Теорема Вигнера - Wigners theorem

E.P. Вигнер (1902–1995), ForMemRS, первым доказал теорему, носящую его имя. Это был ключевой шаг к современной схеме классификации типов частиц, согласно которой типы частиц частично характеризуются какими представление из Группа Лоренца под которым он трансформируется. Группа Лоренца - это группа симметрии любой релятивистской квантовой теории поля. Ранние работы Вигнера заложили основу для того, что многие физики назвали болезнь группы^[1] в квантовой механике - или как Герман Вейль (со-ответственный) помещает это в свой Теория групп и квантовая механика (предисловие ко 2-му изд.), "Ходили слухи, что групповой вредитель постепенно исключается из квантовой механики. Это, конечно, неправда ... "

Теорема Вигнера, доказано Юджин Вигнер в 1931 г.,^[2] краеугольный камень математическая формулировка квантовой механики. Теорема определяет, как физические симметрии такие как вращения, переводы и CPT представлены на Гильбертово пространство из состояния.

Согласно теореме любой преобразование симметрии из лучевое пространство представлен унитарный или же антиунитарный преобразование гильбертова пространства. Представление группа симметрии в гильбертовом пространстве является либо обычным представление или проективное представление.

Лучи и пространство лучей

Это постулат квантовой механики что векторы в Гильбертово пространство скалярные ненулевые кратные друг другу представляют собой одно и то же чистое состояние. А луч принадлежащий вектору ${\displaystyle \Psi \in {\mathcal {H}}\setminus \{0\}}$ это набор^[3][4]

${\displaystyle {\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}}$

а луч, векторы которого имеют единичную норму, называется единичный луч. Если Φ ∈ Ψ, тогда Φ это представитель из Ψ. Между физическими чистыми состояниями и единичными лучами существует взаимно однозначное соответствие.^{[nb 1]} Пространство всех лучей называется лучевое пространство.

Формально,^[5] если ЧАС комплексное гильбертово пространство, то пусть B быть подмножеством

${\displaystyle B=\{\Psi \in {\mathcal {H}}:\lVert \Psi \rVert =1\}}$

векторов с единичной нормой. Если ЧАС конечномерно с комплексной размерностью N, тогда B (как многообразие ) имеет реальное измерение 2N − 1. Определите отношение ≅ на B к

${\displaystyle \Psi \cong \Phi \Leftrightarrow \Psi =e^{i\alpha }\Phi ,\quad \alpha \in \mathbb {R} .}$

Отношение ≅ является отношение эквивалентности на съемочной площадке B. Пространство единичных лучей, S, определяется как множество классов эквивалентности

${\displaystyle S=B/{\cong }.}$

Если N конечно, S имеет реальное измерение 2N − 2 следовательно, сложное измерение N − 1. Аналогично для этих целей можно определить ≈ on ЧАС к

${\displaystyle \Psi \approx \Phi \Leftrightarrow \Psi =z\Phi ,\quad z\in \mathbb {C} \smallsetminus \{0\},}$

куда ℂ {0} - множество ненулевых комплексных чисел, и положим

${\displaystyle S^{\prime }={\mathcal {H}}\smallsetminus \emptyset /{\approx }.}$

Это определение проясняет, что пространство единичных лучей является проективное гильбертово пространство. Также можно пропустить нормализацию и взять лучевое пространство в качестве^[6]

${\displaystyle R={\mathcal {H}}\smallsetminus \emptyset /{\cong },}$

где ≅ теперь определено на всех ЧАС по той же формуле. Настоящее измерение р является 2N − 1 если N конечно. Такой подход используется в дальнейшем. Разница между р и S довольно тривиально, и переход между ними осуществляется умножением лучей на ненулевое настоящий число, определяемое как луч, генерируемый любым представителем луча, умноженный на действительное число.

