Символическая динамика - Symbolic dynamics

В математика, символическая динамика практика моделирования топологического или гладкого динамическая система дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательности абстрактных символов, каждому из которых соответствует государственный системы с динамикой (эволюцией), заданной оператор смены. Формально Марковская перегородка используется для обеспечения конечное покрытие для плавной системы; каждый набор покрытий связан с одним символом, и последовательности символов возникают в результате того, что траектория системы перемещается от одного набора покрытий к другому.

История

Идея восходит к Жак Адамар статья 1898 г. геодезические на поверхности отрицательного кривизна.[1] Он был применен Марстон Морс в 1921 г. к построению непериодической рекуррентной геодезической. Связанные работы были выполнены Эмиль Артин в 1924 г. (для системы, которая сейчас называется Артин бильярд ), Пекка Мирберг, Пол Кобе, Якоб Нильсен, Г. А. Хедлунд.

Первый формальный подход был разработан Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года.[2] Джордж Биркофф, Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Э. Литтлвуд применили аналогичные методы для качественного анализа неавтономных дифференциальные уравнения.

Клод Шеннон использованные символьные последовательности и сдвиги конечного типа в его статье 1948 года Математическая теория коммуникации что породило теория информации.

В конце 1960-х годов метод символической динамики был развит до гиперболических автоморфизмов тора. Рой Адлер и Бенджамин Вайс,[3] и чтобы Диффеоморфизмы Аносова к Яков Синай кто использовал символическую модель для построения Меры Гиббса.[4] В начале 1970-х годов теория была распространена на течения Аносова. Марина Ратнер, и чтобы Аксиома А диффеоморфизмы и потоки Руфус Боуэн.

Эффектное применение методов символической динамики Теорема Шарковского о периодические орбиты из непрерывная карта интервала в себя (1964).

Примеры

Такие концепции, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты имеют особенно простое представление в символической динамике.

Маршрут

Маршрут точки относительно перегородки представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки. [5]

Приложения

Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли важное применение в хранилище данных и коробка передач, линейная алгебра, движения планет и многие другие области. Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется в дискретный интервалы. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном государственный. Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечным последовательность символов, представленных эффективно как струны. Если состояния системы не являются дискретными по своей природе, то вектор состояния должны быть дискретизированы, чтобы получить крупнозернистый описание системы.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Адамар, Дж. (1898). "Поверхности противостоят и леопсисы géodésiques" (PDF). J. Math. Pures Appl. 5 (4): 27–73.
  2. ^ Морс, М.; Хедлунд, Г.А. (1938). «Символическая динамика». Американский журнал математики. 60 (4): 815–866. Дои:10.2307/2371264. JSTOR  2371264.
  3. ^ Адлер, Р .; Вайс, Б. (1967). «Энтропия - полный метрический инвариант автоморфизмов тора». PNAS. 57 (6): 1573–1576. Bibcode:1967PNAS ... 57.1573A. Дои:10.1073 / pnas.57.6.1573. JSTOR  57985. ЧВК  224513. PMID  16591564.
  4. ^ Синай, Ю. (1968). «Построение марковских перегородок». Функц. Анальный. Я Приложен. 2 (3): 70–80.
  5. ^ Математика сложности и динамических систем Роберта А. Мейерса. Springer Science & Business Media, 2011 г., ISBN  1461418054, 9781461418054

дальнейшее чтение

внешняя ссылка