Аффинный грассманиан - Affine Grassmannian

Для разнообразия всех k-мерные аффинные подпространства конечномерного векторного пространства (гладкое конечномерное многообразие над k), видеть аффинный грассманиан (многообразие).

В математика, то аффинный грассманиан из алгебраическая группа грамм над полем k является инд-схема - копредел конечномерных схемы - которую можно рассматривать как разновидность флага для петлевой группы G (k ((t))) и который описывает теорию представлений Лэнглендс двойной группа ^Lграмм через то, что известно как геометрическое соответствие Сатаке.

Определение Gr через функтор точек

Позволять k - поле, и обозначим через ${\displaystyle k{\text{-}}\mathrm {Alg} }$ и ${\displaystyle \mathrm {Set} }$ категория коммутативных k-алгебры и категория множеств соответственно. Сквозь Лемма Йонеды, схема Икс над полем k определяется его функтор точек, который является функтором ${\displaystyle X:k{\text{-}}\mathrm {Alg} \to \mathrm {Set} }$ который берет А к набору Х (А) из А-точки Икс. Затем мы говорим, что этот функтор представимый по схеме Икс. Аффинный грассманиан является функтором из k-алгебры к множествам, которые сами по себе не представимы, но которые имеют фильтрация представимыми функторами. Таким образом, хотя это не схема, ее можно рассматривать как объединение схем, и этого достаточно, чтобы с пользой применить геометрические методы для ее изучения.

Позволять грамм быть алгебраической группой над k. В аффинный грассманиан Gr_грамм - функтор, который ставит в соответствие k-алгебра А множество классов изоморфизма пар (E, φ), куда E это главное однородное пространство за грамм по спецификации А[[т]] и φ - изоморфизм, определенный над Spec А((т)), из E с тривиальным грамм-пучок грамм × Спецификация А((т)). Посредством Теорема Бовиля – Ласло, также можно указать эти данные, установив алгебраическая кривая Икс над k, а k-точка Икс на Икс, и принимая E быть грамм-бандл на Икс_А и φ тривиализация на (Икс − Икс)_А. Когда грамм это восстановительная группа, Гр_грамм на самом деле является инд-проективным, т. е. индуктивным пределом проективных схем.

Определение как смежное пространство

Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {K}}=k((t))}$ Поле формальная серия Laurent над k, и по ${\displaystyle {\mathcal {O}}=k[[t]]}$ кольцо формального степенного ряда над k. Выбрав тривиализацию E по всей спецификации ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, набор k-точки Gr_грамм отождествляется с пространством смежных классов ${\displaystyle G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})}$.

Рекомендации

• Александр Шмитт (11 августа 2010 г.). Многообразия аффинных флагов и главные расслоения. Springer. С. 3–6. ISBN  978-3-0346-0287-7. Получено 1 ноября 2012.