Топология строки - String topology

Топология строки, филиал математика, является изучение алгебраических структур на гомология из свободные пространства петель. Поле было создано Мойрой Час и Деннис Салливан (1999 ).

Мотивация

В то время как особые когомологии пространства всегда имеет структуру продукта, это неверно для особые гомологии пространства. Тем не менее, построить такую структуру для ориентированного многообразие ${ displaystyle M}$ измерения ${ displaystyle d}$ . Это так называемый продукт пересечения. Интуитивно это можно описать так: заданные классы ${ Displaystyle х в H_ {p} (M)}$ и ${ Displaystyle у в Н_ {д} (М)}$ , возьми их продукт ${ Displaystyle х раз у в Н_ {п + д} (М раз М)}$ и сделайте поперек диагонали ${ displaystyle M hookrightarrow M times M}$ . Тогда пересечение является классом в ${ displaystyle H_ {p + q-d} (M)}$ , произведение пересечения ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ . Один из способов сделать эту конструкцию более строгой - использовать стратифолд.

Другой случай, когда гомологии пространства имеют произведение, - это (основанный) пространство петли ${ displaystyle Omega X}$ пространства ${ displaystyle X}$ . Здесь само пространство имеет продукт

{ Displaystyle м двоеточие Omega X times Omega X to Omega X}

пройдя сначала первый цикл, а затем второй. Для свободного пространства петель аналогичной структуры продукта нет. ${ displaystyle LX}$ всех карт из ${ Displaystyle S ^ {1}}$ к ${ displaystyle X}$ так как две петли не обязательно должны иметь общую точку. Заменитель карты ${ displaystyle m}$ это карта

{ displaystyle gamma двоеточие { rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M) to LM}

куда ${ displaystyle { rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M)}$ является подпространством ${ displaystyle LM times LM}$ , где значения двух петель совпадают в 0 и ${ displaystyle gamma}$ снова определяется составлением циклов.

Произведение Часа – Салливана

Идея продукта Chas – Sullivan теперь состоит в том, чтобы объединить описанные выше структуры продукта. Рассмотрим два класса ${ Displaystyle х в H_ {p} (LM)}$ и ${ displaystyle y in H_ {q} (LM)}$ . Их продукт ${ Displaystyle х раз у}$ лежит в ${ displaystyle H_ {p + q} (LM times LM)}$ . Нам нужна карта

{ displaystyle i ^ {!} двоеточие H_ {p + q} (LM times LM) to H_ {p + qd} ({ rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1 }, M)).}

Один из способов построить это - использовать стратифолды (или другое геометрическое определение гомологии) для выполнения трансверсального пересечения (после интерпретации ${ displaystyle { rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M) subset LM times LM}$ как включение Гильбертовы многообразия ). Другой подход начинается с карты коллапса из ${ displaystyle LM times LM}$ к Пространство Тома нормального пучка ${ displaystyle { rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M)}$ . Составив индуцированное отображение в гомологиях с Изоморфизм Тома, мы получаем карту, которую хотим.

Теперь мы можем составить ${ displaystyle i ^ {!}}$ с индуцированным отображением ${ displaystyle gamma}$ получить класс в ${ displaystyle H_ {p + q-d} (LM)}$ , произведение Часа – Салливана ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ (см., например, Коэн и Джонс (2002) ).

Замечания

Как и в случае с произведением пересечений, существуют различные соглашения о знаках, касающиеся произведения Часа – Салливана. В некоторых соглашениях он градуирован коммутативным, в некоторых - нет.
Та же конструкция работает, если заменить ${ displaystyle H}$ другим мультипликативным теория гомологии ${ displaystyle h}$ если ${ displaystyle M}$ ориентирован относительно ${ displaystyle h}$ .
Кроме того, мы можем заменить ${ displaystyle LM}$ к ${ displaystyle L ^ {n} M = { rm {Map}} (S ^ {n}, M)}$ . Путем несложной вариации приведенной выше конструкции получаем, что ${ displaystyle { mathcal {}} h _ {*} ({ rm {Map}} (N, M))}$ это модуль над ${ displaystyle { mathcal {}} h _ {*} L ^ {n} M}$ если ${ displaystyle N}$ многообразие измерений ${ displaystyle n}$ .
В Спектральная последовательность Серра совместим с приведенными выше алгебраическими структурами как для пучок волокон ${ displaystyle { rm {ev}} двоеточие LM to M}$ с волокном ${ displaystyle Omega M}$ и пучок волокон ${ displaystyle LE to LB}$ для пучка волокон ${ displaystyle E to B}$ , что важно для вычислений (см. Коэн, Джонс и Ян (2004) и Мейер (2010)).

Структура Баталин-Вилковиский

Есть действие ${ displaystyle S ^ {1} times LM to LM}$ вращением, которое индуцирует отображение

{ displaystyle H _ {*} (S ^ {1}) otimes H _ {*} (LM) to H _ {*} (LM)}

.

