Гипотеза Вильямсона - Williamson conjecture

В комбинаторной математике, в частности в комбинаторная теория дизайна и комбинаторная теория матриц в Гипотеза Вильямсона состоит в том, что матрицы Вильямсона порядка ${ displaystyle n}$ существуют для всех положительных целых чисел ${ displaystyle n}$ .Четыре симметричный и циркулирующий матрицы ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ известны как Матрицы Вильямсона если их записи ${ displaystyle pm 1}$ и они удовлетворяют отношения

{ displaystyle A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2} + D ^ {2} = 4nI}

куда ${ displaystyle I}$ это единичная матрица порядка ${ displaystyle n}$ . Джон Уильямсон показал, что если ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ матрицы Вильямсона, то

{ displaystyle { begin {bmatrix} A & B & C & D - B & A & -D & C - C & D & A & -B - D & -C & B & A end {bmatrix}}}

является Матрица Адамара порядка ${ displaystyle 4n}$ .^[1]Когда-то считалось вероятным, что матрицы Вильямсона существуют для всех порядков. ${ displaystyle n}$ и что структура матриц Вильямсона может обеспечить путь к доказательству гипотезы Адамара о том, что матрицы Адамара существуют для всех порядков ${ displaystyle 4n}$ .^[2]Однако в 1993 году Драгомир Ž провел исчерпывающий компьютерный поиск, доказав ложность гипотезы Уильямсона. Джокович, который показал, что матрицы Вильямсона не существуют в порядке ${ displaystyle n = 35}$ .^[3] В 2008 г. были дополнительно открыты контрпримеры 47, 53 и 59.^[4]

Рекомендации

^ Уильямсон, Джон (1944). «Детерминантная теорема Адамара и сумма четырех квадратов». Математический журнал герцога. 11 (1): 65–81. Дои:10.1215 / S0012-7094-44-01108-7. МИСТЕР 0009590.
^ Соломон, Голомб В .; Баумерт, Леонард Д. (1963). «Поиск матриц Адамара». Американский математический ежемесячный журнал. 70 (1): 12–17. Дои:10.2307/2312777. JSTOR 2312777. МИСТЕР 0146195.
^ Джокович, Драгомир Э. (1993). «Матрицы Вильямсона порядка ${ displaystyle 4n}$ за ${ displaystyle n = 33,35,39}$ ". Дискретная математика. 115 (1): 267–271. Дои:10.1016 / 0012-365X (93) 90495-F. МИСТЕР 1217635.
^ Holzmann, W. H .; Kharaghani, H .; Тайфэ-Резайе, Б. (2008). «Матрицы Вильямсона до 59 порядка». Конструкции, коды и криптография. 46 (3): 343–352. Дои:10.1007 / s10623-007-9163-5. МИСТЕР 2372843.

[1] Уильямсон, Джон (1944). «Детерминантная теорема Адамара и сумма четырех квадратов». Математический журнал герцога. 11 (1): 65–81. Дои:10.1215 / S0012-7094-44-01108-7. МИСТЕР 0009590.

[2] Соломон, Голомб В .; Баумерт, Леонард Д. (1963). «Поиск матриц Адамара». Американский математический ежемесячный журнал. 70 (1): 12–17. Дои:10.2307/2312777. JSTOR 2312777. МИСТЕР 0146195.

[3] Джокович, Драгомир Э. (1993). «Матрицы Вильямсона порядка ${ displaystyle 4n}$ за ${ displaystyle n = 33,35,39}$ ". Дискретная математика. 115 (1): 267–271. Дои:10.1016 / 0012-365X (93) 90495-F. МИСТЕР 1217635.

[4] Holzmann, W. H .; Kharaghani, H .; Тайфэ-Резайе, Б. (2008). «Матрицы Вильямсона до 59 порядка». Конструкции, коды и криптография. 46 (3): 343–352. Дои:10.1007 / s10623-007-9163-5. МИСТЕР 2372843.

[1]

[2]

[3]

[4]