Полезные функции для неделимых товаров - Utility functions on indivisible goods

Некоторые отрасли экономика и теория игры иметь дело с неделимые товары, отдельные предметы, которыми можно торговать только целиком. Например, на комбинаторных аукционах существует конечный набор предметов, и каждый агент может купить подмножество предметов, но предмет не может быть разделен между двумя или более агентами.

Обычно предполагается, что каждый агент присваивает субъективные полезность для каждого подмножества элементов. Это можно представить одним из двух способов:

• An порядковая полезность отношение предпочтений, обычно обозначаемое ${\displaystyle \succ }$. Тот факт, что агент предпочитает набор ${\displaystyle A}$ к набору ${\displaystyle B}$ написано ${\displaystyle A\succ B}$. Если агент слабо предпочитает ${\displaystyle A}$ (т.е. либо предпочитает ${\displaystyle A}$ или безразлично между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$) то это пишется ${\displaystyle A\succeq B}$.
• А кардинальная полезность функция, обычно обозначаемая ${\displaystyle u}$. Утилита, которую агент получает из набора ${\displaystyle A}$ написано ${\displaystyle u(A)}$. Кардинальные функции полезности часто нормализуются таким образом, что ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$, куда ${\displaystyle \emptyset }$ это пустое множество.

Кардинальная функция полезности подразумевает отношение предпочтения: ${\displaystyle u(A)>u(B)}$ подразумевает ${\displaystyle A\succ B}$ и ${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$ подразумевает ${\displaystyle A\succeq B}$. Служебные функции могут иметь несколько свойств.^[1]

Монотонность

Монотонность означает, что агент всегда (слабо) предпочитает иметь лишние предметы. Формально:

• Для отношения предпочтения: ${\displaystyle A\supseteq B}$ подразумевает ${\displaystyle A\succeq B}$.
• Для служебной функции: ${\displaystyle A\supseteq B}$ подразумевает ${\displaystyle u(A)\geq u(B)}$ (т.е. ты это монотонная функция ).

Монотонность эквивалентна бесплатная утилизация предположение: если агент всегда может отбрасывать ненужные предметы, то дополнительные предметы никогда не уменьшат полезность.

Аддитивность

Основная статья: Аддитивная утилита

Аддитивная утилита

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
яблоко	5
шляпа	7
яблоко и шляпа	12

Аддитивность (также называемая линейность или же модульность) означает, что «целое равно сумме своих частей». То есть полезность набора элементов - это сумма полезностей каждого элемента в отдельности. Это свойство актуально только для кардинальных функций полезности. В нем говорится, что для каждого набора ${\displaystyle A}$ предметов,

${\displaystyle u(A)=\sum _{x\in A}u({x})}$

при условии, что ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$. Другими словами, ${\displaystyle u}$ является аддитивная функция. Эквивалентное определение: для любых наборов предметов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).}$

Аддитивная функция полезности характерна для независимые товары. Например, яблоко и шляпа считаются независимыми: польза, которую человек получает от яблока, одинакова независимо от того, есть у него шляпа или нет, и наоборот. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Субмодулярность и супермодульность

Субмодульная утилита

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
яблоко	5
хлеб	7
яблоко и хлеб	9

Субмодульность означает, что «целое не больше суммы его частей (а может быть меньше)». Формально для всех комплектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

Другими словами, ${\displaystyle u}$ это функция субмодульного набора.

Эквивалентное свойство убывающая предельная полезность, что означает, что для любых множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с ${\displaystyle A\subseteq B}$, и каждый ${\displaystyle x\notin B}$:^[2]

${\displaystyle u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)}$.

Субмодульная функция полезности характерна для товары-заменители. Например, яблоко и буханка хлеба можно рассматривать как заменители: полезность, которую человек получает от употребления яблока, меньше, если он уже ел хлеб (и наоборот), поскольку в этом случае он менее голоден. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Супермодульная утилита

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
яблоко	5
нож	7
яблоко и нож	15

Супермодульность противоположность субмодульности: это означает, что «целое не меньше суммы его частей (а может быть и больше)». Формально для всех комплектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$,

${\displaystyle u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

Другими словами, ${\displaystyle u}$ это функция супермодульного набора.

Эквивалентное свойство увеличение предельной полезности, что означает, что для всех наборов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с ${\displaystyle A\subseteq B}$, и каждый ${\displaystyle x\notin B}$:

${\displaystyle u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)}$.

Функция полезности супермоделера характерна для дополнительные товары. Например, яблоко и нож можно считать взаимодополняющими: полезность, которую человек получает от яблока, больше, если у него уже есть нож (и наоборот), поскольку яблоко легче съесть, разрезав его ножом. Возможная функция полезности для этого случая указана справа.

Функция полезности добавка тогда и только тогда, когда он одновременно субмодульный и супермодульный.

Субаддитивность и супераддитивность

Субаддитивный, но не субмодульный

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
X или Y или Z	2
X, Y или Y, Z или Z, X	3
X, Y, Z	5

Субаддитивность означает, что для каждой пары непересекающихся множеств ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)}$

Другими словами, ${\displaystyle u}$ это функция субаддитивного набора.

