Исчезающий цикл - Vanishing cycle

В математика, исчезающие циклы изучаются в теория сингулярности и другие части алгебраическая геометрия. Они те гомология циклов гладкого слоя в семействе, обращающихся в нуль в сингулярное волокно.

Например, в отображении связной комплексной поверхности на комплексную проективную прямую общий слой является гладким Риманова поверхность некоторого фиксированного рода g, и в общем случае в мишени будут отдельные точки, прообразы которых являются узловыми кривыми. Если рассматривать изолированное критическое значение и небольшую петлю вокруг него, в каждом волокне можно найти гладкую петлю, такую, что особенное волокно может быть получено защемлением этой петли до точки. Петля в гладких слоях дает элемент первой группы гомологий поверхности, а монодромия критического значения определяется как монодромия первых гомологий слоев при обходе петли, т. Е. Обратимое отображение первые гомологии (реальной) поверхности рода g.

Классическим результатом является Формула Пикара – Лефшеца,[1] подробно описывая, как монодромия вокруг особого слоя действует на исчезающие циклы картирование сдвига.

Классическая геометрическая теория Соломон Лефшец был переработан в чисто алгебраических терминах, в SGA7. Это было сделано для требований его применения в контексте l-адические когомологии; и возможное применение к Гипотезы Вейля. Там определение использует производные категории, и выглядит совсем иначе. Он включает в себя функтор функтор ближайшего цикла, с определением с помощью более высокое прямое изображение и откаты. В функтор исчезающего цикла затем сидит в выдающийся треугольник с ближайшим функтором цикла и более элементарным функтором. Эта формулировка имела постоянное влияние, в частности, в D-модуль теория.

Рекомендации

  1. ^ Приведены в [1], для функций Морса.
  • Димка, Александру; Особенности и топология гиперповерхностей.
  • Раздел 3 Peters, C.A.M. и J.H.M. Стинбринк: Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и общая проблема Торелли для проективных гиперповерхностей, в : Классификация алгебраических многообразий., Изд. К. Уэно, Прогресс в математике. 39, Бирхаузер, 1983.
  • Для этальные когомологии версию, см. главу о монодромия в Freitag, E .; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-12175-8
  • Делинь, Пьер; Кац, Николай, ред. (1973), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1967–69 - Groupes de monodromie en géométrie algébrique - (SGA 7) - vol. 2, Конспект лекций по математике, 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. x + 438, см. особенно Пьера Делиня, Формализм évanescents, SGA7 XIII и XIV.
  • Мэсси, Дэвид (2010). «Заметки об извращенных пучках и исчезающих циклах». arXiv:математика / 9908107.

внешняя ссылка