Функция spt - Spt function

В функция spt (функция наименьших частей) - это функция в теория чисел который подсчитывает сумму количества наименьших частей в каждом раздел положительного целого числа. Это связано с функция распределения.

Первые несколько значений spt (п) находятся:

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589 ... (последовательность A092269 в OEIS )

Пример

Например, есть пять разделов по 4 (самые маленькие части подчеркнуты):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Эти разделы состоят из 1, 1, 2, 2 и 4 наименьших частей соответственно. Итак, spt (4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Характеристики

Как и функция распределения, spt (п) имеет производящая функция. Это дается

${\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}}$

куда ${\displaystyle (q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$.

Функция ${\displaystyle S(q)}$ относится к макет модульной формы. Позволять ${\displaystyle E_{2}(z)}$ обозначим вес 2 квазимодулярный Серия Эйзенштейна и разреши ${\displaystyle \eta (z)}$ обозначить Функция Дедекинда эта. Тогда для ${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$, функция

${\displaystyle {\tilde {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}$

это макет модульной формы веса 3/2 на полную модульная группа ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$ с системой умножения ${\displaystyle \chi _{\eta }^{-1}}$, куда ${\displaystyle \chi _{\eta }}$ это система множителей для ${\displaystyle \eta (z)}$.

Хотя закрытая формула для spt (п), есть Рамануджаноподобные совпадения включая

${\displaystyle \mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13)}$ ^[1]

Рекомендации

1. Джордж Эндрюс. "Количество наименьших частей в перегородкахп".