Метрика сисек - Tits metric

В математика, то Метрика сисек это метрика на идеальной границе Пространство Адамара (также называемый полный CAT (0) пробел ). Он назван в честь Жак Титс.

Идеальная граница пространства Адамара.

Позволять (Икс, d) - пространство Адамара. Два геодезический лучи c₁, c₂ : [0, ∞] → Икс называются асимптотический если во время путешествия они остаются на определенном расстоянии, т.е.

${\displaystyle \sup _{t\geq 0}d(c_{1}(t),c_{2}(t))<\infty .}$

Эквивалентно Расстояние Хаусдорфа между двумя лучами конечно.

Асимптотическое свойство определяет отношение эквивалентности на множестве геодезических лучей, а множество классов эквивалентности называется идеальной границей ∂Икс из Икс. Класс эквивалентности геодезических лучей называется граничной точкой Икс. Для любого класса эквивалентности лучей и любой точки п в Икс, в классе есть уникальный луч, который исходит из п.

Определение метрики Титса

Сначала мы определяем угол между граничными точками относительно точки п в Икс. Для любых двух граничных точек ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}}$ в ∂Иксвозьмем два геодезических луча c₁, c₂ исходящий из п соответствующие двум граничным точкам соответственно. Угол двух лучей можно определить как п называется Александрова угол. Интуитивно возьмем треугольник с вершинами п, c₁(т), c₂(т) для небольшого т, и постройте треугольник на плоской плоскости с той же длиной стороны, что и этот треугольник. Рассмотрим угол при вершине плоского треугольника, соответствующий п. Предел этого угла при т стремится к нулю, определяется как угол Александрова двух лучей при п. (По определению пространства CAT (0) угол монотонно убывает как т убывает, значит предел существует.) Теперь определим ${\displaystyle \angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2})}$ быть этим углом.

Для определения угловой метрики на границе ∂Икс это не зависит от выбора п, мы берем супремум по всем пунктам в Икс

${\displaystyle \angle (\xi _{1},\xi _{2}):=\sup _{p\in X}\angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2}).}$

Метрика Сиськи d_Т это метрика длины связанной с угловой метрикой, то есть для любых двух граничных точек расстояние Титса между ними равно инфимум длин всех соединяющих их кривых, измеренных в угловой метрике. Если такой кривой конечной длины нет, расстояние Титса между двумя точками определяется как бесконечность.

Идеальная граница Икс с метрикой Титса называется Граница сисек, обозначаемый ∂_ТИкс.

Для полного пространства CAT (0) можно показать, что его идеальная граница с угловой метрикой является полным пространством CAT (1), а его граница Титса также является полным пространством CAT (1). Таким образом, для любых двух граничных точек ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}}$ такой, что ${\displaystyle \angle (\xi _{1},\xi _{2})<\pi }$, у нас есть

${\displaystyle d_{\mathrm {T} }(\xi _{1},\xi _{2})=\angle (\xi _{1},\xi _{2}),}$

и точки могут быть соединены уникальным геодезическим отрезком на границе. Если пространство правильный, то любые две граничные точки на конечном расстоянии Титса друг от друга можно соединить геодезическим отрезком на границе.

Примеры

• Для Евклидово пространство E^п, его граница Титса - единичная сфера S^{п - 1}.
• Пространство Адамара Икс называется пространство видимости если любые две различные граничные точки являются концами геодезической линии в Икс. Для такого пространства угловое расстояние между любыми двумя граничными точками равно π, поэтому на идеальной границе нет кривой конечной длины, которая соединяет любые две различные граничные точки, а это означает, что расстояние Титса между любыми двумя из них равно бесконечность.

Рекомендации

• Bridson, Martin R .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук] 319. Берлин: Springer-Verlag. С. xxii + 643. ISBN  3-540-64324-9. МИСТЕР  1744486.