Трикубическая интерполяция - Tricubic interpolation

в математический подполе числовой анализ, трикубическая интерполяция - метод получения значений в произвольных точках в 3D пространство функции, определенной на регулярная сетка. Подход включает аппроксимацию функции локально выражением вида

${displaystyle f(x,y,z)=sum _{i=0}^{3}sum _{j=0}^{3}sum _{k=0}^{3}a_{ijk}x^{i}y^{j}z^{k}.}$

Эта форма имеет 64 коэффициента ${displaystyle a_{ijk}}$; требуя, чтобы функция имела заданное значение или заданное производная по направлению в какой-то момент накладывает одно линейное ограничение на 64 коэффициента.

Период, термин трикубическая интерполяция используется более чем в одном контексте; некоторые эксперименты измеряют как значение функции, так и ее пространственные производные, и желательно интерполировать, сохраняя значения и измеренные производные в точках сетки. Они обеспечивают 32 ограничения на коэффициенты, а еще 32 ограничения могут быть предоставлены путем требования гладкости более высоких производных.^[1]

В других контекстах мы можем получить 64 коэффициента, рассматривая сетку 3 脳 3 脳 3 маленьких кубиков, окружающих куб, внутри которого мы оцениваем функцию, и подбирая функцию в 64 точках в углах этой сетки.

В кубическая интерполяция В статье указано, что метод эквивалентен последовательному применению одномерных кубических интерполяторов. Позволять ${displaystyle mathrm {CINT} _{x}(a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2})}$ быть значением кубического многочлена с одной переменной (например, ограниченного значениями, ${displaystyle a_{-1}}$, ${displaystyle a_{0}}$, ${displaystyle a_{1}}$, ${displaystyle a_{2}}$ от последовательных точек сетки) оценивается в ${displaystyle x}$. Во многих полезных случаях эти кубические многочлены имеют вид ${displaystyle mathrm {CINT} _{x}(u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2})=mathbf {v} _{x}cdot left(u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2}ight)}$ для какого-то вектора ${displaystyle mathbf {v} _{x}}$ который является функцией ${displaystyle x}$ один. Трикубический интерполятор эквивалентен:

${displaystyle {egin{aligned}s(i,j,k)&{}={ ext{The value at grid point }}(i,j,k) (i,j,z)&{}=mathrm {CINT} _{z}left(s(i,j,-1),s(i,j,0),s(i,j,1),s(i,j,2)ight)u(i,y,z)&{}=mathrm {CINT} _{y}left(t(i,-1,z),t(i,0,z),t(i,1,z),t(i,2,z)ight)f(x,y,z)&{}=mathrm {CINT} _{x}left(u(-1,y,z),u(0,y,z),u(1,y,z),u(2,y,z)ight)end{aligned}}}$куда ${displaystyle i,j,kin {-1,0,1,2}}$ и ${displaystyle x,y,zin [0,1]}$.

На первый взгляд может показаться удобнее использовать 21 вызов для ${displaystyle mathrm {CINT} }$ описанный выше вместо ${displaystyle {64 imes 64}}$ матрица описана в Lekien и Marsden.^[1] Однако правильная реализация с использованием разреженного формата для матрицы (который довольно разреженный) делает последний более эффективным. Этот аспект еще более выражен, когда требуется интерполяция в нескольких местах внутри одного куба. В этом случае ${displaystyle {64 imes 64}}$ матрица используется один раз для вычисления коэффициентов интерполяции для всего куба. Затем коэффициенты сохраняются и используются для интерполяции в любом месте внутри куба. Для сравнения, последовательное использование одномерных интеграторов ${displaystyle mathrm {CINT} _{x}}$ работает очень плохо для повторяющихся интерполяций, потому что каждый вычислительный шаг должен повторяться для каждого нового местоположения.

Смотрите также

• Кубическая интерполяция
• Бикубическая интерполяция
• Трилинейная интерполяция

Рекомендации

1. Трикубическая интерполяция в трех измерениях (2005 г.), Ф. Лекиен, Дж. Марсден, Журнал численных методов и инженерии

внешняя ссылка

• Реализация трикубической интерполяции на Java / C ++
• C ++ реализация трикубической интерполяции
• Реализация Python
• Реализация NumPy
• [1] библиотека einspline