Распределение поездок - Trip distribution

У всех поездок есть пункт отправления и назначения, которые учитываются на этапе распределения командировок.

Распределение поездок (или же выбор места назначения или же анализ зонального обмена) - вторая компонента (после генерация поездки, но прежде выбор режима и назначение маршрута ) в традиционной четырехступенчатой прогнозирование перевозок модель. На этом этапе выполняется сопоставление отправителей и пунктов назначения для составления «таблицы поездок», матрицы, которая отображает количество поездок, идущих из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения.^[1] Исторически этот компонент был наименее развитым компонентом модель планирования транспортировки.

Таблица: Примерная таблица поездок

Пункт отправления Пункт назначения	1	2	3	Z
1	Т11	Т12	Т13	Т1Z
2	Т21
3	Т31
Z	ТZ1			ТZZ

Где: Т _ij = поездки из пункта отправления я к месту назначения j. Обратите внимание, что практическая ценность поездок по диагонали, например из зоны 1 в зону 1, равно нулю, так как нет внутризонального отключения.

Распределение командировок - это способ, которым модели спроса на поездки понимают, как люди берут работу. Существуют модели распределения командировок для других (нерабочих) действий, таких как выбор места для покупки продуктов, которые следуют той же структуре.

История

За прошедшие годы разработчики моделей использовали несколько различных формулировок распределения поездок. Первой была модель Fratar или Growth (которая не разделяла поездки по целям). Эта структура экстраполировала таблицу поездок базового года на будущее на основе роста, но не учитывала изменение пространственной доступности из-за увеличения предложения или изменений в схемах поездок и заторов. (Простая модель фактора роста, модель Фернесса и модель Детройта - это модели, разработанные в один и тот же период времени)

Следующими разработанными моделями были гравитационная модель и модель промежуточных возможностей. Наиболее широко используемой формулировкой по-прежнему является гравитационная модель.

Изучая трафик в Балтимор, Мэриленд, Алан Вурхиз разработал математическую формулу для прогнозирования схем движения на основе землепользования. Эта формула использовалась при разработке многочисленных проектов в области транспорта и общественных работ по всему миру. Он написал «Общую теорию движения транспорта» (Voorhees, 1956), в которой применил гравитационную модель к распределению поездок, что переводит сгенерированные поездки в области в матрицу, которая определяет количество поездок из каждого источника в каждый пункт назначения, которые затем могут быть загружены в сеть.

Оценка нескольких модельных форм в 1960-х годах пришла к выводу, что «гравитационная модель и модель промежуточных возможностей доказали примерно одинаковую надежность и полезность при моделировании распределения поездок в 1948 и 1955 годах для Вашингтона, округ Колумбия». (Heanue and Pyers 1966). Было показано, что модель Fratar имеет слабые места в районах, где происходят изменения в землепользовании. Поскольку сравнения между моделями показали, что обе модели могут быть одинаково хорошо откалиброваны для соответствия наблюдаемым условиям, из-за простоты вычислений модели гравитации стали более распространенными, чем модели промежуточных возможностей. Некоторые теоретические проблемы с моделью промежуточных возможностей обсуждались Уитакером и Уэстом (1968) относительно ее неспособности учесть все поездки, генерируемые в зоне, что затрудняет калибровку, хотя методы работы с ограничениями были разработаны Руйтером ( 1967).

С развитием логит и другие методы дискретного выбора, были опробованы новые, демографически дезагрегированные подходы к спросу на поездки. Ожидается, что включение в определение вероятности поездки других переменных, помимо времени в пути, позволит лучше прогнозировать поведение во время поездки. В логит модель Уилсон (1967) показал, что модель гравитации имеет по существу ту же форму, что и модель максимизации энтропии, которая используется в статистической механике. Применение этих моделей отличается по своей концепции в том, что гравитационная модель использует импеданс в зависимости от времени в пути, возможно, стратифицированного по социально-экономическим переменным, при определении вероятности совершения поездки, в то время как подход дискретного выбора помещает эти переменные в функцию полезности или импеданса. Для моделей с дискретным выбором требуется больше информации для оценки и больше вычислительного времени.

