Набор симметрии - Symmetry set

An эллипс (красный), это эволюционировать (синий) и его набор симметрии (зеленый и желтый). то медиальная ось это просто зеленая часть набора симметрии. Показана одна двуугольная окружность.

В геометрия, то набор симметрии является методом представления локальной симметрии кривой и может использоваться как метод представления форма объектов путем нахождения топологический каркас. В медиальная ось, подмножество набора симметрии - это набор кривых, которые примерно проходят по середине объекта.

В 2-х измерениях

Позволять ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ быть открытым интервалом, и ${\displaystyle \gamma :I\to \mathbb {R} ^{2}}$ - параметризация гладкой плоской кривой.

Набор симметрии ${\displaystyle \gamma (I)\subset \mathbb {R} ^{2}}$ определяется как замыкание множества центров окружностей, касающихся кривой хотя бы в двух различных точках (битангентный круги).

У набора симметрии будут конечные точки, соответствующие вершины кривой. Такие точки будут лежать в куспид из эволюционировать. В таких точках кривая будет иметь 4-точечный контакт с кругом.

В п размеры

Для гладкого многообразия размерности ${\displaystyle m}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (явно нам нужно ${\displaystyle m<n}$). Множество симметрии многообразия - это замыкание центров гиперсфер, касающихся многообразия как минимум в двух различных местах.

Как бифуркационный набор

Позволять ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ быть открытым односвязным доменом и ${\displaystyle (u_{1}\ldots ,u_{m}):={\underline {u}}\in U}$. Позволять ${\displaystyle {\underline {X}}:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ - параметризация гладкого участка многообразия. ${\displaystyle n}$ параметрическое семейство функций на кривой, а именно

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\times U\to \mathbb {R} \ ,\quad {\mbox{where}}\quad F({\underline {x}},{\underline {u}})=({\underline {x}}-{\underline {X}})\cdot ({\underline {x}}-{\underline {X}})\ .}$

Это семейство называется семейством функций в квадрате расстояния. Это потому, что для фиксированного ${\displaystyle {\underline {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ значение ${\displaystyle F({\underline {x}}_{0},{\underline {u}})}$ это квадрат расстояния от ${\displaystyle {\underline {x}}_{0}}$ к ${\displaystyle {\underline {X}}}$ в ${\displaystyle {\underline {X}}(u_{1}\ldots ,u_{m}).}$

Таким образом, набор симметрии является бифуркационным набором семейства функций в квадрате расстояния. Т.е. это набор ${\displaystyle {\underline {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такой, что ${\displaystyle F({\underline {x}},-)}$ имеет повторяющуюся особенность для некоторых ${\displaystyle {\underline {u}}\in U.}$

Под повторяющейся особенностью мы подразумеваем сингулярность матрицы якобиана. Поскольку у нас есть семейство функций, это эквивалентно ${\displaystyle {\mathcal {r}}F={\underline {0}}}$.

Тогда набор симметрии - это набор ${\displaystyle {\underline {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$ такие, что существуют ${\displaystyle ({\underline {u}}_{1},{\underline {u}}_{2})\in U\times U}$ с ${\displaystyle {\underline {u}}_{1}\neq {\underline {u}}_{2}}$, и

${\displaystyle {\mathcal {r}}F({\underline {x}},{\underline {u}}_{1})={\mathcal {r}}F({\underline {x}},{\underline {u}}_{2})={\underline {0}}}$

вместе с предельными точками этого множества.

Рекомендации

• Дж. У. Брюс, П. Дж. Гиблин, К. Г. Гибсон, Наборы симметрии. Proc. Королевского общества Эдинбурга 101A (1985), 163-186.
• Дж. В. Брюс и П. Дж. Гиблин, Кривые и сингулярности, издательство Кембриджского университета (1993).