Предполагая ${\displaystyle u(\emptyset )}$ неотрицательно, каждая субмодульная функция субаддитивна. Однако есть неотрицательные субаддитивные функции, которые не являются субмодульными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых предмета, ${\displaystyle X,Y}$, и Z, а полезность зависит только от их количества. В таблице справа описана субаддитивная, но не субмодульная функция полезности, поскольку

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

Супераддитивный, но не супермодульный

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
X или Y или Z	1
X, Y или Y, Z или Z, X	3
X, Y, Z	4

Супераддитивность означает, что для каждой пары непересекающихся множеств ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)}$

Другими словами, ${\displaystyle u}$ это функция супераддитивного набора.

Предполагая ${\displaystyle u(\emptyset )}$ неположительна, каждая супермодульная функция является супераддитивной, однако существуют неотрицательные супераддитивные функции, которые не являются супермодулярными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых предмета, ${\displaystyle X,Y}$, и Z, а полезность зависит только от их количества. В таблице справа описана неотрицательная и супераддитивная функция полезности, но не супермодульная, поскольку

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

Функция полезности с ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$ как говорят добавка тогда и только тогда, когда он одновременно супераддитивный и субаддитивный.

При типичном предположении, что ${\displaystyle u(\emptyset )=0}$, каждая субмодульная функция является субаддитивной, а каждая супермодульная функция супераддитивной. Без каких-либо предположений о полезности из пустого набора эти отношения не выполняются.

В частности, если субмодульная функция не является субаддитивной, то ${\displaystyle u(\emptyset )}$ должно быть отрицательным. Например, предположим, что есть два элемента, ${\displaystyle X,Y}$, с ${\displaystyle u(\emptyset )=-1}$, ${\displaystyle u(\{X\})=u(\{Y\})=1}$ и ${\displaystyle u(\{X,Y\})=3}$Эта функция полезности является субмодульной и супермодульной и неотрицательной, за исключением пустого набора, но не является субаддитивной, поскольку

${\displaystyle u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

Кроме того, если супермодульная функция не является супераддитивной, то ${\displaystyle u(\emptyset )}$ должно быть положительным. ${\displaystyle u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1}$Эта функция полезности является неотрицательной, супермодульной и субмодульной, но не супераддитивной, поскольку

${\displaystyle u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

Спрос на единицу

Основная статья: Спрос на единицу

Полезность единицы спроса

${\displaystyle A}$	${\displaystyle u(A)}$
${\displaystyle \emptyset }$	0
яблоко	5
груша	7
яблоко и груша	7

Единичный спрос (UD) означает, что агент хочет только один товар. Если агент получает два или более товара, он использует тот из них, который дает ему наибольшую полезность, а остальные отбрасывает. Формально:

• Для отношения предпочтения: для каждого набора ${\displaystyle B}$ есть подмножество ${\displaystyle A\subseteq B}$ с мощностью ${\displaystyle |A|=1}$, так что ${\displaystyle A\succeq B}$.
• Для служебной функции: для каждого набора ${\displaystyle A}$:^[3]

${\displaystyle u(A)=\max _{x\in A}u({x})}$

Функция единичного спроса - это крайний случай субмодульной функции. Это характерно для товаров, являющихся чистыми заменителями. Например, если есть яблоко и груша, и агент хочет съесть один фрукт, то его функция полезности - это единичный спрос, как показано в таблице справа.

Валовые заменители

Иллюстрация отношений включения между общими классами функций полезности.

Основная статья: Валовые заменители (неделимые позиции)

Валовые заменители (GS) означают, что агенты рассматривают товары как товары-заменители или же независимые товары но нет дополнительные товары. Есть много формальных определений этого свойства, и все они эквивалентны.

• Каждая оценка UD - это GS, но обратное неверно.
• Каждая оценка GS является субмодульной, но обратное неверно.

Видеть Валовые заменители (неделимые позиции) Больше подробностей.

Следовательно, между классами выполняются следующие отношения:

${\displaystyle UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subadditive}$

См. Диаграмму справа.

Агрегаты функций полезности

Функция полезности описывает счастье человека. Часто нам нужна функция, описывающая счастье всего общества. Такая функция называется функция социального обеспечения, и это обычно агрегатная функция двух или более служебных функций. Если отдельные служебные функции добавка, то для агрегатных функций справедливо следующее:

Совокупный функция	Свойство	Пример значения функций на {a}, {b} и {a, b}
		ж	грамм	час	агрегат (f, g, h)
Сумма	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		4,4; 8
Средний	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		2,2; 4
Минимум	Супердобавка	1,3; 4	3,1; 4		1,1; 4
Максимум	Субдобавка	1,3; 4	3,1; 4		3,3; 4
Медиана	ни один	1,3; 4	3,1; 4	1,1; 2	1,1; 4
		1,3; 4	3,1; 4	3,3; 6	3,3; 4

Смотрите также

• Полезные функции для делимых товаров

Рекомендации

1. Залив.; Стаккетти, Э. (1999). «Вальрасовское равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории. 87: 95–124. Дои:10.1006 / jeth.1999.2531.
2. Мулен, Эрве (1991). Аксиомы совместного принятия решений. Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521424585.
3. Koopmans, T. C .; Бекманн, М. (1957). «Проблемы присвоения и место ведения хозяйственной деятельности» (PDF). Econometrica. 25 (1): 53–76. Дои:10.2307/1907742. JSTOR  1907742.