Бен-Акива и Лерман (1985) разработали комбинированный выбор пункта назначения и Режим модели выбора с использованием логита для рабочих и нерабочих поездок. Из-за вычислительной интенсивности эти формулировки имели тенденцию объединять зоны движения в более крупные районы или кольца при оценке. В текущем приложении некоторые модели, включая, например, модель планирования транспортировки, используемую в Портленде, штат Орегон, используют формулировку логита для выбора пункта назначения. Аллен (1984) использовал утилиты из модели выбора режима на основе логита для определения составного импеданса для распределения срабатываний. Однако такой подход с использованием логарифмических сумм выбора режима подразумевает, что выбор пункта назначения зависит от тех же переменных, что и выбор режима. Левинсон и Кумар (1995) используют вероятности выбора режима в качестве весового коэффициента и разрабатывают конкретную функцию импеданса или «f-кривую» для каждого режима для рабочих и нерабочих командировок.

Математика

На этом этапе процесса планирования транспортировки информация для анализа зонального обмена организована в таблицу происхождения-назначения. Слева перечислены поездки, произведенные в каждой зоне. Вверху перечислены зоны, и для каждой зоны мы указываем ее привлекательность. Таблица п Икс п, куда п = количество зон.

Каждая ячейка в нашей таблице должна содержать количество поездок из зоны я в зону j. У нас пока нет этих номеров внутри ячеек, но есть итоги по строкам и столбцам. При такой организации данных наша задача - заполнить ячейки таблиц с заголовками т = 1 через сказать т = п.

Фактически, из данных опроса о поездках на домашнее собеседование и анализа привлекательности у нас есть информация о ячейках для т = 1. Данные являются выборкой, поэтому мы обобщаем выборку на вселенную. Методы, используемые для анализа зонального обмена, исследуют эмпирическое правило, которое соответствует т = 1 данные. Затем это правило используется для генерации данных ячеек для т = 2, т = 3, т = 4 и т. Д., Чтобы т = п.

Первый метод, разработанный для моделирования зонального обмена, включает такую ​​модель:

${\displaystyle T_{ij}=T_{i}{\frac {A_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j'=1}^{n}{A_{j'}f\left({C_{ij'}}\right)K_{ij'}}}}}$

куда:

• ${\displaystyle T_{ij}}$ : поездки из i в j.
• ${\displaystyle T_{i}}$ : поездки из i, согласно нашему анализу поколений
• ${\displaystyle A_{j}}$ : поездки, привлеченные к j, согласно анализу поколений
• ${\displaystyle f(C_{ij})}$ : трение стоимости путешествия фактор, скажем = ${\displaystyle C_{ij}^{b}}$
• ${\displaystyle K_{ij}}$ : Параметр калибровки

Зона я генерирует Т _я поездки; сколько пойдет в зону j? Это зависит от привлекательности j по сравнению с привлекательностью всех мест; привлекательность сдерживается удаленностью зоны от зоны я. Вычисляем дробь, сравнивая j во все места и умножать Т _;я этим.

Правило часто имеет форму гравитации:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

куда:

• ${\displaystyle P_{i};P_{j}}$ : популяции я и j
• ${\displaystyle a;b}$ : параметры

Но в режиме зональной развязки мы используем числа, относящиеся к пунктам отправления рейсов (Т _;я) и направления поездки (Т _;j), а не популяции.

