Конус Штейнера - Steiner conic

1. Определение генерации Штейнера конического сечения.

В Конус Штейнера или точнее Поколение конуса Штейнера, названный в честь швейцарского математика Якоб Штайнер, является альтернативным методом определения невырожденного проективное коническое сечение в проективная плоскость через поле.

Обычное определение коники использует квадратичную форму (см. Квадрика (проективная геометрия) ). Другое альтернативное определение коники использует гиперболическая полярность. Это связано с К. Г. К. фон Штаудт и иногда называли фон Штаудт конический. Недостатком определения фон Штаудта является то, что оно работает только тогда, когда базовое поле имеет нечетное значение. характеристика (т.е. ${\displaystyle Char\neq 2}$).

Определение коники Штейнера

• Учитывая два карандаши ${\displaystyle B(U),B(V)}$ линий в двух точках ${\displaystyle U,V}$ (все строки, содержащие ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соотв.) и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle B(U)}$ на ${\displaystyle B(V)}$. Тогда точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение^{[1][2][3] [4]} (Рисунок 1)

2. Отображение перспективы между линиями

А перспектива отображение ${\displaystyle \pi }$ карандаша ${\displaystyle B(U)}$ на карандаш ${\displaystyle B(V)}$ это биекция (Соответствие 1-1) такое, что соответствующие прямые пересекаются на фиксированной прямой ${\displaystyle a}$, который называется ось перспективы ${\displaystyle \pi }$ (фигура 2).

А проективный отображение - это конечный продукт перспективных отображений.

Простой пример: Если переместиться в первую точку диаграммы ${\displaystyle U}$ и его карандаш линий на ${\displaystyle V}$ и вращает сдвинутый карандаш вокруг ${\displaystyle V}$ на фиксированный угол ${\displaystyle \varphi }$ тогда сдвиг (перенос) и вращение порождают проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ карандаша в точке ${\displaystyle U}$ на карандаш в ${\displaystyle V}$. От теорема о вписанном угле получается: точки пересечения соответствующих линий образуют круг.

Примеры часто используемых полей - реальные числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$, рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ или комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Конструкция также работает над конечными полями, обеспечивая примеры в конечных полях. проективные плоскости.

Замечание:Основная теорема для проективных плоскостей утверждает,^[5] что проективное отображение на проективной плоскости над полем (паппийский самолет ) однозначно определяется заданием изображений трех линий. Это означает, что для конического сечения Штейнера кроме двух точек ${\displaystyle U,V}$ необходимо указать только изображения трех строк. Эти 5 элементов (2 точки, 3 линии) однозначно определяют коническое сечение.

Замечание:Обозначение «перспектива» связано с двойным утверждением: проекция точек на линию ${\displaystyle a}$ из центра ${\displaystyle Z}$ на линию ${\displaystyle b}$ называется перспективность (видеть ниже ).^[5]

3. Пример генерации Штейнера: генерация точки

Пример

Для следующего примера изображения линий ${\displaystyle a,u,w}$ (см. рисунок) приведены: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ является результатом следующих отображений перспективы ${\displaystyle \pi _{b},\pi _{a}}$: 1) ${\displaystyle \pi _{b}}$ перспективное отображение карандаша в точке ${\displaystyle U}$ на карандаш в точке ${\displaystyle O}$ с осью ${\displaystyle b}$. 2) ${\displaystyle \pi _{a}}$ перспективное отображение карандаша в точке ${\displaystyle O}$ на карандаш в точке ${\displaystyle V}$ с осью ${\displaystyle a}$.Сначала следует проверить, что ${\displaystyle \pi =\pi _{a}\pi _{b}}$ имеет свойства: ${\displaystyle \pi (a)=b,\pi (u)=w,\pi (w)=v}$. Следовательно, для любой строки ${\displaystyle g}$ изображение ${\displaystyle \pi (g)=\pi _{a}\pi _{b}(g)}$ могут быть построены и, следовательно, образы произвольного набора точек. Линии ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ содержат только конические точки ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ соотв .. Следовательно ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ являются касательными к сформированному коническому сечению.

А доказательство то, что этот метод генерирует коническое сечение, следует из перехода к аффинному ограничению с прямой ${\displaystyle w}$ как линия на бесконечности, точка ${\displaystyle O}$ как начало системы координат с точками ${\displaystyle U,V}$ в качестве указывает на бесконечность из Икс- и уось соотв. и указать ${\displaystyle E=(1,1)}$. Аффинная часть сгенерированной кривой оказывается гипербола ${\displaystyle y=1/x}$.^[2]

Замечание:

1. Генерация конического сечения Штейнера обеспечивает простые методы построения эллипсы, параболы и гиперболы которые обычно называют методы параллелограмма.
2. Фигура, которая появляется при построении точки (рисунок 3), является 4-точечным вырождением Теорема Паскаля.^[6]

Штейнеровская генерация двойной коники

двойной эллипс

Штейнеровская генерация двойной коники

определение перспективного отображения

Определения и двойное поколение

Дуализация (см. двойственность (проективная геометрия) ) проективная плоскость означает замену точки с линии и операции пересечение и соединение. Двойственная структура проективной плоскости также является проективной плоскостью. Двойственная плоскость папповой плоскости является папской и также может быть согласована с помощью однородных координат. Невырожденный двойная коническая сечение аналогично определяется квадратичной формой.