Подключение основного класса ${ Displaystyle [S ^ {1}] в H_ {1} (S ^ {1})}$ , дает оператору

{ Displaystyle Delta двоеточие H _ {*} (LM) to H _ {* + 1} (LM)}

степени 1. Можно показать, что этот оператор хорошо взаимодействует с произведением Часа – Салливана в том смысле, что вместе они образуют структуру Алгебра Баталина – Вилковиского на ${ displaystyle { mathcal {}} H _ {*} (LM)}$ . Этот оператор обычно бывает трудно вычислить. В оригинальной статье определяющие тождества алгебры Баталина-Вилковиского проверялись «по картинкам». Менее прямой, но, возможно, более концептуальный способ сделать это может заключаться в использовании действия кактусовой операды на свободном пространстве цикла. ${ displaystyle LM}$ .^[1] Кактусовая операда слабо эквивалентна обрамленной маленькие диски операд^[2] и его действие на топологическом пространстве влечет структуру Баталина-Вилковиского на гомологиях.^[3]

Теории поля

Пара штанов

Есть несколько попыток построить (топологические) теории поля с помощью строковой топологии. Основная идея - зафиксировать ориентированное многообразие ${ displaystyle M}$ и ассоциировать каждую поверхность с ${ displaystyle p}$ входящие и ${ displaystyle q}$ исходящие граничные компоненты (с ${ Displaystyle п geq 1}$ ) Операция

{ Displaystyle H _ {*} (LM) ^ { otimes p} to H _ {*} (LM) ^ { otimes q}}

что удовлетворяет обычным аксиомам для топологическая теория поля. Изделие Chas – Sullivan ассоциируется с парой брюк. Можно показать, что эти операции равны 0, если род поверхности больше 0 (см. Таманой (2010) )

Более структурированный подход (представлен в Годин (2008) ) дает ${ displaystyle { mathcal {}} (H _ {*} (LM), H _ {*} (LM))}$ структура степени ${ displaystyle d}$ открыто-замкнутая гомологическая конформная теория поля (HCFT) с положительной границей. Без учета открытой-закрытой части это сводится к следующей структуре: пусть ${ displaystyle S}$ быть поверхностью с границей, где граничные круги помечены как входящие или выходящие. Если есть ${ displaystyle p}$ входящие и ${ displaystyle q}$ исходящий и ${ Displaystyle п geq 1}$ , получаем операции

{ Displaystyle H _ {*} (LM) ^ { otimes p} to H _ {*} (LM) ^ { otimes q}}

параметризованный некоторой скрученной гомологией группа классов отображения из ${ displaystyle S}$ .

Рекомендации

^ Воронов, Александр (2005). «Заметки по универсальной алгебре». Графы и паттерны в математике и теоретической физике (М. Любич, Л. Тахтаджан, ред.). Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 81–103.
^ Коэн, Ральф Л .; Гесс, Кэтрин; Воронов, Александр А. (2006). "Кактусовая опера". Топология струн и циклические гомологии. Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-7388-7.
^ Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Comm. Математика. Phys. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043.

Час, Мойра; Салливан, Деннис (1999). «Струнная топология». arXiv:математика / 9911159v1.
Коэн, Ральф Л.; Джонс, Джон Д. С. (2002). "Теоретико-гомотопическая реализация струнной топологии". Mathematische Annalen. 324: 773–798. arXiv:математика / 0107187. Дои:10.1007 / s00208-002-0362-0. МИСТЕР 1942249.
Ральф Луи Коэн, Джон Д. С. Джонс и Джун Ян, Алгебра петлевых гомологий сфер и проективных пространств в Методы категориальной декомпозиции в алгебраической топологии: Международная конференция по алгебраической топологии, остров Скай, Шотландия, июнь 2001 г., Биркхойзер, стр. 77–92 (2004).
Мейер, Леннарт (2011). «Спектральные последовательности в строковой топологии». Алгебраическая и геометрическая топология. 11 (5): 2829–2860. arXiv:1001.4906. Дои:10.2140 / agt.2011.11.2829. МИСТЕР 2846913.
Годен, Вероник (2008). «Операции с топологией высшей строки». arXiv:0711.4859v2.
Таманой, Хиротака (2010). «Петлевые копроизведения в строковой топологии и тривиальность операций TQFT высшего рода». Журнал чистой и прикладной алгебры. 214 (5): 605–615. arXiv:0706.1276. Дои:10.1016 / j.jpaa.2009.07.011. МИСТЕР 2577666.

[1] Воронов, Александр (2005). «Заметки по универсальной алгебре». Графы и паттерны в математике и теоретической физике (М. Любич, Л. Тахтаджан, ред.). Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc. С. 81–103.

[2] Коэн, Ральф Л .; Гесс, Кэтрин; Воронов, Александр А. (2006). "Кактусовая опера". Топология струн и циклические гомологии. Базель: Биркхойзер. ISBN 978-3-7643-7388-7.

[3] Гетцлер, Эзра (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Comm. Математика. Phys. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043.

[1]

[2]

[3]