Существует много форм модели, потому что мы можем использовать веса и специальные параметры калибровки, например, можно написать, скажем,:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}}$

или же

${\displaystyle T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

куда:

• а, б, в, г параметры
• ${\displaystyle C_{ij}}$ : стоимость поездки (например, расстояние, деньги, время)
• ${\displaystyle T_{j}}$ : въездные поездки, направления
• ${\displaystyle T_{i}}$ : выезд, отправка

Модель гравитации

Модель гравитации иллюстрирует макроскопические отношения между местами (например, домами и рабочими местами). Долгое время считалось, что взаимодействие между двумя местоположениями уменьшается с увеличением (расстояния, времени и стоимости) между ними, но положительно связано с объемом активности в каждом месте (Isard, 1956). По аналогии с физикой Рейли (1929) сформулировал Закон розничного тяготения Рейли, и Дж. К. Стюарт (1948) сформулировали определения демографическая гравитация, сила, энергия и потенциал, теперь называемые доступностью (Hansen, 1959). В уменьшение расстояния коэффициент 1 / расстояние был обновлен до более полной функции обобщенной стоимости, которая не обязательно является линейной - отрицательная экспонента, как правило, является предпочтительной формой.

Гравитационная модель неоднократно подтверждалась как базовая основополагающая совокупная взаимосвязь (Скотт, 1988, Серверо, 1989, Левинсон и Кумар, 1995). Скорость снижения взаимодействия (называемая также импедансом или коэффициентом трения, функцией полезности или склонности) должна быть измерена эмпирически и варьируется в зависимости от контекста.

Ограничение полезности гравитационной модели заключается в ее совокупном характере. Хотя политика также действует на агрегированном уровне, более точный анализ сохранит наиболее подробный уровень информации как можно дольше. Хотя гравитационная модель очень успешно объясняет выбор большого числа людей, выбор любого конкретного человека сильно отличается от предсказанного значения. Применительно к контексту спроса на поездки в города отрицательными факторами являются в первую очередь время, расстояние и стоимость, хотя иногда используются модели дискретного выбора с применением более широких выражений полезности, а также стратификация по доходу или владению транспортными средствами.

Математически модель гравитации часто принимает следующий вид:

${\displaystyle T_{ij}=K_{i}K_{j}T_{i}T_{j}f(C_{ij})}$

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}},\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sum _{j}{K_{j}T_{j}f(C_{ij})}}},K_{j}={\frac {1}{\sum _{i}{K_{i}T_{i}f(C_{ij})}}}}$

куда

• ${\displaystyle T_{ij}}$ = Поездки между отправлением я и место назначения j
• ${\displaystyle T_{i}}$ = Поездки с отправлением я
• ${\displaystyle T_{j}}$ = Поездки, предназначенные для j
• ${\displaystyle C_{ij}}$ = стоимость поездки между я и j
• ${\displaystyle K_{i},K_{j}}$ = балансирующие факторы решаются итеративно. Видеть Итерационная пропорциональная подгонка.
• ${\displaystyle f}$ = коэффициент уменьшения расстояния, как в модели доступности

Он ограничен вдвойне, в том смысле, что для любого я общее количество поездок от я прогнозируемое моделью всегда (механически, для любых значений параметров) равно действительному общему количеству поездок от я. Аналогичным образом общее количество поездок в j прогнозируемое моделью, равно реальному общему количеству поездок в j, для любого j.

Энтропийный анализ

Уилсон (1970) предлагает другой подход к проблеме зонального обмена. В этом разделе рассматривается методология Уилсона, чтобы дать представление об основных идеях.

Для начала рассмотрим некоторые поездки, когда семь человек в зонах отправления добираются до семи рабочих мест в зонах назначения. Одна конфигурация таких поездок будет:

Таблица: Конфигурация поездок

зона	1	2	3
1	2	1	1
2	0	2	1

${\displaystyle w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260}$

где 0! = 1.

Эта конфигурация может проявляться 1260 способами. Мы вычислили количество способов, которыми могла произойти конфигурация поездок, и для объяснения вычислений давайте вспомним те эксперименты с подбрасыванием монет, о которых так много говорилось в элементарной статистике.