Иногда бывает неудобно работать с лучевым пространством. Это, например, не векторное пространство с четко определенными линейными комбинациями лучей. Но преобразование физической системы - это преобразование состояний, следовательно, математически преобразование лучевого пространства. В квантовой механике преобразование физической системы порождает биективный преобразование единичного луча Т единичного лучевого пространства,

${\displaystyle T:S\ni {\underline {\Psi }}\subset {\mathcal {H}}\mapsto S'\ni {\underline {\Psi '}}=T{\underline {\Psi }}\subset {\mathcal {H}}'.}$

Таким образом, набор всех преобразований единичного луча группа перестановок на S. Не все эти преобразования допустимы как преобразования симметрии, которые будут описаны ниже. Преобразование единичного луча может быть расширено до р посредством умножения на действительные числа, описанного выше согласно^[7]

${\displaystyle T:R\rightarrow R';T\left(\lambda {\underline {\Psi }}\right)\equiv \lambda T{\underline {\Psi }},\quad {\underline {\Psi }}\in S,\lambda \in \mathbb {R} .}$

Чтобы сохранить единообразие обозначений, назовите это преобразование лучей. Это терминологическое различие не проводится в литературе, но здесь необходимо, поскольку рассматриваются обе возможности, в то время как в литературе выбирается одна возможность.

Преобразования симметрии

Грубо говоря, преобразование симметрии - это изменение, при котором «ничего не происходит».^[8] или "изменение нашего взгляда"^[9] это не меняет результатов возможных экспериментов. Например, перевод системы в однородный окружающая среда не должна качественно влиять на результаты экспериментов, проводимых над системой. Точно так же для вращения системы в изотропный среда. Это становится еще яснее, если учесть математически эквивалентную пассивные преобразования, т.е. просто меняем координаты и пусть система будет. Обычно гильбертовы пространства области и значений совпадают. Исключением могло бы быть (в нерелятивистской теории) гильбертово пространство электронных состояний, которое подвергается зарядовое сопряжение трансформация. В этом случае электронные состояния отображаются в гильбертово пространство позитронных состояний и наоборот. Чтобы сделать это точным, введите лучевой продукт,

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}=\left|\left(\Psi ,\Phi \right)\right|,}$

куда (,) гильбертово пространство внутренний продукт, и Ψ, Φ являются нормализованными элементами этого пространства. Сюръективное преобразование луча Т: р → Р' называется преобразование симметрии если^[10]

${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall \Psi ,\Phi \in {\mathcal {H}}.}$

Его также можно определить в единицах пространства лучей; т.е. Т: S → S ' без других изменений.^[11][12] В этом случае его иногда называют Автоморфизм Вигнера. Затем его можно расширить до р посредством умножения на действительные числа, как описано ранее. В частности, единичные лучи переводятся в единичные лучи. Значение этого определения в том, что вероятности перехода сохраняются. В частности Родившееся правило, еще один постулат квантовой механики, будет предсказывать одни и те же вероятности в преобразованных и нетрансформированных системах,

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|(\Psi ,\Phi )|^{2}=\left[{\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right]^{2}=\left[T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right]^{2}=\left|\left(\Psi ',\Phi '\right)\right|^{2}=P\left(\Psi '\rightarrow \Phi '\right),\quad \Psi '\in T{\underline {\Psi }},\Phi '\in T{\underline {\Phi }}.}$

Из определений ясно, что это не зависит от выбранных представителей лучей.

Группы симметрии

Некоторые факты о преобразованиях симметрии, которые можно проверить с помощью определения:

• Произведение двух преобразований симметрии, то есть двух преобразований симметрии, применяемых последовательно, является преобразованием симметрии.
• Любое преобразование симметрии имеет обратное.
• Преобразование идентичности - это преобразование симметрии.
• Умножение преобразований симметрии ассоциативно.

Таким образом, набор преобразований симметрии образует группа, то группа симметрии системы. Некоторые важные часто встречающиеся подгруппы в группе симметрии системы являются реализации из

• В симметричная группа со своими подгруппами. Это важно при обмене метками частиц.
• В Группа Пуанкаре. Он кодирует фундаментальные симметрии пространство-время.
• Группы внутренней симметрии типа SU (2) и SU (3). Они описывают так называемые внутренние симметрии, подобно изоспин и цветной заряд свойственны квантово-механическим системам.

Эти группы также называются группами симметрии системы.

Утверждение теоремы Вигнера

Предварительные мероприятия

Для формулировки теоремы необходимы некоторые предварительные определения. Преобразование U гильбертова пространства унитарный если

${\displaystyle (U\Psi ,U\Phi )=(\Psi ,\Phi ),}$

и преобразование А является антиунитарный если

${\displaystyle (A\Psi ,A\Phi )=(\Psi ,\Phi )^{*}=(\Phi ,\Psi ).}$

Унитарный оператор автоматически линейный. Точно так же антиунитарная трансформация неизбежна. антилинейный.^{[nb 2]} Оба варианта действительно линейны и аддитивны.