Двойственная коника может быть получена двойственным методом Штейнера:

• Учитывая наборы точек двух линий ${\displaystyle u,v}$ и проективное, но не перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$. Тогда прямые, соединяющие соответствующие точки, образуют двойственное невырожденное проективное коническое сечение.

А перспективное отображение ${\displaystyle \pi }$ точки набора линии ${\displaystyle u}$ на точечный набор линии ${\displaystyle v}$ это биекция (Соответствие 1-1) такое, что соединительные линии соответствующих точек пересекаются в фиксированной точке ${\displaystyle Z}$, который называется центр перспективы ${\displaystyle \pi }$ (см. рисунок).

А проективный отображение - это конечная последовательность перспективных отображений.

Обычно, имея дело с двойными и общими коническими сечениями, общее коническое сечение обычно называют точечный конический и двойственная коника a линия коническая.

В случае, если базовое поле имеет ${\displaystyle Char=2}$ все касательные точки коники пересекаются в точке, называемой морской узел (или же ядро) коники. Таким образом, двойственная невырожденная точечная коника - это подмножество точек двойственной прямой, а не овальная кривая (в двойственной плоскости). Итак, только в том случае, если ${\displaystyle Char\neq 2}$ является двойственной невырожденной точечной конике к невырожденной прямой конике.

Примеры

Двойная коника Штейнера, определяемая двумя перспективами ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$

пример генерации Штейнера двойственной коники

(1) Проективность, заданная двумя перспективами:
Две строки ${\displaystyle u,v}$ с точкой пересечения ${\displaystyle W}$ даны и проективность ${\displaystyle \pi }$ из ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$ с двух точек зрения ${\displaystyle \pi _{A},\pi _{B}}$ с центрами ${\displaystyle A,B}$. ${\displaystyle \pi _{A}}$ линия карт ${\displaystyle u}$ на третью линию ${\displaystyle o}$, ${\displaystyle \pi _{B}}$ линия карт ${\displaystyle o}$ на линию ${\displaystyle v}$ (см. диаграмму). Точка ${\displaystyle W}$ не должен лежать на линиях ${\displaystyle {\overline {AB}},o}$. Проективность ${\displaystyle \pi }$ представляет собой сочетание двух перспектив: ${\displaystyle \ \pi =\pi _{B}\pi _{A}}$. Следовательно, точка ${\displaystyle X}$ отображается на ${\displaystyle \pi (X)=\pi _{B}\pi _{A}(X)}$ и линия ${\displaystyle x={\overline {X\pi (X)}}}$ является элементом двойственной коники, определяемой ${\displaystyle \pi }$.
(Если ${\displaystyle W}$ будет фиксированной точкой, ${\displaystyle \pi }$ было бы перспективно ^[7].)

(2) Даны три точки и их изображения:
Следующий пример является двойственным, приведенным выше для коники Штейнера.
Изображения точек ${\displaystyle A,U,W}$ даны: ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Проективное отображение ${\displaystyle \pi }$ может быть представлена ​​продуктом следующих перспектив ${\displaystyle \pi _{B},\pi _{A}}$:

1) ${\displaystyle \pi _{B}}$ - перспективность точечного набора линии ${\displaystyle u}$ на точечный набор линии ${\displaystyle o}$ с центром ${\displaystyle B}$.

2) ${\displaystyle \pi _{A}}$ - перспективность точечного набора линии ${\displaystyle o}$ на точечный набор линии ${\displaystyle v}$ с центром ${\displaystyle A}$.

Несложно проверить, что проективное отображение ${\displaystyle \pi =\pi _{A}\pi _{B}}$ выполняет ${\displaystyle \pi (A)=B,\,\pi (U)=W,\,\pi (W)=V}$. Следовательно, для любой произвольной точки ${\displaystyle G}$ изображение ${\displaystyle \pi (G)=\pi _{A}\pi _{B}(G)}$ могут быть построены и линии ${\displaystyle {\overline {G\pi (G)}}}$ является элементом невырожденного двойственного конического сечения. Потому что точки ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ содержатся в строках ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ соответственно, точки ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ - точки коники, а прямые ${\displaystyle u,v}$ касательные в ${\displaystyle U,V}$.

Примечания

1. Кокстер 1993, п. 80
2. Hartmann, п. 38
3. Мерсерв 1983, п. 65
4. Vorlesungen über Synthetische Geometrie Якоба Штайнера, Б. Г. Тойбнер, Лейпциг 1867 г. (из Google Книги: (Немецкий) Часть II следует за Частью I ) Часть II, стр. 96
5. Hartmann, п. 19
6. Hartmann, п. 32
7. Х. Ленц: Vorlesungen über projektive Geometrie, Б.И., Мангейм, 1965, с. 49.

Рекомендации

• Кокстер, Х. С. М. (1993), Реальная проективная плоскость, Springer Science & Business Media
• Хартманн, Эрих, Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского (PDF), получено 20 сентября 2014 (PDF; 891 кБ).
• Мерсерв, Брюс Э. (1983) [1959], Основные понятия геометрии, Дувр, ISBN  0-486-63415-9