Двойные круги - Twin circles

Двойные круги (красный) арбелоса (серый)

Анимация двойных кругов для различных положений точки B на сегменте AC

В геометрия, то двойные круги два особых круга, связанных с арбелос Арбелос определяется тремя коллинеарными точками. А, B, и C, - криволинейная треугольная область между тремя полукруги который имеет AB, до н.э, и AC как их диаметры. Если арбелос разделен на две меньшие области линейным сегментом, проходящим через среднюю точку А, B, и C, перпендикулярно линии ABC, то каждая из двух двойных окружностей лежит внутри одной из этих двух областей, касаясь ее двух полукруглых сторон и сегмента расщепления.

Эти круги впервые появились в Книга лемм, который показал (предложение V), что две окружности конгруэнтный.^[1]Табит ибн Курра, который перевел эту книгу на арабский язык, приписал ее Греческий математик Архимед. На основании этого утверждения двойные круги и несколько других конгруэнтных им кругов Арбелоса также были названы Круги архимеда. Однако эта атрибуция была подвергнута сомнению в более поздних исследованиях.^[2]

Строительство

В частности, пусть ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$ быть тремя углами арбелоса, с ${\displaystyle B}$ между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$. Позволять ${\displaystyle H}$ быть точкой, где больший полукруг пересекает линию перпендикуляр к ${\displaystyle AC}$ через точку ${\displaystyle B}$. Сегмент ${\displaystyle BH}$ делит арбелос на две части. Двойные круги - это два круга, вписанных в эти части, каждый касательная к одному из двух меньших полукругов, к отрезку ${\displaystyle BH}$, и до самого большого полукруга.^[3]

Каждая из двух окружностей однозначно определяется своими тремя касаниями. Построение его - частный случай Проблема Аполлония.

Также были найдены альтернативные подходы к построению двух окружностей, конгруэнтных двойным окружностям.^[4][5] Эти круги также называются архимедовыми кругами. Они включают Банковский круг, Круги Шоха, и Ву круги.

Характеристики

Позволять а и б быть диаметрами двух внутренних полукругов, так что внешний полукруг имеет диаметр а + б. Тогда диаметр каждого двойного круга равен^[3]

${\displaystyle d={\frac {ab}{a+b}}.}$

В качестве альтернативы, если внешний полукруг имеет единичный диаметр, а внутренние круги имеют диаметры ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle 1-s}$, диаметр каждого двойного круга равен^[3]

${\displaystyle d=s(1-s).\,}$

Наименьший круг, охватывающий оба двойных круга, имеет ту же площадь, что и арбелос.^[3]

Смотрите также

• Линия Шоха

Рекомендации

1. Томас Литтл Хит (1897), Произведения Архимеда. Издательство Кембриджского университета. Предложение 5 в Книга лемм. Цитировать: "Пусть AB - диаметр полукруга, C - любая точка на AB и CD, перпендикулярная ей, и пусть полукруги описываются внутри первого полукруга и имеют AC, CB в качестве диаметров. Затем, если нарисовать два круга, соприкасающихся с CD с разных сторон и каждый из которых касается двух полукругов, то нарисованные таким образом круги будут равны."
2. Боас, Гарольд П. (2006). «Размышления об Арбелосе». Американский математический ежемесячник. 113 (3): 241. Дои:10.1080/00029890.2006.11920301. S2CID  14528513. Источником утверждения, что Архимед изучил и назвал арбелос, является Книга лемм, также известный как Liber assumptorum из названия латинского перевода семнадцатого века арабского перевода девятого века утерянного греческого оригинала. Хотя этот сборник из пятнадцати предложений входит в стандартные издания сочинений Архимеда, редакция признает, что автор Книга лемм был не Архимедом, а скорее каким-то анонимным более поздним компилятором, который действительно обращается к Архимеду от третьего лица
3. Вайсштейн, Эрик В. ""Круги Архимеда. "Из MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram". Получено 2008-04-10.
4. Напольный фургон Lamoen (2014), Каталог более пятидесяти архимедовых кругов. Онлайновый документ, по состоянию на 08.10.2014.
5. Напольный фургон Lamoen (2014), Круги (A61a) и (A61b): пара Дао. Онлайновый документ, по состоянию на 08.10.2014.