Система билинейных уравнений - System of bilinear equations

В алгебра, системы билинейных уравнений представляют собой наборы уравнений, каждое из которых записывается как билинейная форма, для которого ищется общее решение. Учитывая один набор переменных, представленных как вектор Икс, а другой представлен вектором у, то система билинейных уравнений для Икс и у можно написать ${\displaystyle y^{T}A_{i}x=g_{i}}$. Здесь, я является целое число чье значение колеблется от 1 до некоторой верхней границы р, то ${\displaystyle A_{i}}$ находятся матрицы и ${\displaystyle g_{i}}$ некоторые действительные числа. Системы билинейных уравнений возникают во многих областях, в том числе инженерное дело, биология, и статистика.

Решение в целых числах

Мы рассматриваем здесь теорию решений билинейных уравнений в целых числах. Пусть данная система билинейных уравнений имеет вид

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ax_{1}x_{2}+bx_{1}y_{2}+cx_{2}y_{1}+dy_{1}y_{2}&=&\alpha \\ex_{1}x_{2}+fx_{1}y_{2}+gx_{2}y_{1}+hy_{1}y_{2}&=&\beta \end{alignedat}}}$

Эту систему можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}\\x_{1}y_{2}\\y_{1}x_{2}\\y_{1}y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}$

После решения этой линейной системы уравнений, используя факторизация рангов ниже мы можем получить решение для данной билинейной системы.

${\displaystyle {\text{mat}}\left({\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}\\x_{1}y_{2}\\y_{1}x_{2}\\y_{1}y_{2}\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}&x_{1}y_{2}\\y_{1}x_{2}&y_{1}y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}&y_{2}\end{bmatrix}}.}$

Теперь мы решаем первое уравнение, используя Нормальная форма Смита. Учитывая любые ${\displaystyle m\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$, мы можем получить две матрицы ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle {\mbox{SL}}_{m}(\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle {\mbox{SL}}_{n}(\mathbb {Z} )}$, соответственно такие, что ${\displaystyle UAV=D}$, куда ${\displaystyle D}$ как следует:

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\ldots &0\\0&d_{2}&0&\ldots &0\\\vdots &&&d_{s}&0&\\0&0&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}_{m\times n}}$

куда ${\displaystyle d_{i}>0}$ и ${\displaystyle d_{i}|d_{i+1}}$ за ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s-1}$. Учитывая систему ${\displaystyle A{\textbf {x}}={\textbf {b}}}$, мы можем переписать его как ${\displaystyle D{\textbf {y}}={\textbf {c}}}$, куда ${\displaystyle V{\textbf {y}}={\textbf {x}}}$ и ${\displaystyle {\textbf {c}}=U{\textbf {b}}}$. Решение ${\displaystyle D{\textbf {y}}={\textbf {c}}}$ проще как матрица ${\displaystyle D}$ несколько диагональный. Поскольку мы умножаем на некоторые невырожденные матрицы, две системы уравнений эквивалентны в том смысле, что решения одной системы имеют взаимно однозначное соответствие с решениями другой системы. Мы решаем ${\displaystyle D{\textbf {y}}={\textbf {c}}}$, и возьми ${\displaystyle {\textbf {x}}=V{\textbf {y}}}$.Пусть решение ${\displaystyle D{\textbf {y}}={\textbf {c}}}$ быть

${\displaystyle {\textbf {y}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\\s\\t\end{bmatrix}}}$

куда ${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$ являются свободными целыми числами, и все это решения ${\displaystyle D{\textbf {y}}={\textbf {c}}}$. Итак, любое решение ${\displaystyle A{\textbf {x}}={\textbf {b}}}$ является ${\displaystyle V{\textbf {y}}}$. Позволять ${\displaystyle V}$ быть предоставленным

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{bmatrix}}.}$

потом ${\displaystyle {\textbf {x}}}$ является

${\displaystyle M={\text{mat}}({\textbf {x}})={\begin{bmatrix}a_{11}a_{1}+a_{12}b_{1}+a_{13}s+a_{14}t&a_{31}a_{1}+a_{32}b_{1}+a_{33}s+a_{34}t\\a_{21}a_{1}+a_{22}b_{1}+a_{23}s+a_{24}t&a_{41}a_{1}+a_{42}b_{1}+a_{43}s+a_{44}t\end{bmatrix}}.}$

Мы хотим матрицу ${\displaystyle M}$ иметь ранг 1, чтобы можно было выполнить факторизацию, указанную во втором уравнении. Решение квадратные уравнения в двух переменных в целых числах даст нам решения для билинейной системы. Этот метод может быть расширен до любого измерения, но при более высоком измерении решения становятся более сложными. Этот алгоритм может применяться в мудрец или же MATLAB.

Смотрите также

Системы линейных уравнений

Рекомендации

• Чарльз Р. Джонсон, Джошуа А. Линк «Теория решений для полных билинейных систем уравнений» - http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nla.676/abstract
• Винь, Ле Ань «О разрешимости систем билинейных уравнений в конечных полях» - https://arxiv.org/abs/0903.1156
• Ян Дянь «Теория решений для системы билинейных уравнений» - https://digitalarchive.wm.edu/handle/10288/13726
• Скотт Коэн и Карло Томази. «Системы билинейных уравнений». Технический отчет, Стэнфорд, Калифорния, США, 1997.- ftp://reports.stanford.edu/public_html/cstr/reports/cs/tr/97/1588/CS-TR-97-1588.pdf