξ). Это естественное определение: в Евклидова дифференциальная геометрия где ξ - Евклидова единица нормальная то стандартный евклидов объем, охватываемый Икс₁,...,Икс_п всегда равно ω (Икс₁,...,Икс_п). Отметим, что ω зависит от выбора поперечного векторного поля ξ.

Вторая форма индуцированного объема

Для касательных векторов Икс₁,...,Икс_п позволять ЧАС := (час_{я, j}) быть п × п матрица данный час_{я, j} := час(Икс_я,Икс_j). Мы определяем форму второго тома на M данный ν: Ψ (M)^п → р, куда ν (Икс₁,...,Икс_п): = | det (H) |^¹⁄₂. Опять же, это естественное определение. Если M = р^п и час евклидово скалярное произведение тогда ν (Икс₁,...,Икс_п) всегда является стандартным евклидовым объемом, натянутым на векторы Икс₁,...,Икс_п.С час зависит от выбора поперечного векторного поля ξ, отсюда следует, что ν тоже.

Два природных условия

Мы ставим два естественных условия. Во-первых, индуцированная связность ∇ и индуцированная форма объема ω согласованы, т. Е. Ω ≡ 0. Это означает, что ∇_Иксω = 0 для всех Икс ∈ Ψ (M). Другими словами, если мы параллельный транспорт векторы Икс₁,...,Икс_п по некоторой кривой в M, относительно связности ∇, то объем, покрытый Икс₁,...,Икс_потносительно формы объема ω не меняется. Прямой расчет^[1] показывает, что ∇_Иксω = τ (Икс) ω и так ∇_Иксω = 0 для всех Икс ∈ Ψ (M) тогда и только тогда, когда τ ≡ 0, т. е. D_Иксξ ∈ Ψ (M) для всех Икс ∈ Ψ (M). Это означает, что производная ξ по касательной Икс, относительно D всегда дает, возможно, нулевой касательный вектор к M. Второе условие состоит в том, что две формы объема ω и ν совпадают, т. Е. ω ≡ ν.

Вывод

Это можно показать^[1] что существует с точностью до знака единственный выбор поперечного векторного поля ξ, для которого выполняются два условия ∇ω ≡ 0 и ω ≡ ν оба довольны. Эти два специальных поперечных векторных поля называются аффинными нормальными векторными полями или иногда называются Blaschke нормальные поля.^[2] Из его зависимости от формы объема для его определения мы видим, что аффинное нормальное векторное поле инвариантно относительно сохранения объема аффинные преобразования. Эти преобразования даются SL (п+1,р) ⋉ р^п+1, где SL (п+1,р) обозначает специальная линейная группа из (п+1) × (п+1) матрицы с вещественными элементами и определителем 1, а ⋉ обозначает полупрямой продукт. SL (п+1,р) ⋉ р^п+1 образует Группа Ли.

Аффинная нормальная линия

В аффинная нормальная линия в какой-то момент п ∈ M линия, проходящая через п и параллельно ξ.

Плоские кривые

Аффинная нормальная линия для кривой γ (т) = (т + 2т²,т²) в т = 0.

Аффинное векторное поле нормали для кривой на плоскости имеет красивую геометрическую интерпретацию.^[2] Позволять я ⊂ р быть открытый интервал и разреши γ: я → р² быть гладкий параметризация плоской кривой. Считаем, что γ (я) является невырожденной кривой (в смысле Номидзу и Сасаки^[1]), т.е. без точки перегиба. Рассмотрим точку п = γ (т₀) на плоской кривой. Поскольку γ (я) не имеет точек перегиба, то γ (т₀) не является точкой перегиба, поэтому кривая будет локально выпуклой,^[3] т.е. все точки γ (т) с т₀ - ε < т < т₀ + ε, при достаточно малых ε будет лежать по ту же сторону касательная линия к γ (я) при γ (т₀).

Рассмотрим касательную к γ (я) при γ (т₀), и рассмотрим близлежащие параллельные линии на стороне касательной, содержащей участок кривой п : = {γ (t) ∈ р² : т₀ - ε < т < т₀ + ε}. Для параллельных прямых, достаточно близких к касательной, они будут пересекаться п ровно в двух точках. На каждой параллельной линии отмечаем середина из отрезок соединяя эти две точки пересечения. Для каждой параллельной прямой мы получаем среднюю точку, и поэтому локус средних точек очерчивает кривую, начиная с п. Предельная касательная к геометрическому месту середин при приближении п - это в точности аффинная нормальная линия, т.е. линия, содержащая вектор аффинной нормали к γ (я) при γ (т₀). Обратите внимание, что это аффинная инвариантная конструкция, поскольку параллелизм и средние точки инвариантны относительно аффинных преобразований.

Рассмотрим парабола заданный параметризацией γ (т) = (т + 2т²,т²). Это имеет уравнение Икс² + 4у² − 4ху − у = 0. Касательная в точке γ (0) имеет уравнение у = 0 и поэтому параллельные прямые задаются у = k для достаточно малых k ≥ 0. Линия у = k пересекает кривую в Икс = 2k ± √k. Расположение средних точек задается {(2k,k) : k ≥ 0}. Они образуют отрезок прямой, и поэтому ограничивающая касательная линия к этому отрезку, когда мы стремимся к γ (0), - это просто прямая, содержащая этот отрезок, то есть прямая Икс = 2у. В этом случае аффинная нормальная линия к кривой в точке γ (0) имеет уравнение Икс = 2у. Фактически, прямой расчет показывает, что вектор аффинной нормали в точке γ (0), а именно ξ (0), задается формулой ξ (0) = 2^¹⁄₃·(2,1).^[4] На рисунке красная кривая - это кривая γ, черные линии - это касательная линия и некоторые соседние касательные линии, черные точки - это средние точки на отображаемых линиях, а синяя линия - геометрическое место средних точек.

Поверхности в 3-м пространстве

Аналогичный аналог существует для нахождения аффинной нормальной прямой в точке эллиптические точки гладких поверхностей в 3-м пространстве. На этот раз берутся плоскости, параллельные касательной. Для плоскостей, достаточно близких к касательной, они пересекаются с поверхностью, образуя выпуклые плоские кривые. Каждая выпуклая плоская кривая имеет центр масс. Геометрическое место центров масс очерчивают кривую в 3-м пространстве. Предельная касательная к этому геометрическому месту при приближении к исходной точке поверхности является аффинной нормальной линией, то есть линией, содержащей вектор аффинной нормали.