Субриманово многообразие - Sub-Riemannian manifold

В математика, а субриманово многообразие является определенным типом обобщения Риманово многообразие. Грубо говоря, для измерения расстояний в субримановом многообразии разрешается идти только по кривым, касательным к так называемым горизонтальные подпространства.

Субримановы многообразия (а значит, a fortiori, Римановы многообразия) несут естественный внутренняя метрика называется метрика Карно – Каратеодори. В Хаусдорфово измерение таких метрические пространства всегда целое число и больше, чем его топологическая размерность (если это на самом деле не риманово многообразие).

Субримановы многообразия часто встречаются при изучении систем со связями в классическая механика, например, движение транспортных средств по поверхности, движение манипуляторов роботов и орбитальная динамика спутников. Геометрические величины, такие как Ягодная фаза можно понять на языке субримановой геометрии. В Группа Гейзенберга, важно квантовая механика, несет естественную субриманову структуру.

Определения

Автор распределение на ${\displaystyle M}$ мы имеем в виду подгруппа из касательный пучок из ${\displaystyle M}$.

Учитывая распределение ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$ векторное поле в ${\displaystyle H(M)}$ называется горизонтальный. Кривая ${\displaystyle \gamma }$ на ${\displaystyle M}$ называется горизонтальный если ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$ для любого ${\displaystyle t}$.

Распределение на ${\displaystyle H(M)}$ называется полностью неинтегрируемый если для любого ${\displaystyle x\in M}$ мы имеем, что любой касательный вектор может быть представлен как линейная комбинация векторов следующих типов ${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$ где все векторные поля ${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$ горизонтальные.

А субриманово многообразие это тройка ${\displaystyle (M,H,g)}$, куда ${\displaystyle M}$ дифференцируемый многообразие, ${\displaystyle H}$ это полностью неинтегрируемый «горизонтальное» распределение и ${\displaystyle g}$ гладкое сечение положительно определенного квадратичные формы на ${\displaystyle H}$.

Любой субриманово многообразие несет естественный внутренняя метрика, называется метрика Карно – Каратеодори, определяется как

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

где инфимум берется по всем горизонтальные кривые ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ такой, что ${\displaystyle \gamma (0)=x}$, ${\displaystyle \gamma (1)=y}$.

Примеры

Положение автомобиля на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами. ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ за расположение и угол ${\displaystyle \alpha }$ который описывает ориентацию автомобиля. Следовательно, положение автомобиля можно описать точкой на коллекторе.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Можно спросить, какое минимальное расстояние нужно преодолеть, чтобы добраться из одной позиции в другую? Это определяет Метрика Карно – Каратеодори на коллекторе

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Близкий пример субримановой метрики можно построить на Группа Гейзенберга: Возьмите два элемента ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ в соответствующей алгебре Ли такая, что

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

охватывает всю алгебру. Горизонтальное распределение ${\displaystyle H}$ охватывается левыми сменами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ является полностью неинтегрируемый. Затем выбирая любую гладкую положительную квадратичную форму на ${\displaystyle H}$ дает субриманову метрику на группе.

Характеристики

Для каждого субриманова многообразия существует Гамильтониан, называется субриманов гамильтониан, построенный из метрики многообразия. Наоборот, каждый такой квадратичный гамильтониан индуцирует субриманово многообразие. Существование геодезических соответствующих Уравнения Гамильтона – Якоби для субриманова гамильтониана задается Теорема Чоу – Рашевского..

Смотрите также

• Группа Карно, класс Группы Ли образующие субримановы многообразия
• Распределение

Рекомендации

• Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996), Субриманова геометрия, Успехи в математике, 144, Birkhäuser Verlag, ISBN  978-3-7643-5476-3, МИСТЕР  1421821
• Громов, Михаэль (1996), «Пространства Карно-Каратеодори, видимые изнутри», в Bellaïche, André; Рислер., Жан-Жак (ред.), Субриманова геометрия (PDF), Прогр. Математика, 144, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 79–323, ISBN  3-7643-5476-3, МИСТЕР  1421823
• Ле Донн, Энрико, Конспект лекций по субримановой геометрии (PDF)
• Ричард Монтгомери, Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и приложениям (Математические обзоры и монографии, том 91), (2002) Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1391-9.