Учитывая унитарное преобразование U гильбертова пространства, определим

${\displaystyle T:{\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi \mid \alpha \in \mathbb {R} \right\}\mapsto {\underline {\Psi '}}=\left\{e^{i\beta }U\Psi \mid \beta \in \mathbb {R} \right\}.}$

Это преобразование симметрии, поскольку

${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi '}}\cdot {\underline {\Phi '}}=\left|\left(e^{i\alpha }U\Psi ,e^{i\beta }U\Phi \right)\right|=|(\Psi ,\Phi )|={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$

Таким же образом антиунитарное преобразование гильбертова пространства индуцирует преобразование симметрии. Один говорит, что преобразование U гильбертова пространства совместимый с преобразованием Т лучевого пространства, если для всех Ψ,^[11]

${\displaystyle T{\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }U\Psi \mid \alpha \in \mathbb {R} \right\},}$

или эквивалентно

${\displaystyle U\Psi \in T{\underline {\Psi }}.}$

Преобразования гильбертова пространства с помощью унитарного линейного преобразования или антиунитарного антилинейного оператора, очевидно, совместимы с преобразованиями или пространством лучей, которые они индуцируют, как описано.

Заявление

Теорема Вигнера утверждает обратное вышесказанному:^[13]

Теорема Вигнера (1931 г.): Если ЧАС и K являются гильбертовыми пространствами и если

${\displaystyle T:{\underline {\Psi }}\subset {\mathcal {H}}\mapsto {\underline {\Psi '}}\subset {\mathcal {K}}}$

является преобразованием симметрии, то существует преобразование V:ЧАС → K который совместим с Т и такой, что V является либо унитарным, либо антиунитарным, если тусклый ЧАС ≥ 2. Если тусклый ЧАС = 1 существует унитарное преобразование U:ЧАС → K и антиунитарное преобразование А:ЧАС → K, оба совместимы с Т.

Доказательства можно найти у Вигнера (1931, 1959 ), Баргманн (1964) и Вайнберг (2002).

Антиунитарные и антилинейные преобразования менее заметны в физике. Все они связаны с изменением направления течения времени.^[14]

Представления и проективные представления

Преобразование, совместимое с преобразованием симметрии, не уникально. Одно из них (аддитивные преобразования включают как линейные, так и антилинейные преобразования).^[15][16]

Теорема: Если U и V два аддитивных преобразования ЧАС на K, оба совместимы с преобразованием лучей Т с тусклый ЧАС ≥ 2, тогда

${\displaystyle V=Ue^{i\alpha },\alpha \in \mathbb {R} .}$

Смысл этой теоремы в том, что она определяет степень единственности представления на ЧАС. На первый взгляд, можно подумать, что

${\displaystyle Vh=Ue^{i\alpha (h)}h,\alpha \in \mathbb {R} ,h\in {\mathcal {H}}\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (h){\text{ is const.}})}$

допустимо, с α (час) ≠ α (k) за ⟨H | k⟩ = 0, но согласно теореме это не так.^{[№ 3]} Если грамм является группой симметрии (в этом последнем смысле вкладывается как подгруппа группы симметрии системы, действующей в пространстве лучей), и если ж, грамм, час ∈ грамм с фг = час, тогда

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

где Т являются лучевыми преобразованиями. Из последней теоремы для совместимых представителей имеем U,

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

куда ω(ж, грамм) - фазовый фактор.^{[№ 4]}

Функция ω называется 2-коцикл или же Множитель Шура. Карта U:грамм → GL (V) удовлетворяющий приведенному выше соотношению для некоторого векторного пространства V называется проективное представление или лучевое представление. Если ω(ж, грамм) = 1, то он называется представление.

Следует отметить, что терминология математики и физики различается. В связанной статье термин проективное представление имеет немного другое значение, но термин, представленный здесь, входит как ингредиент, и математика сама по себе, конечно, та же самая. Если реализация группы симметрии, грамм → Т(грамм), задается в терминах действия на пространстве единичных лучей S = PH, то это проективное представление грамм → PGL (ЧАС) в математическом смысле, а его представителем в гильбертовом пространстве является проективное представление грамм → GL (ЧАС) в физическом смысле.

