Теорема Шпильрайна о продолжении - Szpilrajn extension theorem

В математика, то Теорема Шпильрайна о продолжении (также называемый принцип расширения заказов), доказанный Эдвард Шпильрайн в 1930 г.^[1] заявляет, что каждый частичный заказ содержится в общий заказ. Интуитивно теорема гласит, что любой метод сравнения элементов, который оставляет некоторые пары несравнимыми, может быть расширен таким образом, чтобы каждая пара стала сравнимой. Теорема - один из многих примеров использования аксиома выбора в виде Лемма Цорна найти максимальный набор с определенными свойствами.

Определения и заявление

А бинарное отношение р на съемочной площадке Икс формально определяется как набор упорядоченных пар (Икс,y) элементов Икс, и мы часто сокращаем (Икс,y) ∈ р так как xRy.

Отношение рефлексивный если xRx выполняется для каждого элемента Икс ∈ Икс; это переходный если xRy и yRz подразумевать xRz для всех х, у, г ∈ Икс; это антисимметричный если xRy и yRx подразумевать х = у для всех х, у ∈ Икс; и это отношение Connex если xRy или yRx касается всех х, у ∈ Икс. Частичный порядок по определению является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным отношением. Полный заказ - это частичный заказ, который называется Connex.

Отношение р содержится в другом отношении S когда все заказанные пары в р также появляются в S, т.е. xRy подразумевает xSy для всех х, у ∈ X. Теорема о продолжении утверждает, что каждое отношение р то есть рефлексивный, транзитивный и антисимметричный (т.е. частичный порядок) содержится в другом отношении S который является рефлексивным, транзитивным, антисимметричным и коннексным (то есть полным порядком).

Доказательство

Теорема доказывается в два этапа. Во-первых, если частичный заказ не сравнивается Икс и y, его можно расширить, добавив сначала пару (Икс,y), а затем выполните переходное закрытие и, во-вторых, поскольку эта операция порождает порядок, который строго содержит исходный и может применяться ко всем парам несравнимых элементов, существует отношение, в котором все пары элементов сделаны сопоставимыми.

Первый шаг доказывается как предварительная лемма, в которой частичный порядок, в котором пара элементов Икс и y несравнимы, изменяется, чтобы сделать их сопоставимыми. Это делается путем добавления пары Иксрy к отношению, что может привести к нетранзитивному отношению, а затем восстановить транзитивность путем добавления всех пар qрп такой, что qрИкс и yрп. Это делается на одной паре несравнимых элементов. Икс и y, и порождает отношение, которое все еще является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным и которое строго содержит исходное.

Далее мы покажем, что посеть частичных заказов, содержащих р, упорядоченная по включению, имеет максимальный элемент. Существование такого максимального элемента доказывается применением Лемма Цорна в этот посеть. Цепочка в этом наборе - это набор отношений, содержащий р такое, что при любых двух из этих отношений одно содержится в другом.

Чтобы применить лемму Цорна, нам нужно показать, что каждая цепь имеет верхнюю границу в ЧУМе. Позволять ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ - такая цепь, и мы покажем, что объединение ее элементов, ${ Displaystyle bigcup { mathcal {C}}}$ , является верхней оценкой для ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ который находится в посете: ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ содержит исходное отношение р поскольку каждый элемент ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ частичный порядок, содержащий р. Далее мы покажем, что ${ Displaystyle bigcup { mathcal {C}}}$ является транзитивным отношением. Предположим, что (Икс,y) и (y,z) находятся в ${ Displaystyle bigcup { mathcal {C}}}$ , так что существуют ${ displaystyle S, T in { mathcal {C}}}$ такой, что ${ displaystyle (x, y) in S}$ и ${ displaystyle (y, z) in T}$ . поскольку ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ - это цепь либо ST, либо T⊆S. Предположим, что S⊆T; аргумент в пользу того, когда Т⊆S похож. Тогда у нас также есть ${ displaystyle (x, y) in T}$ . Поскольку все отношения, производимые нашим процессом, транзитивны, (Икс,z) находится в T, поэтому в ${ Displaystyle bigcup { mathcal {C}}}$ . Аналогичным образом можно показать, что ${ Displaystyle bigcup { mathcal {C}}}$ антисимметричен.

Следовательно, по лемме Цорна множество частичных порядков, содержащих R, имеет максимальный элемент Q, и остается только показать, что Q является полным. В самом деле, если бы у Q была пара несравнимых элементов, то мы могли бы применить к нему процесс первого шага, что привело бы к другому строгому частичному порядку, который содержит R и строго содержит Q, что противоречит тому, что Q является максимальным. Таким образом, Q - полный порядок, содержащий R, что завершает доказательство.

Другие теоремы о расширении

Эрроу заявил, что каждый предзаказ (рефлексивное и транзитивное отношение) можно продолжить до общий предварительный заказ (отношение транзитивности и связности), и это утверждение позже было доказано Ханссоном.
Судзумура доказал, что бинарное отношение может быть расширено до полного предпорядка тогда и только тогда, когда оно Сузумура-последовательный, что означает, что не существует такого цикла элементов, что Иксрy для каждой пары последовательных элементов (Икс,y), и есть пара последовательных элементов (Икс,y) в цикле, для которого yрИкс не держит.

использованная литература

^ Марчевский, Эдвард (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel" (PDF), Fundamenta Mathematicae (На французском), 16: 386–389, Дои:10.4064 / fm-16-1-386-389.

[1] Марчевский, Эдвард (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel" (PDF), Fundamenta Mathematicae (На французском), 16: 386–389, Дои:10.4064 / fm-16-1-386-389.

[1]