Гипотеза объема - Volume conjecture

В филиале математика называется теория узлов, то гипотеза об объеме следующая открытая проблема, которая касается квантовые инварианты узлов к гиперболическая геометрия из узел дополняет.

Позволять О обозначить развязанный. Для любого узла K позволять быть инвариантом Кашаева ; этот инвариант совпадает со следующей оценкой -цветной многочлен Джонса из :

 

 

 

 

(1)

Тогда гипотеза объема утверждает, что

 

 

 

 

(2)

где vol (K) обозначает гиперболический объем дополнения K в 3-сфера.

Наблюдение Кашаева

Ринат Кашаев (1997 ) заметил, что асимптотика некоторой суммы состояний узлов дает гиперболический объем комплекта узлов и показал, что это верно для узлов , , и . Он предположил, что для генерала гиперболические узлы формула (2) была бы верна. Его инвариант для узла основан на теории квантовые дилогарифмы на -й корень из единства, .

Цветной инвариант Джонса

Мураками и Мураками (2001) впервые указал, что инвариант Кашаева связан с полиномом Джонса заменой q на 2N-корень из единицы, а именно, . Они использовали R-матрица как дискретное преобразование Фурье для эквивалентности этих двух значений.

Гипотеза об объеме важна для теория узлов. В разделе 5 этой статьи они заявляют, что:

Предполагая гипотезу объема, каждый узел, отличный от тривиальный узел имеет по крайней мере один другой Инвариант Васильева (конечного типа).

Связь с теорией Черна-Саймонса

Используя комплексификацию, Мураками и др. (2002) переписал формулу (1) в

 

 

 

 

(3)

куда называется Инвариант Черна – Саймонса. Они показали, что с математической точки зрения существует четкая связь между комплексифицированным цветным многочленом Джонса и теорией Черна – Саймонса.

Рекомендации

  • Кашаев, Ринат М. (1997), "Гиперболический объем узлов из квантового дилогарифма", Письма по математической физике, 39 (3): 269–275, arXiv:q-alg / 9601025, Дои:10.1023 / А: 1007364912784.
  • Мураками, Хитоши; Мураками, Джун (2001), "Цветные многочлены Джонса и симплициальный объем узла", Acta Mathematica, 186 (1): 85–104, arXiv:математика / 9905075, Дои:10.1007 / BF02392716.
  • Мураками, Хитоши; Мураками, Джун; Окамото, Миюки; Таката, Тоши; Йокота, Йошиюки (2002), "Гипотеза Кашаева и инварианты Черна-Саймонса узлов и зацеплений", Экспериментальная математика, 11 (1): 427–435, arXiv:математика / 0203119, Дои:10.1080/10586458.2002.10504485.
  • Гуков, Сергей (2005), "Трехмерная квантовая гравитация, теория Черна-Саймонса и A-полином", Commun. Математика. Phys., 255 (1): 557–629, arXiv:hep-th / 0306165, Bibcode:2005CMaPh.255..577G, Дои:10.1007 / s00220-005-1312-у.