Основная теорема Зарискиса - Zariskis main theorem

В алгебраической геометрии Основная теорема Зарисского, доказано Оскар Зариски (1943 ), является утверждением о структуре бирациональных морфизмов, примерно утверждающим, что в любой нормальной точке многообразия существует только одна ветвь. Это частный случай Теорема Зарисского о связности когда две разновидности бирациональны.

Основная теорема Зарисского может быть сформулирована несколькими способами, которые на первый взгляд кажутся совершенно разными, но на самом деле они глубоко связаны. Некоторые из вариаций, которые были названы основной теоремой Зарисского, следующие:

Полное преобразование нормальной фундаментальной точки бирационального отображения имеет положительную размерность. По сути, это первоначальная форма Зарисского его основной теоремы.
Бирациональный морфизм с конечными слоями к нормальному многообразию - это изоморфизм открытого подмножества.
Полный преобразование нормальной точки при собственном бирациональном морфизме связно.
Близкая теорема Гротендика описывает структуру квазиконечные морфизмы из схемы, откуда следует исходная основная теорема Зарисского.
Несколько результатов по коммутативной алгебре, из которых следует геометрическая форма основной теоремы Зарисского.
Нормальное локальное кольцо - это одноцветный, который является разновидностью утверждения о связности преобразования нормальной точки.
Локальное кольцо нормальной точки многообразия есть аналитически нормальный. Это сильная форма утверждения, что он одноранговый.

Название «Основная теорема Зарисского» происходит от того факта, что Зариский назвал ее «ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМОЙ» у Зарисского (1943 ).

Основная теорема Зарисского для бирациональных морфизмов

Позволять ж - бирациональное отображение алгебраических многообразий V и W. Напомним, что ж определяется замкнутым подмногообразием ${ displaystyle Gamma subset V times W}$ («график» ж) такая, что проекция на первый фактор ${ displaystyle p_ {1}}$ индуцирует изоморфизм между открытыми ${ Displaystyle U подмножество V}$ и ${ displaystyle p_ {1} ^ {- 1} (U)}$ , и такой, что ${ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}$ является изоморфизмом на U тоже. Дополнение U в V называется основное разнообразие или же локус неопределенности, и изображение подмножества V под ${ displaystyle p_ {2} circ p_ {1} ^ {- 1}}$ называется полное преобразование этого.

Исходное утверждение теоремы в (Зарисский 1943, п. 522) гласит:

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА: Если W является неприводимым фундаментальным многообразием на V бирационального соответствия Т между V и V' и если Т не имеет фундаментальных элементов на V′ Тогда - в предположении, что V локально нормально в W - каждая неприводимая составляющая преобразования Т[W] имеет более высокую размерность, чем W.

Здесь Т по сути морфизм от V' к V это бирационально, W является подмногообразием множества, в котором обратное к Т не определено, локальное кольцо которого нормальное, и преобразование Т[W] означает прообраз W под морфизмом из V' к V.

Вот несколько вариантов этой теоремы, сформулированных с использованием более поздней терминологии. Хартсхорн (1977, Следствие III.11.4) называет следующее утверждение связности «Основной теоремой Зарисского»:

Если ж:Икс→Y является бирациональным проективным морфизмом между нётеровыми интегральными схемами, то прообраз каждой нормальной точки Y подключен.

Следующее его следствие (теорема V.5.2,loc.cit.) также идет под этим именем:

Если ж:Икс→Y является бирациональным преобразованием проективных многообразий с Y нормальным, то полное преобразование фундаментальной точки ж соединен и имеет размер не менее 1.

