Подсеть (математика) - Subnet (mathematics)

В топология и смежные области математика, а подсеть является обобщением концепции подпоследовательность в случае сети. Определение не совсем простое, но разработано для того, чтобы позволить как можно больше теорем о подпоследовательностях обобщить на сети.

Если (Иксα) и (уβ) сети из направленные наборы А и B соответственно, то (уβ) является подсетью (Иксα), если существует монотонный последняя функция

час : B → А

такой, что

уβ = Иксh (β).

Функция час : B → А является монотонный если β1 ≤ β2 подразумевает час(β1) ≤ час(β2) и окончательный если это изображение является финальный в А- то есть для каждого α в А существует β в B такой, что час(β) ≥ α.[1]

Несмотря на сложность определения, оно обобщает некоторые ключевые теоремы о подпоследовательностях:

  • Чистая (Иксα) сходится к Икс тогда и только тогда, когда каждая подсеть из (Иксα) сходится к Икс.
  • Чистая (Иксα) имеет кластерная точка у тогда и только тогда, когда у него есть подсеть (уβ), который сходится к у.
  • Топологическое пространство Икс является компактный тогда и только тогда, когда каждая сеть в Икс имеет конвергентную подсеть (см. сеть для доказательства).

Казалось бы, более естественным определением подсети было бы требование B быть финальное подмножество из А и это час быть картой идентичности. Эта концепция, известная как финальная подсеть, оказывается неадекватным. Например, вторая теорема выше неверна для Тихоновская доска если ограничиться конфинальными подсетями.

Хотя последовательность является сетью, последовательность имеет подсети, которые не являются подпоследовательностями. Например, сеть (1, 1, 2, 3, 4, ...) является подсетью сети (1, 2, 3, 4, ...). Ключевое отличие состоит в том, что подсети могут использовать одну и ту же точку в сети несколько раз, а набор индексации подсети может иметь гораздо больший размер. мощность. Используя более общее определение, в котором мы не требуем монотонности, последовательность является подсетью данной последовательности, если и только если она может быть получена из некоторой подпоследовательности путем повторения ее терминов и их переупорядочения.[2]

Примечания

  1. ^ Некоторые авторы используют несколько более общее определение подсети. В этом определении карта час требуется, чтобы выполнялось условие: для любого α ∈ А существует β0∈ B такой, что час(β) ≥ α, если β ≥ β0. Такая карта окончательная, но не обязательно монотонная.
  2. ^ Гелер, Вернер (1977). Grundstrukturen der Analysis I. Akademie-Verlag, Берлин., Satz 2.8.3, стр. 81 год

Рекомендации