Количество способов выпадения двусторонней монеты: ${\displaystyle 2^{n}}$, где n - количество раз, когда мы подбрасываем монету. Если мы подбросим монету один раз, она может выпасть орлом или решкой, ${\displaystyle 2^{1}=2}$. Если мы подбросим его дважды, он может получить HH, HT, TH или TT, четырьмя способами и ${\displaystyle 2^{2}=4}$. Чтобы задать конкретный вопрос о, скажем, четырех монетах, выпадающих всеми орлами, мы вычисляем ${\displaystyle 4!/(4!0!)=1}$. Две решки и две решки были бы ${\displaystyle 4!/(2!2!)=6}$. Решаем уравнение:

${\displaystyle w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}}$

Важным моментом является то, что как п становится больше, наше распределение становится все более и более пиковым, и становится все более разумным думать о наиболее вероятном состоянии.

Однако понятие наиболее вероятного состояния происходит не из этого мышления; он исходит из статистической механики, области, хорошо известной Уилсону и не так хорошо известной планировщикам транспорта. Результатом статистической механики является то, что наиболее вероятен нисходящий ряд. Подумайте о том, как энергия света в классе влияет на воздух в классе. Если бы эффект привел к восходящей серии, многие из атомов и молекул были бы затронуты сильно, а некоторые - немного. Нисходящая серия на многих не повлияла бы совсем или не сильно, и только некоторые повлияли очень сильно. Мы могли бы взять данный уровень энергии и вычислить уровни возбуждения в восходящей и нисходящей последовательностях. Используя приведенную выше формулу, мы могли бы вычислить способы возникновения определенных серий и сделать вывод, что нисходящие серии доминируют.

Это более или менее Закон Больцмана,

${\displaystyle p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}}$

То есть частицы на любом конкретном уровне возбуждения j будет отрицательной экспоненциальной функцией частиц в основном состоянии, ${\displaystyle p_{0}}$, уровень возбуждения, ${\displaystyle e_{j}}$, а параметр ${\displaystyle \beta }$, которая является функцией (средней) энергии, доступной частицам в системе.

Два вышеприведенных абзаца относятся к ансамблевым методам расчета, разработанным Гиббсом, и эта тема выходит за рамки этих заметок.

Возвращаясь к матрице O-D, обратите внимание, что мы не использовали столько информации, сколько мы получили бы из обзора O и D и из нашей более ранней работы по генерации поездок. Для той же схемы перемещения в матрице O-D, которая использовалась ранее, у нас будут итоги по строкам и столбцам, то есть:

Таблица: Иллюстративная матрица O-D с итогами по строкам и столбцам

	зона	1	2	3
зона	Тя Tj	2	3	2
1	4	2	1	1
2	3	0	2	1

Подумайте, как могли бы путешествовать эти четверо: 4! / (2! 1! 1!) = 12; рассмотрим троих, 3! / (0! 2! 1!) = 3. Все путешествия можно объединить 12 × 3 = 36 способами. Таким образом, возможная конфигурация поездок сильно ограничивается суммой столбцов и строк.

Мы объединили этот момент с более ранней работой с нашей матрицей и понятием наиболее вероятного состояния, чтобы сказать, что мы хотим

${\displaystyle \max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{T_{ij}!}}}}$

при условии

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

куда:

${\displaystyle T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}}$

и это проблема, которую мы решили выше.

Уилсон добавляет еще одно соображение; он ограничивает систему количеством доступной энергии (т. е. денег), и у нас есть дополнительное ограничение,

${\displaystyle \sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}}$

куда C количество доступных ресурсов и ${\displaystyle C_{ij}}$ стоимость проезда от я к j.

Обсуждение до сих пор содержит основные идеи в работе Уилсона, но мы еще не достигли того места, где читатель узнает модель, как она сформулирована Уилсоном.

Во-первых, написание ${\displaystyle \Lambda }$ функция, которая должна быть максимизирована с помощью Лагранжевы множители, у нас есть:

${\displaystyle \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}}$

куда ${\displaystyle \lambda _{i},\lambda _{j}}$ и ${\displaystyle \beta }$ множители Лагранжа, ${\displaystyle \beta }$ обладающий чувством энергии.