Применяя последнее соотношение (несколько раз) к продукту фгх и апеллируя к известной ассоциативности умножения операторов на ЧАС, можно найти

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

Они также удовлетворяют

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\\\end{aligned}}}$

После переопределения фаз,

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

что допускается последней теоремой, находим^[17][18]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

где количество, обозначенное шляпой, определяется как

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

Полезность фазовой свободы

Следующие довольно технические теоремы и многие другие можно найти с доступными доказательствами в Баргманн (1954).

Свобода выбора фаз может использоваться для упрощения фазовых коэффициентов. Для некоторых групп фазу можно полностью исключить.

• Теорема: если грамм полупросто и односвязно, то ω(грамм, час) = 1 возможно.^[19]

В случае Группа Лоренца и его подгруппа группа вращения SO (3), фазы могут быть выбраны для проективных представлений так, чтобы ω(грамм, час) = ± 1. Для их соответствующих универсальные накрывающие группы, SL (2, С) и Отжим (3), согласно теореме возможно иметь ω(грамм, час) = 1, т.е. они являются собственными представлениями.

Изучение переопределения фаз предполагает: групповые когомологии. Две функции, связанные как версия со шляпой и без нее. ω выше, как говорят, когомологичный. Они принадлежат к одному второй класс когомологий, т.е. они представлены одним и тем же элементом в ЧАС²(грамм), то вторая группа когомологий из грамм. Если элемент ЧАС²(грамм) содержит тривиальную функцию ω = 0, то говорят, что это банальный.^[18] Тему можно изучить на уровне Алгебры Ли и Когомологии алгебры Ли также.^[20][21]

Предполагая проективное представление грамм → Т(грамм) слабо непрерывна, можно сформулировать две соответствующие теоремы. Непосредственным следствием (слабой) непрерывности является то, что компонент идентичности представлен унитарными операторами.^{[№ 5]}

• Теорема: (Wigner 1939). Фазовую свободу можно использовать так, чтобы в некоторой окрестности тождества отображение грамм → U(грамм) сильно непрерывно.^[22]
• Теорема (Баргманн). В достаточно малой окрестности точки e выбор ω(грамм₁, грамм₂) ≡ 1 возможно для полупростых групп Ли (таких как ТАК(п), SO (3,1) и аффинные линейные группы (в частности, группа Пуанкаре). Точнее, это как раз тот случай, когда вторая группа когомологий ЧАС²(грамм, ℝ) алгебры Ли грамм из грамм тривиально.^[22]

Смотрите также

• Физика элементарных частиц и теория представлений

Замечания

1. Здесь возможность правила суперотбора игнорируется. Может случиться так, что система не может быть подготовлена ​​в определенных состояниях. Например, обычно считается невозможным суперпозиция состояний с разным спином. Аналогичным образом, состояния, являющиеся суперпозициями состояний с разным зарядом, считаются невозможными. Незначительные осложнения, связанные с этими проблемами, решаются в Боголюбов, Логунов и Тодоров (1975)
2. Бёрле и де Керф (1999, п. 342) Это утверждается, но не доказывается.
3. Здесь есть исключение. Если действует правило суперотбора, то фаза май зависит от того, в каком секторе ЧАС час проживает, см. Вайнберг 2002, п. 53
4. Снова есть исключение. Если действует правило суперотбора, то фаза май зависит от того, в каком секторе ЧАС час находится на котором действуют операторы, см. Вайнберг 2002, п. 53
5. Это делается правдоподобным следующим образом. В открытой окрестности в окрестности единицы все операторы могут быть выражены в виде квадратов. Независимо от того, является ли оператор унитарным или антиунитарным, его квадрат унитарен. Следовательно, все они унитарны в достаточно малой окрестности. Такое соседство порождает идентичность.

