Темный самогон - Umbral moonshine
 | Эта статья включает список литературы, связанное чтение или внешние ссылки, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. (Май 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В математика, темный самогон таинственная связь между Решетки Нимейера и Рамануджан с имитация тета-функций. Это обобщение феномена самогона Матье, объединяющее представления о Матье группа М24 с участием K3 поверхности.
Матье самогон
Предыстория самогона Матье начинается с теоремы Мукаи, утверждающей, что любая группа симплектических автоморфизмов поверхности K3 вкладывается в группу Матье M23. Наблюдение за самогоном возникло из физических соображений: любая сигма-модель конформной теории поля K3 имеет действие N = (4,4) суперконформная алгебра, возникающие из гиперкэлеровой структуры. Когда Тору Эгути, Хироси Оогури и Юдзи Татикава (2011 ) вычислили первые несколько членов разложения эллиптического рода K3 CFT на характеры N = (4,4) суперконформной алгебры, они обнаружили, что кратности хорошо совпадают с простыми комбинациями представлений M24. Однако по классификации Мукаи – Кондо нет верное действие этой группы на любой поверхности K3 формулой симплектические автоморфизмы, и, согласно работе Габердиля – Хохенеггера – Вольпато, нет точного действия на любом K3 CFT, поэтому появление действия на лежащем в основе Гильбертово пространство до сих пор остается загадкой.
Егучи и Хиками показали, что кратности N = (4,4) являются фиктивными модулярными формами, и Миранда Ченг предложил, чтобы символы элементов M24 также были имитацией модульных форм. Это предположение стало гипотезой Матье Самогона, утверждающей, что виртуальное представление N = (4,4), заданное эллиптическим родом K3, является бесконечномерным градуированным представлением M24 с неотрицательной кратностью в массивном секторе и что характеры макет модульных форм. В 2012 году Терри Гэннон доказал, что представление M24 существует.
Темный самогон
В 2012, Ченг, Дункан и Харви (2012) собрали численные свидетельства расширения самогона Матье, где семейства имитирующих модульных форм были присоединены к делителям 24. После некоторого теоретико-группового обсуждения с Глауберманом, Ченг, Дункан и Харви (2013) обнаружил, что это более раннее расширение было частным случаем (A-серия) более естественного кодирования решетками Нимейера. Для каждой корневой системы Нимейера Икс, с соответствующей решеткой LИкс, они определили тёмная группа гИкс, заданный фактором группы автоморфизмов LИкс подгруппой отражений - они также известны как стабилизаторы глубоких отверстий в Решетка пиявки. Они предположили, что для каждого Икс, существует бесконечномерное градуированное представление KИкс из гИкс, так что характеры элементов задаются списком вычисляемых ими векторных макетов модульных форм. Формы-кандидаты удовлетворяют свойствам минимальности, очень похожим на условие нулевого рода для Чудовищный самогон. Эти свойства минимальности подразумевают, что фиктивные модульные формы однозначно определяются своими тенями, которые являются векторными тета-рядами, построенными из корневой системы. Частный случай, когда Икс это А124 корневая система дает именно Матье Самогон. Гипотеза о тёмном самогоне была доказана в Дункан, Гриффин и Оно (2015).
Название темного самогона происходит от использования теней в теории имитирующих модульных форм. Другим связанным с лунным светом словам, таким как 'lambency', были приданы технические значения (в данном случае группа нулевого рода, прикрепленная к тени SИкс, уровень которого является двойным числом Кокстера корневой системы Икс) Ченг, Дункан и Харви, чтобы продолжить тему.
Хотя предположение о мрачном самогоне исчерпано, остается еще много вопросов. Например, связи с геометрией и физикой все еще не очень прочны, хотя есть работа Ченга и Харрисона, связывающая умбральные функции с сингулярностями Дюваля на поверхностях K3. В качестве другого примера, текущее доказательство гипотезы о мрачном самогоне неэффективно в том смысле, что не дает естественных построений представлений. Это похоже на ситуацию с чудовищным самогоном в 1980-х годах: Аткин, Фонг и Смит с помощью вычислений показали, что модуль самогона существует в 1980 году, но не дали конструкции. Эффективное доказательство гипотезы Конвея-Нортона было дано Борчердсом в 1992 году с использованием представления монстра, построенного Френкелем, Леповски и Меурманом. Существует конструкция вершинной алгебры для E83 дело Дункана и Харви, где гИкс симметрическая группа S3. Однако алгебраическая структура задается конструкцией асимметричного склеивания конусов, что предполагает, что это не последнее слово.
Смотрите также
использованная литература
- Ченг, Миранда С. Н.; Дункан, Джон Ф. Р .; Харви, Джеффри А. (2012), Темный самогон, arXiv:1204.2779, Bibcode:2012arXiv1204.2779C
- Ченг, Миранда С. Н.; Дункан, Джон Ф. Р .; Харви, Джеффри А. (2013), Темный самогон, arXiv:1307.5793, Bibcode:2013arXiv1307.5793C
- Дункан, Джон Ф. Р .; Гриффин, Майкл Дж .; Оно, Кен (10 декабря 2015 г.), «Доказательство гипотезы о мрачном самогоне», Исследования в области математических наук, 2 (1), arXiv:1503.01472, Дои:10.1186 / s40687-015-0044-7
- Егучи, Тору; Хиками, Кадзухиро (2009), "Суперконформные алгебры и фиктивные тета-функции", Журнал физики A: математический и теоретический, 42 (30): 531–554, arXiv:0904.0911, Bibcode:2009JPhA ... 42D4010E, Дои:10.1088/1751-8113/42/30/304010, ISSN 1751-8113, Г-Н 2521329
- Егучи, Тору; Хиками, Кадзухиро (2009), «Суперконформные алгебры и фиктивные тэта-функции. II. Разложение Радемахера для поверхности K3», Коммуникации в теории чисел и физике, 3 (3): 531–554, arXiv:0904.0911, Дои:10.4310 / cntp.2009.v3.n3.a4, ISSN 1931-4523, Г-Н 2591882
- Егучи, Тору; Оогури, Хироси; Татикава, Юдзи (2011), "Заметки о поверхности K3 и группе Матье M₂₄", Экспериментальная математика, 20 (1): 91–96, arXiv:1004.0956, Дои:10.1080/10586458.2011.544585, ISSN 1058-6458, Г-Н 2802725