Во-вторых, удобно максимизировать натуральный логарифм (ln), а не ${\displaystyle w(T_{ij})}$, тогда мы можем использовать Приближение Стирлинга.

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

так

${\displaystyle {\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N}$

В-третьих, оценивая максимум, имеем

${\displaystyle {\frac {\partial \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0}$

с раствором

${\displaystyle \ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}$

Наконец, подставляя это значение ${\displaystyle T_{ij}}$ возвращаясь к нашим уравнениям связей, мы имеем:

${\displaystyle \sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{i};\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{j}}$

и, вынимая постоянные кратные за знак суммирования

${\displaystyle e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}}$

Позволять

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{j}}}=B_{j}}$

у нас есть

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}}$

что говорит о том, что наиболее вероятное распределение поездок имеет форму гравитационной модели, ${\displaystyle T_{ij}}$ пропорционально пунктам отправления и назначения поездки. Константы ${\displaystyle A_{i}}$, ${\displaystyle B_{j}}$, и ${\displaystyle \beta }$ убедитесь, что ограничения соблюдены.

Переходя теперь к вычислениям, мы имеем большую проблему. Во-первых, мы не знаем значения C, который ранее, как мы говорили, был связан с имеющимися деньгами, это было ограничением затрат. Следовательно, мы должны установить ${\displaystyle \beta }$ к разным значениям, а затем найдите лучший набор значений для ${\displaystyle A_{i}}$ и ${\displaystyle B_{j}}$. Мы знаем что ${\displaystyle \beta }$ значит - чем больше значение ${\displaystyle \beta }$, тем меньше стоимость среднего пройденного расстояния. (Сравнивать ${\displaystyle \beta }$ в законе Больцмана, отмеченном ранее.) Во-вторых, значения ${\displaystyle A_{i}}$ и ${\displaystyle B_{j}}$ зависят друг от друга. Итак, для каждого значения ${\displaystyle \beta }$, мы должны использовать итеративное решение. Для этого существуют компьютерные программы.

Метод Вильсона был применен к Модель Лоури.

вопросы

Скопление

Одним из ключевых недостатков применения многих ранних моделей была невозможность учесть загруженное время в пути по дорожной сети при определении вероятности поездки между двумя точками. Хотя Воль еще в 1963 году отметил исследование механизма обратной связи или «взаимозависимостей между назначенным или распределенным объемом, временем в пути (или« сопротивлением »путешествия) и маршрутом или пропускной способностью системы», эта работа еще не получила широкого распространения с помощью тщательных испытаний сходимость, или с так называемым «равновесным» или «комбинированным» решением (Boyce et al. 1994). Haney (1972) предполагает, что внутренние допущения о времени в пути, используемые для развития спроса, должны согласовываться с выходными временами в пути при назначении маршрута для этого спроса. В то время как небольшие методологические несоответствия неизбежно представляют проблему для оценки условий базового года, прогнозирование становится еще более ненадежным без понимания обратной связи между спросом и предложением. Первоначально эвристические методы были разработаны Ирвином и Фон Кубом. ^[2] и другие, а позже методы формального математического программирования были созданы Сюзанной Эванс.^[3]

Стабильность времени в пути

Ключевым моментом в анализе обратной связи является открытие более раннего исследования.^[4] что время поездок на работу в столичном регионе Вашингтона оставалось стабильным на протяжении последних тридцати лет, несмотря на значительные изменения в доходах домохозяйств, структуре землепользования, структуре семьи и участии в рабочей силе. Аналогичные результаты были получены в городах-побратимах.^[5]

Стабильность времен пробега и кривых распределения за последние три десятилетия^{[когда? ]} дает хорошую основу для применения моделей совокупного распределения поездок для относительно долгосрочного прогнозирования. Это не означает, что существует постоянная бюджет времени в пути.

