Случайное неравенство Брунна – Минковского Виталеса. - Vitales random Brunn–Minkowski inequality

В математика, Случайное неравенство Брунна – Минковского Витале это теорема из-за Ричард Витале что обобщает классический Неравенство Брунна – Минковского. за компактные подмножества из п-размерный Евклидово пространство р^п к случайные компакты.

Формулировка неравенства

Позволять Икс - случайный компакт в р^п; это Борель –измеримая функция от некоторых вероятностное пространство (Ω, Σ, Pr) в пространство непустой, компактный подмножества из р^п оснащен Метрика Хаусдорфа. А случайный вектор V : Ω →р^п называется подборкой Икс если Pr (V ∈ Икс) = 1. Если K непустое компактное подмножество р^п, позволять

${\displaystyle \|K\|=\max \left\{\left.\|v\|_{\mathbb {R} ^{n}}\right|v\in K\right\}}$

и определим многозначные ожидание E [Икс] из Икс быть

${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\{\mathrm {E} [V]|V{\mbox{ is a selection of }}X{\mbox{ and }}\mathrm {E} \|V\|<+\infty \}.}$

Обратите внимание, что E [Икс] является подмножеством р^п. В этих обозначениях случайное неравенство Брунна – Минковского Витале состоит в том, что для любого случайного компакта Икс с ${\displaystyle E[\|X\|]<+\infty }$,

${\displaystyle \left(\mathrm {vol} _{n}\left(\mathrm {E} [X]\right)\right)^{1/n}\geq \mathrm {E} \left[\mathrm {vol} _{n}(X)^{1/n}\right],}$

куда "${\displaystyle vol_{n}}$"означает п-размерный Мера Лебега.

Связь с неравенством Брунна – Минковского.

Если Икс принимает значения (непустые, компактные множества) K и L с вероятностями 1 -λ и λ соответственно, то случайное неравенство Брунна – Минковского Витале - это просто исходное неравенство Брунна – Минковского для компактов.

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского» (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
• Витале, Ричард А. (1990). «Неравенство Брунна-Минковского для случайных множеств». J. Многомерный анализ. 33 (2): 286–293. Дои:10.1016 / 0047-259X (90) 90052-J.