Примеры

Предположим, что V является гладким многообразием размерности больше единицы и V′ Дается взорванием точки W на V. потом V нормально в W, а компонент трансформации W - проективное пространство, размерность которого больше, чем W как было предсказано Зариским в первоначальной форме его основной теоремы.
В предыдущем примере преобразование W был несводимым. Легко найти примеры, в которых полное преобразование можно привести к сокращению других точек преобразования. Например, если V′ Дается взорванием точки W на V а затем взорвав еще одну точку этого преобразования, общее преобразование W имеет 2 неприводимых компонента, встречающихся в одной точке. Как и предсказывается формой основной теоремы Хартсхорна, полное преобразование связно и имеет размерность не менее 1.
Например, где W не является нормальным, и заключение основной теоремы неверно, возьмем V′ Быть гладкой разновидностью, и возьмем V быть заданным путем определения двух различных точек на V', и возьми W быть изображением этих двух точек. потом W не является нормальным, и преобразование W состоит из двух точек, которые не связаны между собой и не имеют положительной размерности.

Основная теорема Зарисского для квазиконечных морфизмов

В EGA III Гротендик называет следующее утверждение, не содержащее связности, «Основной теоремой» Зарисского. Гротендик (1961 г., Теорема 4.4.3):

Если ж:Икс→Y является квазипроективным морфизмом нётеровых схем, то множество изолированных в их слое точек открыто в Икс. Более того, индуцированная схема этого множества изоморфна открытому подмножеству схемы, конечному над Y.

В EGA IV Гротендик заметил, что последнее утверждение можно вывести из более общей теоремы о структуре квазиконечные морфизмы, а последнюю часто называют «основной теоремой Зарисского в форме Гротендика». Хорошо известно, что открытые погружения и конечные морфизмы квазиконечны. Гротендик доказал, что в предположении отделимости все квазиконечные морфизмы являются композициями таких Гротендик (1966 г., Теорема 8.12.6):

если Y это квазикомпактный разделенная схема и

{ displaystyle f: от X до Y}

это отделенный, квазиконечный, конечно представленный морфизм, то существует факторизация в

{ Displaystyle от X до Z до Y}

, где первое отображение - открытое погружение, а второе - конечное.

Связь между этой теоремой о квазиконечных морфизмах и теоремой 4.4.3 из EGA III, процитированной выше, заключается в том, что если ж:Икс→Y является проективным морфизмом многообразий, то множество точек, изолированных в их слое, квазиконечное над Y. Тогда применяется структурная теорема для квазиконечных морфизмов, которая дает желаемый результат.

Основная теорема Зарисского для коммутативных колец

Зарисский (1949) переформулировал свою основную теорему в терминах коммутативной алгебры как утверждение о локальных кольцах. Гротендик (1961 г., Теорема 4.4.7) обобщил формулировку Зариского следующим образом:

Если B является алгеброй конечного типа над локальным нётеровым кольцом А, и п является максимальным идеалом B что минимально среди идеалов B чей прообраз в А максимальный идеал м из А, то существует конечная А-алгебра А′ С максимальным идеалом м′ (Чей прообраз в А является м) такая, что локализация B_п изоморфен А-алгебра А′_м′.

Если вдобавок А и B являются целыми и имеют одно и то же поле дробей, а А интегрально замкнуто, то из этой теоремы следует, что А и B равны. По сути, это формулировка Зарисским своей основной теоремы в терминах коммутативных колец.

Основная теорема Зарисского: топологическая форма

Топологическая версия основной теоремы Зарисского гласит, что если Икс является (замкнутой) точкой нормального комплексного многообразия, это одноцветный; другими словами, есть сколь угодно малые окрестности U из Икс такое, что множество неособых точек U подключен (Мамфорд 1999, III.9).

Свойство быть нормальным сильнее, чем свойство быть одноветвленным: например, куспид плоской кривой является одножабельным, но не нормальным.

Основная теорема Зарисского: форма степенного ряда

Формальная версия основной теоремы Зарисского степенного ряда гласит, что если Икс нормальная точка многообразия, то это аналитически нормальный; другими словами, завершение локального кольца в Икс - нормальная область целостности (Мамфорд 1999, III.9).

Смотрите также

внешняя ссылка

Есть ли интуитивная причина основной теоремы Зарисского?