Смотрите также

• Воздействие авиации на окружающую среду
• Гипермобильность (путешествия)

Сноски

1. Руководство по оценке транспорта https://assets.publishing.service.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/263054/guidance-transport-assessment.pdf
2. Флориан М., Нгуен С. и Ферланд Дж. 1975 г. О комбинированном распределении-распределении трафика ", Транспортная наука, том 9, стр. 43–53, 1975 г.
3. * Эванс, Сюзанна П. 1976. Вывод и анализ некоторых моделей совмещения распределения и назначения командировок. Транспортные исследования, Vol. 10, ПП 37–57 1976 г.
4. Левинсон, Д. и А. Кумар, 1994 г. Рациональный локатор: почему время в пути осталось стабильным, Журнал Американской ассоциации планирования, 60: 3 319–332
5. Барнс, Г. и Дэвис, Г. 2000. Понимание спроса на городские поездки: проблемы, решения и роль прогнозирования, Центр транспортных исследований Университета Миннесоты: исследование транспорта и регионального роста

Рекомендации

• Аллен Б. Распределение поездок с использованием композитного импедансного исследования транспорта, 1984 г., стр. 118–127
• Бен-Акива М. и Лерман С. 1985 Анализ дискретного выбора, MIT Press, Cambridge MA
• Бойс Д., Лупа М. и Чжан Ю.Ф. 1994 Внедрение «обратной связи» в четырехэтапную процедуру прогнозирования поездок по сравнению с равновесным решением комбинированной модели, представленное на 73-м ежегодном заседании Совета по исследованиям в области транспорта.

• Хейни, Д. 1972 г. Согласованность в моделях спроса и оценки транспортных услуг, Highway Research Record 392, стр.13–25 1972 г.
• Хансен, В. Г. 1959. Как доступность влияет на землепользование. Журнал Американского института проектировщиков, 25(2), 73–76.
• Хиану, Кевин Э. и Пайерс, Клайд Э. 1966. Сравнительная оценка процедур распределения поездок,

• Левинсон Д. и Кумар А. 1995. Мультимодальная модель распределения поездок. Протокол исследования транспорта № 1466: 124–131.
• Отчет Portland MPO для Федерального транзитного управления о моделировании транзита
• Рейли, У.Дж. (1929) «Методы исследования отношений с розничной торговлей», Бюллетень Техасского университета № 2944, ноябрь 1929 г.
• Рейли, У.Дж., 1931. Закон розничной гравитации, Нью-Йорк.
• Руйтер, Э. Усовершенствования в понимании, калибровке и применении модели возможностей шоссе, 1967 г. Отчет об исследовании № 165 стр. 1–21
• Стюарт, Дж. (1948) «Демографическая гравитация: доказательства и применение» Социометрия Vol. XI февраль – май 1948 г., стр. 31–58.
• Стюарт, Дж. К., 1947. Эмпирические математические правила, касающиеся распределения и равновесия населения, Географический обзор, Том 37, 461–486.
• Стюарт, J.Q., 1950. Потенциал населения и его отношение к маркетингу. В: Теория маркетинга, Р. Кокс и У. Олдерсон (редакторы) (Ричард Д. Ирвин, Inc., Хоумвуд, Иллинойс).
• Стюарт, Дж. К., 1950. Развитие социальной физики, Американский журнал физики, том 18, 239–253.
• Вурхиз, Алан М., 1956, «Общая теория движения», Протоколы 1955 года, Институт инженеров дорожного движения, Нью-Хейвен, Коннектикут.
• Уитакер, Р. и К. Уэст, 1968 Модель промежуточных возможностей: теоретическое рассмотрение Отчет о дорожных исследованиях 250 стр. 1–7
• Уилсон, А.Г. Статистическая теория моделей пространственного распределения. Исследования транспорта, том 1, стр. 253–269 1967
• Воль, М. Взаимосвязи спроса, стоимости, цены и пропускной способности, 1963 г., применяемые для прогнозирования поездок. Запись исследования шоссе 38: 40–54
• Ципф, Г. К., 1946. Гипотеза о внутригородском перемещении людей. Американский социологический обзор, т. 11 октября
• Зипф, Г. К., 1949. Поведение человека и принцип наименьшего усилия. Массачусетс