Примечания

1. Зейтц, Фогт и Вайнберг 2000
2. Вигнер 1931, стр. 251–254 (на немецком языке),
   Вигнер 1959, pp. 233–236 (английский перевод).
3. Вайнберг 2002, п. 49
4. Bäuerle & de Kerf 1999, п. 341 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBäuerlede_Kerf1999 (помощь)
5. Саймон и др. 2008 г.
6. Этот подход используется в Баргманн 1964, который служит основой для схемы доказательства, которая будет приведена ниже.
7. Bauerle & de Kerf 1999, п. 341 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBauerlede_Kerf1999 (помощь) определяет общие преобразования лучей на р для начала, что означает, что он не обязательно биективен на S (т.е. не обязательно с сохранением нормы). Это не важно, так как в любом случае интерес представляют только преобразования симметрии.
8. de Kerf & Bäuerle 1999 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_KerfBäuerle1999 (помощь)
9. Вайнберг 2002, п. 50
10. де Керф и Ван Грезен 1999, п. 342 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_KerfVan_Groesen1999 (помощь)
11. Баргманн 1964
12. Вигнер 1931
13. де Керф и Ван Грезен 1999, п. 343 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_KerfVan_Groesen1999 (помощь)
14. Вайнберг 2002, п. 51
15. Это подробно доказано в Баргманн 1964.
16. де Керф и Ван Грезен 1999, п. 344 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_KerfVan_Groesen1999 (помощь) Это заявлено, но не доказано.
17. де Керф и Ван Грезен 1999, п. 346 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_KerfVan_Groesen1999 (помощь) В этой формуле в книге есть ошибка.
18. Вайнберг 2002, п. 82
19. Вайнберг 2002, Приложение B, Глава 2
20. Bäurle & de Kerf 1999, стр. 347–349
21. Вайнберг 2002, Раздел 2.7.
22. Штрауманн 2014

Рекомендации

• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анна. математики. 59 (1): 1–46. Дои:10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Баргманн, В. (1964). «Заметка о теореме Вигнера об операциях симметрии». Журнал математической физики. 5 (7): 862–868. Bibcode:1964JMP ..... 5..862B. Дои:10.1063/1.1704188.
• Боголюбов, Н.; Логунов, А.А .; Тодоров, И. Т. (1975). Введение в аксиоматическую квантовую теорию поля. Серия монографий по математической физике. 18. Перевод на английский язык Стефана А. Фуллинга и Людмилы Г. Поповой. Нью-Йорк: Бенджамин. КАК В  B000IM4HLS.
• Bäurle, C.G.A .; де Керф, Э.А. (1999). E.A. Ван Грёзен; Э. М. Де Ягер (ред.). Алгебры Ли. Часть 1: Конечные и бесконечномерные алгебры Ли и их приложения в физике.. Исследования по математической физике. 1 (2-е изд.). Амстердам: Северная Голландия. ISBN  0 444 88776 8.
• Зейтц, Ф .; Vogt, E .; Вайнберг, А. М. (2000). "Юджин Поль Вигнер. 17 ноября 1902 - 1 января 1995". Биогр. Mem. Стипендиаты Р. Соц. 46: 577–592. Дои:10.1098 / rsbm.1999.0102.
• Саймон, Р .; Мукунда, Н.; Chaturvedi, S .; Srinivasan, V .; Хамхальтер, Дж. (2008). «Два элементарных доказательства теоремы Вигнера о симметрии в квантовой механике». Phys. Lett. А. 372 (46): 6847–6852. arXiv:0808.0779. Bibcode:2008ФЛА..372.6847С. Дои:10.1016 / j.physleta.2008.09.052.
• Штрауманн, Н. (2014). «Унитарные представления неоднородной группы Лоренца и их значение в квантовой физике». В А. Аштекаре; В. Петков (ред.). Справочник Спрингера по пространству-времени. С. 265–278. arXiv:0809.4942. Bibcode:2014шст.book..265S. CiteSeerX  10.1.1.312.401. Дои:10.1007/978-3-642-41992-8_14. ISBN  978-3-642-41991-1.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, я, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55001-7
• Вигнер, Э. (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten Mechanik der Atomspektren (на немецком). Брауншвейг, Германия: Friedrich Vieweg und Sohn. С. 251–254. КАК В  B000K1MPEI.
• Вигнер, Э. П. (1959). Теория групп и ее приложение к квантовой механике атомных спектров. перевод с немецкого Дж. Дж. Гриффина. Нью-Йорк: Academic Press. С. 233–236. ISBN  978-0-1275-0550-3.

дальнейшее чтение

• Муше, Амори (2013). «Альтернативное доказательство теоремы Вигнера о квантовых преобразованиях на основе элементарного комплексного анализа». Письма о физике A. 377 (39): 2709–2711. arXiv:1304.1376. Bibcode:2013ФЛА..377.2709М. Дои:10.1016 / j.physleta.2013.08.017.
• Молнар, Лайош (1999). "Алгебраический подход к унитарно-антиунитарной теореме Вигнера" (pdf). J. Austral. Математика. Soc. (Серия А). 65 (3): 354–369. arXiv:математика / 9808033. Bibcode:1998математика ...... 8033M. Дои:10,1017 / с144678870003593x.