Теорема единственности для уравнения Пуассона - Uniqueness theorem for Poissons equation

В теорема единственности за Уравнение Пуассона заявляет, что для большого класса граничные условия, уравнение может иметь много решений, но градиент каждого решения одинаков. В случае электростатика, это означает, что существует уникальный электрическое поле полученная из потенциальной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона при граничных условиях.

Доказательство

В Гауссовы единицы, общее выражение для Уравнение Пуассона в электростатика является

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )=-\rho _{f}}$

Здесь ${\displaystyle \varphi }$ это электрический потенциал и ${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi }$ это электрическое поле.

Единственность градиента решения (единственность электрического поля) для большого класса граничных условий можно доказать следующим образом.

Предположим, что есть два решения ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$. Затем можно определить ${\displaystyle \varphi =\varphi _{2}-\varphi _{1}}$ что является разницей двух решений. Учитывая, что оба ${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}}$ удовлетворить Уравнение Пуассона, ${\displaystyle \varphi }$ должен удовлетворить

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )=0}$

Используя личность

${\displaystyle \nabla \cdot (\varphi \varepsilon \,\nabla \varphi )=\varepsilon \,(\nabla \varphi )^{2}+\varphi \,\nabla \cdot (\varepsilon \,\nabla \varphi )}$

Заметив, что второй член равен нулю, можно переписать это как

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )=\varepsilon (\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}}$

Обращение к объемному интегралу по всему пространству, заданному граничными условиями, дает

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot (\varphi \varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )\,d^{3}\mathbf {r} =\int _{V}\varepsilon (\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

Применяя теорема расходимости, выражение можно переписать как

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\varphi \varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )\cdot \mathbf {dS} =\int _{V}\varepsilon (\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$

куда ${\displaystyle S_{i}}$ являются граничными поверхностями, заданными граничными условиями.

С ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и ${\displaystyle (\mathbf {\nabla } \varphi )^{2}\geq 0}$, тогда ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$ везде должен быть равен нулю (и поэтому ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$), когда поверхностный интеграл обращается в нуль.

Это означает, что градиент решения уникален, когда

${\displaystyle \sum _{i}\int _{S_{i}}(\varphi \varepsilon \,\mathbf {\nabla } \varphi )\cdot \mathbf {dS} =0}$

Граничные условия, для которых верно вышеизложенное, включают:

1. Граничное условие Дирихле: ${\displaystyle \varphi }$ хорошо определена на всех граничных поверхностях. В качестве таких ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ так на границе ${\displaystyle \varphi =0}$ и соответственно поверхностный интеграл обращается в нуль.
2. Граничное условие Неймана: ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$ хорошо определена на всех граничных поверхностях. В качестве таких ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi _{1}=\mathbf {\nabla } \varphi _{2}}$ так на границе ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi =0}$ и соответственно поверхностный интеграл обращается в нуль.
3. Изменено Граничное условие Неймана (также называемый Граничное условие Робина - условия, при которых границы указаны как проводники с известными зарядами): ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \varphi }$ также хорошо определяется путем локального применения Закон Гаусса. При этом исчезает и поверхностный интеграл.
4. Смешанные граничные условия (комбинация граничных условий Дирихле, Неймана и модифицированных граничных условий Неймана): теорема единственности остается в силе.

Граничные поверхности могут также включать границы на бесконечности (описывающие неограниченные области) - для них теорема единственности верна, если поверхностный интеграл обращается в нуль, что имеет место (например), когда на больших расстояниях подынтегральное выражение убывает быстрее, чем увеличивается площадь поверхности.

Смотрите также

• Уравнение Пуассона
• Закон Гаусса
• Закон Кулона
• Метод изображений
• Функция Грина
• Теорема единственности
• Сферические гармоники

Рекомендации

• Л.Д. Ландау, Э.М.Лифшиц (1975). Классическая теория поля. Vol. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-2768-9.
• Дж. Д. Джексон (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1.